☉江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 朱仁林

一、問(wèn)題提出

教育部考試中心在2018年與2019年的高考數(shù)學(xué)考試大綱中，著重明確了高考“考什么”與“怎么考”，其中“考什么”主要包括：必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值.

教育部發(fā)布了《普通高中課程方案和各科課程標(biāo)準(zhǔn)》，此次課程標(biāo)準(zhǔn)在原有的基礎(chǔ)上進(jìn)一步完善，并作了較大幅度的修訂，且首次正式凝練并科學(xué)地提出了“學(xué)科核心素養(yǎng)”的說(shuō)法與具體要求.

對(duì)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，在2018年的高考中已經(jīng)得到初步嘗試.那么在今后的高考中，學(xué)科核心素養(yǎng)的考查仍然是高考的重要內(nèi)容與方向之一.那么，高考數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)是什么？它們?cè)诟呖荚囶}中怎樣呈現(xiàn)并考查的呢？對(duì)復(fù)習(xí)備考有哪些要求？這是我們關(guān)注的重點(diǎn)內(nèi)容.

二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)怎么考

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.主要表現(xiàn)在用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維去分析世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

1.數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，其實(shí)就是通過(guò)具體的實(shí)例概括出一般性的結(jié)論.數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程就是在綜合的問(wèn)題情境中學(xué)會(huì)抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并在所抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)結(jié)論的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步歸納形成新的命題.

例1（2018·全國(guó)卷Ⅱ）已知f（x）是定義域?yàn)椋?∞，+∞）的奇函數(shù)，滿(mǎn)足f（1-x）=f（1+x）.若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）.

A.-50 B.0 C.2 D.50

命題立意：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性，旨在考查學(xué)生探究數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力.

解析：因?yàn)閒（x）是定義域?yàn)椋?∞，+∞）的奇函數(shù)，且f（1-x）=f（1+x），所以f（1+x）=-f（x-1）.所以f（3+x）=-f（x+1）=f（x-1）.所以T=4.

因此f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12［f（1）+f（2）+f（3）+f（4）］+f（1）+f（2），由f（1）=2，得f（-1）=-2，f（3）=-2.又因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（0）=0.所以f（2）=f（4）=0.所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，從而f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=f（1）=2.故選C.

2.邏輯推理

邏輯推理素養(yǎng)，其實(shí)就是提出問(wèn)題和論證命題的過(guò)程.邏輯推理的過(guò)程就是科學(xué)地選擇合適的論證方法與推理途徑并予以論述與證明，并在此基礎(chǔ)上能用準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述并論證相應(yīng)的過(guò)程.

圖1

命題立意：本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與直線的位置關(guān)系，以及學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，推理論述能力與運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.

解析：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=所以∠MON=60°，不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線與直線交于點(diǎn)M.由△OMN為直角三角形，不妨設(shè)∠OMN=90°，則∠MFO=60°.又直線MN過(guò)點(diǎn)F（2，0），所以直線MN的方程為

3.直觀想象

直觀想象素養(yǎng)，其實(shí)就是通過(guò)對(duì)平面圖形或空間圖形的觀察與想象，以及圖形與數(shù)量之間關(guān)系規(guī)律的分析，利用數(shù)學(xué)想象對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行有效的直觀表達(dá).直觀想象就是運(yùn)用圖形與空間的想象來(lái)分析與處理問(wèn)題，感悟事物的本質(zhì)屬性，形成解決問(wèn)題的思路與方法.

例3 （2018·河南新鄉(xiāng)一模）如圖2，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，其中俯視圖中的兩段圓弧均為半圓，該幾何體的體積為（ ）.

圖2

命題立意：本題主要考查三視圖、空間幾何體的位置關(guān)系及空間幾何體的體積問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想、空間想象能力及運(yùn)算求解能力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是直觀想象.

解析：由三視圖可知，該幾何體是由正方體挖去兩個(gè)半圓柱后形成的.如圖3所示，所以該幾何體的體積為2×2×2-π×12×2=8-2π.故選C.

圖3

4.數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，其實(shí)就是通過(guò)對(duì)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的處理，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，清晰、準(zhǔn)確且有效地表達(dá)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程和結(jié)果.

例4（2018·河北名校聯(lián)考）在正整數(shù)數(shù)列中，由1開(kāi)始依次按如下規(guī)則，將某些數(shù)染成紅色.先染1；再染兩個(gè)偶數(shù)2，4；再染4后面最鄰近的3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5，7，9；再染9后面的最鄰近的4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10，12，14，16；再染此后最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17，19，21，23，25.按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，則在這個(gè)紅色子數(shù)列中，由1開(kāi)始的第2018個(gè)數(shù)是（ ）.

A.3971 B.3972 C.3973 D.3974

命題立意：本題以“紅色子數(shù)列”為背景，巧妙地將數(shù)字游戲與數(shù)學(xué)中的數(shù)列結(jié)合在一起，綜合考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、閱讀理解能力、運(yùn)算求解能力，以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題和處理問(wèn)題的能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)建模.

解析：由題意可知，第1組有1個(gè)數(shù)，第2組有2個(gè)數(shù)，…，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可知前n組共有個(gè)數(shù).

三、復(fù)習(xí)備考

1.要重視數(shù)學(xué)基本概念的復(fù)習(xí)

從數(shù)學(xué)概念的定義層面出發(fā)，由表及里，去偽存真，正確掌握數(shù)學(xué)基本概念的本質(zhì)屬性，這是提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的最基本的必要條件，也是提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基石.因此在概念復(fù)習(xí)中要避免模式化，避免機(jī)械套用有關(guān)結(jié)論.

2.要重視數(shù)學(xué)基本定理、公式的來(lái)龍去脈

我們知道，學(xué)生當(dāng)中普遍存在數(shù)學(xué)基本定理、公式“重應(yīng)用輕推導(dǎo)”的現(xiàn)象，往往只重視數(shù)學(xué)基本定理、公式的應(yīng)用，而忽視數(shù)學(xué)基本定理、公式的由來(lái)、推導(dǎo)過(guò)程以及定理的證明等.但事實(shí)上，重視數(shù)學(xué)基本定理、公式的由來(lái)、推導(dǎo)過(guò)程，以及定理的證明等，不僅有利于理解與掌握數(shù)學(xué)基本定理、公式，以及理解公式之間的相互關(guān)系，還可以進(jìn)一步挖掘數(shù)學(xué)基本定理、公式中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和基本技能，從而成為我們解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的“模板”，特別是解決一些創(chuàng)新型問(wèn)題的敲門(mén)磚.

3.要重視數(shù)學(xué)基本技能的應(yīng)用

數(shù)學(xué)基本技能是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分之一，在相應(yīng)的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中都有它的影子，也是數(shù)學(xué)問(wèn)題中比較常見(jiàn)的考查方式之一.數(shù)學(xué)基本技能是歷年高考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)之一，因此對(duì)數(shù)學(xué)基本技能的復(fù)習(xí)，要引起高度重視，可以從掌握入手點(diǎn)、了解隱藏點(diǎn)與熟悉易錯(cuò)點(diǎn)等角度切入來(lái)進(jìn)行有效復(fù)習(xí).

4.要重視中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化

近幾年的高考試題增加了對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)文化的考查，常見(jiàn)的方式是將中國(guó)古代文化作為試題的背景材料，融合相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)設(shè)置創(chuàng)新型問(wèn)題，既可以有效地考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握情況，還可以充分體現(xiàn)出中國(guó)傳統(tǒng)文化對(duì)人類(lèi)發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步所做出的貢獻(xiàn).同時(shí)，此類(lèi)題目往往難度不大，立意新穎，富有創(chuàng)新性，特別是巧妙地利用我國(guó)或世界的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化設(shè)計(jì)試題，不僅使學(xué)生對(duì)我國(guó)或世界的傳統(tǒng)文化有所了解，同時(shí)也考查了學(xué)生各方面的能力，很好地滲透了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).