李霞 林運(yùn)來(lái)

[摘? 要] 文章通過(guò)對(duì)2018年福建省中考數(shù)學(xué)第25題學(xué)生答題中存在的典型問(wèn)題進(jìn)行研究，得出以下觀點(diǎn)：初中函數(shù)的教學(xué)要以函數(shù)思想為核心，要養(yǎng)成用統(tǒng)一和聯(lián)系的思維看函數(shù)、方程和不等式的問(wèn)題. 函數(shù)思想的教學(xué)，既要以“案例”為載體，滲透函數(shù)思想，還要以“銜接”為目標(biāo)，加強(qiáng)函數(shù)性態(tài)結(jié)構(gòu)的研究，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).

[關(guān)鍵詞] 測(cè)評(píng);函數(shù)思想;函數(shù)性態(tài)結(jié)構(gòu);統(tǒng)一聯(lián)系

試題呈現(xiàn)及評(píng)析

評(píng)析 本題是代數(shù)與幾何綜合的問(wèn)題，融合了初中函數(shù)及平面幾何的重點(diǎn)知識(shí)，主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、角平分線的判定等基礎(chǔ)知識(shí)，綜合性強(qiáng)，不僅考查考生對(duì)函數(shù)基本性質(zhì)的掌握，還考查在函數(shù)背景下認(rèn)識(shí)圖形并對(duì)圖形的元素關(guān)系進(jìn)行分析的能力. 本題的得分情況見表1（參考人數(shù)67199）.

第（1）問(wèn)要求考生寫出二次函數(shù)解析式中兩參數(shù)之間的關(guān)系，這是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式問(wèn)題，因只給出了拋物線的圖像經(jīng)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)，無(wú)法求出三個(gè)量，所以只能求出其中兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，問(wèn)題比較基礎(chǔ)，難度不大.

第（2）問(wèn)的第①小題要求根據(jù)拋物線與圓的對(duì)稱性特點(diǎn)確定二次函數(shù)的解析式，而開口方向必須借助給定函數(shù)單調(diào)性的代數(shù)結(jié)構(gòu)式的表達(dá)來(lái)判斷. 由于學(xué)生在函數(shù)的單調(diào)性上過(guò)多借助圖形直觀來(lái)描述圖形特征，對(duì)代數(shù)結(jié)構(gòu)的理解欠缺，造成學(xué)生解題無(wú)從入手. 第②小題需要在求解二次函數(shù)解析式的基礎(chǔ)上，結(jié)合其圖像特點(diǎn)通過(guò)代數(shù)運(yùn)算探究圖形性質(zhì). 試題參數(shù)多，運(yùn)算復(fù)雜，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的深層理解，試題解答則體現(xiàn)了思維的靈活性和廣泛性，初高中銜接味道較濃.

教學(xué)啟示

1. 初中函數(shù)教什么

福建中考從2017年開始全省統(tǒng)考，命題團(tuán)隊(duì)由全省優(yōu)秀教師組建，如何最大限度地發(fā)揮試題的育人功能是每一位一線教師都在思考和研究的問(wèn)題. 對(duì)福建省某市2018年第25題的考生得分情況（如表2）進(jìn)行分析，6萬(wàn)多的考生，滿分不過(guò)百. 除試題設(shè)置的難度因素外，我們也應(yīng)反思，在函數(shù)的單元教學(xué)中，自己是否把函數(shù)所呈現(xiàn)的核心育人價(jià)值領(lǐng)會(huì)透徹，學(xué)生是否真正學(xué)會(huì)用函數(shù)的思維也就是通過(guò)自變量的變化引起因變量的變化的角度來(lái)思考函數(shù)問(wèn)題，即函數(shù)研究什么？有沒(méi)有理解具體函數(shù)的性質(zhì)？學(xué)了三個(gè)初等函數(shù)，是否具備研究其他函數(shù)的能力？

初中函數(shù)要教什么？肯定是函數(shù)思想，有了“函數(shù)思想”，就能用“函數(shù)思想”建立“函數(shù)模型”，并用函數(shù)的性質(zhì)求解模型，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決，這是初中階段教師必須落實(shí)的核心素養(yǎng)之一——“模型思想”. 從人教版的代數(shù)章節(jié)教材邏輯順序也可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)章節(jié)有著四個(gè)邏輯：首先，從變化的世界中發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題（以概念的理解為支撐）;其次，建立函數(shù)或方程模型（以模型的求解為關(guān)鍵）;接著，利用函數(shù)的性態(tài)或方程的解求解模型（以方法的掌握為目標(biāo)）;最后，回到實(shí)際問(wèn)題對(duì)模型進(jìn)行完善和檢驗(yàn)（以素養(yǎng)的形成為理念）. 黨的十八大提出的立德樹人，“德”可以以課程目標(biāo)為指導(dǎo)，樹人，樹有能力的人，有“能力”，就必須靠我們教師潛移默化的傳授和引領(lǐng). 數(shù)學(xué)學(xué)科的“關(guān)鍵能力”就是學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題，而數(shù)學(xué)思維的表現(xiàn)方式可以理解為高中數(shù)學(xué)課標(biāo)中六大核心素養(yǎng)的外顯化，而“函數(shù)思想”是六大核心素養(yǎng)之一.

2. 函數(shù)思想該怎么教

（1）以“案例”為載體，滲透函數(shù)思想

①?gòu)淖償?shù)概念的引入到函數(shù)概念本質(zhì)的揭示

函數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)，以及典型的幾類常用函數(shù)都是函數(shù)思想的載體，只有通過(guò)研究，學(xué)生才能真正領(lǐng)會(huì)函數(shù)思想，從而在解決問(wèn)題中靈活運(yùn)用“函數(shù)思想”.

對(duì)于函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，要學(xué)會(huì)揭示函數(shù)概念的本質(zhì). 函數(shù)是一種相依關(guān)系的反映，是相依關(guān)系的數(shù)學(xué)表示，研究的是對(duì)應(yīng)關(guān)系與變化規(guī)律. 函數(shù)概念的引入，可以從變數(shù)概念開始[1]. 如為了表示實(shí)數(shù)，可以用字母x表示，x就是具體實(shí)數(shù)的抽象化過(guò)程，x可以是實(shí)數(shù)集合內(nèi)任意一個(gè)數(shù)，但它一旦確定為代表實(shí)數(shù)，就必須滿足實(shí)數(shù)的特性，并且可以是實(shí)數(shù)集內(nèi)的某個(gè)確定的數(shù)，因此它具備任意性和確定性兩個(gè)特性. 對(duì)于代數(shù)式10x，它可以看成含字母的函數(shù)，10x就是字母x的函數(shù). 對(duì)于給定的x的值，要求代數(shù)式10x的值，給定的x必須使得代數(shù)式存在或有實(shí)際意義，這就是函數(shù)中自變量的取值范圍. 10x就是x的對(duì)應(yīng)法則，因此在函數(shù)教學(xué)中，先有定義域和對(duì)應(yīng)法則，才有值域. 所以，在初中函數(shù)的學(xué)習(xí)階段，值域不做嚴(yán)格要求. 有了這一認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，“在一個(gè)變化的過(guò)程中，對(duì)于給定范圍內(nèi)的任意一個(gè)x，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，其中x叫自變量，y叫函數(shù)”這一抽象概念就不難理解了. 用字母表示數(shù)是初中學(xué)生從具體到抽象、從算數(shù)到代數(shù)的思維創(chuàng)新點(diǎn)，做好變數(shù)概念的引入，對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)意義的理解才會(huì)到位.

②從“多元參數(shù)”的消參領(lǐng)會(huì)函數(shù)思想的運(yùn)用

如何從一個(gè)含有多變?cè)臄?shù)學(xué)問(wèn)題里，選出合適的主變?cè)瑯?gòu)造以該主變?cè)獮樽宰兞康男潞瘮?shù)，進(jìn)而運(yùn)用函數(shù)思想，將一些復(fù)雜的方程、不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)來(lái)求解，使得問(wèn)題得到很好的解決，這也是中學(xué)階段要關(guān)注的函數(shù)意識(shí)培養(yǎng). 下面請(qǐng)看一例：

若不等式2x-1>a（x2-1）對(duì)滿足a≤1的一切實(shí)數(shù)a恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

本題通過(guò)變更主元，利用函數(shù)圖像的特征（一條線段），化繁為簡(jiǎn)，使問(wèn)題輕易得解. 當(dāng)然，這要基于學(xué)生對(duì)函數(shù)思想本質(zhì)的認(rèn)識(shí). 選擇變量是本題解決的關(guān)鍵，把x當(dāng)作主元， f（x）=ax2-2x-a+1就是關(guān)于x的二次函數(shù)，因?yàn)榻o出了a的范圍，所以討論f（x）<0時(shí)x的值，就需要分類討論，而把a(bǔ)作為主元時(shí)， f（a）=（x2-1）a-2x+1就是關(guān)于a的一次函數(shù)，而一次函數(shù)是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的，問(wèn)題就變簡(jiǎn)單了. 因此，遇到“多元參數(shù)”的函數(shù)或方程時(shí)，選擇合適的主變?cè)?，建立函?shù)模型并運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解，往往能使問(wèn)題的解決化難為易.

（2）以“銜接”為目標(biāo)，加強(qiáng)函數(shù)性態(tài)結(jié)構(gòu)的研究

對(duì)函數(shù)的研究，就是對(duì)函數(shù)性態(tài)的研究，如果學(xué)生有研究函數(shù)解析式的意識(shí)，也許用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像就會(huì)有更明確的思路，從函數(shù)圖像中獲取函數(shù)的性質(zhì)就不會(huì)突兀. 那么，函數(shù)的解析式該如何探究？

初中階段值得關(guān)注的函數(shù)性質(zhì)[2]可以是：自變量的取值范圍，函數(shù)的取值范圍，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)的有界性，特殊點(diǎn)處的函數(shù)值，函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)，函數(shù)圖像的某種對(duì)稱性，函數(shù)是否過(guò)特定點(diǎn)，函數(shù)解析式的參數(shù)特點(diǎn)等. 研究這些性質(zhì)，是以從數(shù)（式）到圖像再到數(shù)（式）的方式進(jìn)行展開的，下面以二次函數(shù)的復(fù)習(xí)課為例.

本題的難點(diǎn)在于學(xué)生對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)在函數(shù)圖像中表示的意義不易理解，學(xué)生通過(guò)畫圖觀察不難發(fā)現(xiàn)，x1，x2是關(guān)于直線x=1對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，反過(guò)來(lái)，關(guān)于直線x=1對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等.

教師繼續(xù)追問(wèn)：能否用一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式進(jìn)行刻畫？

師生一起通過(guò)對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行討論，得出：拋物線與直線y=m（m>-1）相交時(shí)，交點(diǎn)的兩橫坐標(biāo)滿足x1+x2=2. 最后，教師用表3呈現(xiàn)課堂教學(xué)中“數(shù)—形—數(shù)”的研究成果.

如果一節(jié)復(fù)習(xí)課把函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行深入研究與刻畫，相信解答2018年福建省中考第25題就不是難事！

結(jié)束語(yǔ)

研究函數(shù)的性質(zhì)，離不開函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系. 教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成用統(tǒng)一和聯(lián)系的思維看函數(shù)、方程和不等式問(wèn)題. 如求自變量的取值范圍，就是解不等式（組）;研究函數(shù)的增減性，涉及不等式的證明;方程、不等式的有關(guān)問(wèn)題可以統(tǒng)一到函數(shù)思想下進(jìn)行研究. 因此，函數(shù)的教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生把函數(shù)圖像作為一種語(yǔ)言去學(xué)習(xí)，從解析式可以描繪出圖像，從圖像特征又可以讀出函數(shù)的性態(tài)結(jié)構(gòu). 解決問(wèn)題時(shí)，更重要的是利用函數(shù)的性態(tài)結(jié)構(gòu)，量化地處理問(wèn)題，因此，函數(shù)性態(tài)結(jié)構(gòu)的架構(gòu)在初中階段可以慢慢滲透，為高中的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]邵光華. 作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M]. 上海：上海教育出版社，2009：229.

[2] 中華人民共和國(guó)教育部. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：29-31.