孫佳將，盧勇輝，趙 金

(華中科技大學 自動化學院，武漢430074)

0 引 言

感應電機因其結構簡單、價格低廉、運行可靠、可用于惡劣環(huán)境等優(yōu)點，在生產與生活中得到了廣泛的應用。近年來，有限控制集合模型預測控制作為一種新興的高效控制策略被應用到感應電機的控制中，因其易于實現(xiàn)多變量控制和處理非線性約束的特性而受到關注[1]。有限控制集合模型預測控制通過系統(tǒng)狀態(tài)預測的方法，利用設計好的目標函數(shù)直接控制磁鏈和轉矩。因為預測過程需要使用電機的真實磁鏈，所以該方案對磁鏈觀測的精度有很高的要求，而傳統(tǒng)的電流模型磁鏈觀測器和電壓模型磁鏈觀測器易受到電機參數(shù)變化的影響。

模型預測控制的磁鏈觀測和磁鏈與轉矩預測階段均對電機參數(shù)存在依賴，特別是在磁鏈觀測階段，磁鏈觀測的精度會直接影響下一步的磁鏈與轉矩預測，進而影響到最終的目標函數(shù)選擇。以閉環(huán)的磁鏈觀測器替代傳統(tǒng)的電流模型與電壓模型可以很好地解決這一問題。而在常見的全階磁鏈觀測器、降階磁鏈觀測器、擴展卡爾曼濾波和滑模磁鏈觀測器等閉環(huán)觀測器中，滑模磁鏈觀測器在提高參數(shù)魯棒性上表現(xiàn)出最優(yōu)越的性能[2-4]。

常規(guī)的滑模磁鏈觀測器依據電流觀測誤差設計滑?？刂坪瘮?shù)，在實現(xiàn)對轉子電阻變化的高魯棒性的同時也引入了定子電阻變化的影響[5]。本文提出一種基于磁鏈觀測誤差的滑?？刂坪瘮?shù)設計方法，對滑模觀測器的性能進行改進。因為磁鏈的真實值無法直接獲取，磁鏈誤差值以近似計算的方式得到。通過仿真和物理實驗驗證了該方案對電機參數(shù)變化的高魯棒性。

1 感應電機模型預測控制

感應電機在靜止兩相正交坐標系中的數(shù)學模型為

(1)

模型預測控制基于電機方程(1)建立對應的預測方程。該方案的原理是，對應于逆變器可產生的8種電壓矢量，通過預測在8種電壓矢量作用下電機下一時刻的磁鏈和轉矩，找到使目標函數(shù)值最小的電壓矢量施加于系統(tǒng)，其中目標函數(shù)代表了磁鏈和轉矩的最優(yōu)化結果。

1.1 磁鏈估計

磁鏈估計是模型預測控制方案的第一步。傳統(tǒng)的磁鏈估計方法包括電流模型和電壓模型兩種。考慮到電壓模型直流誤差累計的問題，通常采用電流模型對磁鏈進行估計。

(2)

在得到轉子磁鏈后，定子磁鏈由如下方程得到：

(3)

電流模型對定子電阻不敏感，但對轉子電阻和電感敏感。當定子電阻或電感存在誤差時，將會對磁鏈的估計產生影響。

1.2 磁鏈和轉矩預測

磁鏈和轉矩預測是感應電機模型預測控制的第二步。

定子磁鏈的預測模型通過電機的定子電壓方程得到。將定子電壓方程進行歐拉離散化可得：

(4)

式中，Ts為采樣周期。

轉矩預測模型通過電機的轉矩方程通過歐拉離散化得到：

(5)

式中電流的預測模型通過電機的電流方程和磁鏈方程推導得到：

(6)

1.3 目標函數(shù)選擇

目標函數(shù)的設計原理是，通過計算轉矩和磁鏈的參考值與預測值的差值，在所有預測值中選擇最接近于參考值的值。這樣，逆變器的每一個開關周期都會產生使系統(tǒng)最接近控制目標的電壓矢量。

(7)

式中，λ為權重因子。λ越大，表示磁鏈在控制目標中所占的比重越大。

權重因子一般表示為

(8)

1.4 電機參數(shù)變化的影響

電機在正常運行條件下，等效電路的參數(shù)很難保持恒定不變。定子電阻和轉子電阻的阻值會隨溫度發(fā)生變化，除了電機工作環(huán)境溫度的影響外，電機在運行過程中也存在發(fā)熱現(xiàn)象；同時，電機的趨膚效應也會導致電阻增加，漏電感減小。在感應電機的模型預測控制方案中，參數(shù)變化對磁鏈估計和控制量的預測都會產生影響，磁鏈估計階段造成的估計誤差也將直接影響到預測階段。

本文以Matlab/Simulink的仿真環(huán)境對上述方案進行參數(shù)魯棒性實驗。仿真使用的電機參數(shù)如表1所示。在每次仿真實驗中，通過修改Matlab電機模塊中的某一項電機參數(shù)，來模擬實際電機參數(shù)的變化。參數(shù)的變化范圍給定在50%～150%的標準值。仿真實驗取兩個極值進行仿真，即每一項電機參數(shù)的變化選擇0.5倍的標準值和1.5倍的標準值進行驗證。仿真實驗給定的調速系統(tǒng)工作場景相同，使用感應電機的模型預測控制方案，給定轉速500r/min，定子磁鏈給定0.6Wb。調速系統(tǒng)零負載起動，并在0.5s加50%額定負載(7Nm)。

表1 感應電機參數(shù)

圖1～圖3給出了電機的轉子電阻和互感變化的情況下，電機的仿真結果。由于電流模型不依賴電機的定子電阻，本文未給出定子電阻的仿真曲線。

圖1 轉子電阻增大50%

圖2 轉子電阻減小50%

轉子電阻和互感的變化都會對磁鏈的觀測結果造成影響。轉子電阻增大時，實際磁鏈在7Nm負載下與真實磁鏈存在0.2Wb的誤差，而在轉子電阻減小的情況下，系統(tǒng)不穩(wěn)定?；ジ凶兓瘜刂菩阅艿挠绊懴鄬^小，圖3給出互感減小的情況下系統(tǒng)的仿真結果，在零負載情況下實際磁鏈與觀測磁鏈之間產生0.3Wb的誤差，增加7Nm負載后，該誤差縮小到0.04Wb。

圖3 互感增大50%

圖4 互感減小50%

2 滑模磁鏈觀測器

由于電流模型磁鏈觀測器受電機參數(shù)變化的影響較大，本文提出一種感應電機滑模磁鏈觀測器設計方案以提高對電機參數(shù)變化的魯棒性。

滑模磁鏈觀測器模型以感應電機數(shù)學模型為基礎。以定子電流和轉子磁鏈為狀態(tài)變量，建立感應電機在αβ軸坐標系下的數(shù)學模型為

(9)

式中，isα和isβ為定子αβ軸電流，φrα和φrβ為轉子αβ軸磁鏈，usα和usβ為施加在定子上的αβ軸電壓。

由于滑模磁鏈觀測器的設計要以狀態(tài)變量的觀測值與實際值之差來建立滑模切換平面，而電機磁鏈的實際值無法直接得到，因此選擇以電流的觀測值和實際值的差值構建滑模切換面。

(10)

式中，Vα和Vβ為αβ軸上的滑?？刂坪瘮?shù)，該滑?？刂坪瘮?shù)基于電流觀測誤差進行設計，并選擇常值切換控制的方式，形式上由一個符號函數(shù)和其正系數(shù)M組成，其表達式為

(11)

將觀測器方程與電機方程作差，得到差值方程：

(12)

(13)

將式(12)代入式(13)可得

(14)

當M滿足如式(15)所示條件時，可保證該極限值小于零。

(15)

(16)

綜上，當M同時滿足式(15)和式(16)時，電流觀測系統(tǒng)滿足滑?？蛇_性條件，觀測狀態(tài)量軌跡最終進入滑動模態(tài)。

(17)

將Vα和Vβ的等效值代入磁鏈誤差方程，即可得到滑動模態(tài)時磁鏈觀測誤差的等效方程

(18)

(19)

在上述設計方案中，以電流觀測誤差作為滑模切換面設計滑?？刂坪瘮?shù)，該方案能使電流的觀測值很快的趨近于實際值，但對磁鏈的控制卻是間接的，當電機定子電阻發(fā)生變化時，觀測磁鏈仍無法很好地跟隨真實磁鏈。本文提出一種基于磁鏈觀測誤差地滑?？刂坪瘮?shù)設計方法，對上述滑模磁鏈觀測器設計方案進行改進。

在式(10)的滑模磁鏈觀測器方程中，加入新的滑模控制函數(shù)Uα和Uβ

(20)

(21)

(22)

(23)

而最終改進后的滑模磁鏈觀測方程為

(24)

N的取值需要考慮兩方面的因素，第一，N值需要保證Uα和Uβ能使磁鏈觀測值進一步趨近于其真實值，因此同樣需要滿足滑?？蛇_性條件；第二，N的取值不宜過大，導致Uα和Uβ本身設計所帶來的誤差被放大?？赏ㄟ^仿真實驗選取出最合適的N值。

滑模磁鏈觀測器的Matlab/Simulink仿真結果如圖5～圖10所示，分別給出了定子電阻、轉子電阻和互感變化的情況下電機的磁鏈觀測結果。

圖5 定子電阻增大50%

圖6 定子電阻減小50%

圖7 轉子電阻增大50%

圖8 轉子電阻減小50%

圖9 互感增大50%

圖10 互感減小50%

3 物理實驗

物理實驗包括控制性能實驗和參數(shù)敏感性實驗兩部分。

模型預測控制的階躍響應實驗結果由圖11給出。感應電機給定轉速500r/min，帶5Nm負載起動。 滑模磁鏈觀測器在參與調速系統(tǒng)控制的情況下，對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應性能未造成明顯影響。雖然滑模磁鏈觀測器本身會帶來抖振問題，但最終轉速曲線能很好地控制在500r/min的轉速給定，其波動在正負4r/min。磁鏈觀測值很好地控制在0.6Wb，轉矩觀測值在5Nm，與實際輸出轉矩一致。

在物理實驗中，無法對真實電機的物理參數(shù)進行修改。因此，此處滑模磁鏈觀測器的參數(shù)敏感性實驗采用反向的設定方式，通過修改滑模磁鏈觀測器中使用的電機參數(shù)來造成觀測器與電機的參數(shù)誤差，從而判斷在存在參數(shù)誤差的情況下系統(tǒng)的控制性能。參數(shù)敏感性實驗結果以轉子電阻變化為例給出。圖12和圖13分別給出了滑模磁鏈觀測器中轉子電阻增大50%和減小50%的實驗結果。實驗結果顯示，當系統(tǒng)存在參數(shù)誤差時，調速系統(tǒng)的控制性能未受到很大的影響，依然表現(xiàn)出很好的穩(wěn)態(tài)控制性能。

圖11 感應電機模型預測控制階躍響應曲線

圖12 滑模磁鏈觀測器中轉子電阻增大50%

圖13 滑模磁鏈觀測器中轉子電阻減小50%

當滑模磁鏈觀測器中轉子電阻增大50%時，轉速存在正負5r/min的波動，定子磁鏈控制在給定值0.6Wb，轉矩預測也接近實際輸出轉矩7Nm。當滑模磁鏈觀測器的轉子電阻減小50%時，其動態(tài)性能受到一定程度的影響，進入穩(wěn)態(tài)后，速度保持在500r/min，存在正負4r/min的波動，磁鏈被控制在0.6Wb的給定值，而觀測轉矩比實際輸出轉矩偏大。

4 結 論

本文以提高感應電機模型預測控制對電機參數(shù)變化的魯棒性為目的，設計了感應電機的滑模磁鏈觀測器，針對常規(guī)滑模磁鏈觀測器無法實現(xiàn)對定子電阻參數(shù)魯棒的問題，設計基于磁鏈觀測誤差的滑?？刂坪瘮?shù)對觀測器性能進行改進。仿真和實驗結果表明，本文設計的滑模磁鏈觀測器對電機參數(shù)變化具有很好的魯棒性，大大提高了感應電機模型預測控制的在電機參數(shù)變化情況下的控制性能。