成批維修策略下雷達(dá)冗余系統(tǒng)可用度研究

孫兆康

(1．湖北工業(yè)大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院， 湖北武漢 430068;2．湖北工業(yè)大學(xué)太陽(yáng)能高效利用湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心， 湖北武漢 430068;3．空軍預(yù)警學(xué)院， 湖北武漢430019)

0 引言

在許多相控陣?yán)走_(dá)中，特別是大型相控陣?yán)走_(dá)中，一方面這些雷達(dá)的使用可用度要求很高，如某大型相控陣?yán)走_(dá)要求大于99%；另一方面，由于陣面龐大，T/R組件數(shù)量達(dá)到幾千乃至幾萬(wàn)。由于雷達(dá)設(shè)備量很大，單個(gè)組件可靠性有限，使得雷達(dá)整機(jī)的基本可靠性很低，為了同時(shí)滿足高可用度和高可靠性要求，雷達(dá)中的許多分系統(tǒng)，如相控陣?yán)走_(dá)的陣面分系統(tǒng)、大功率開關(guān)電源分系統(tǒng)等，越來越多地采用冗余設(shè)計(jì)(即使用k/N系統(tǒng))。通過采用冗余設(shè)計(jì)，提高雷達(dá)的任務(wù)可靠性。然而，任務(wù)可靠性高不等于使用可用度就高，任務(wù)可靠性一定的情況下，使用可用度的高低取決于平均修復(fù)時(shí)間(MTTR)的長(zhǎng)短，而維修方式、初始備件量、維修人員配置等因素對(duì)MTTR有顯著影響。也就是說在任務(wù)可靠性一定的情況下，使用可用度很大程度上取決于維修方式、初始備件量、維修人員配置等因素。為此本文將通過建模和仿真的方法研究這些因素對(duì)雷達(dá)使用可用度的影響，最終給出提高雷達(dá)使用可用度的途徑。

文獻(xiàn)[1]用定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)理論來處理k/N系統(tǒng)的故障時(shí)間數(shù)據(jù)和維修時(shí)間數(shù)據(jù)，分析了維修組數(shù)與系統(tǒng)停止工作時(shí)部件故障數(shù)相同情況下的使用可用度，但未考慮備件對(duì)系統(tǒng)使用可用度的影響；文獻(xiàn)[2]通過建立多態(tài)串并聯(lián)可控系統(tǒng)可用度的精確求解模型，研究了基于狀態(tài)維修模式下，通信指揮裝備的可用度評(píng)估問題，但對(duì)冗余系統(tǒng)考慮不足；文獻(xiàn)[3]針對(duì)現(xiàn)有備件冗余度建模中無限呼叫總體假設(shè)不合理、供應(yīng)可用度計(jì)算困難的問題,提出一種k/N(G)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)初始備件配置方法，文章僅考慮了備件對(duì)使用可用度的影響；文獻(xiàn)[4]提出了當(dāng)系統(tǒng)可用度較低，采用串件策略提高系統(tǒng)可用度的方法；文獻(xiàn)[5]給出了以備件購(gòu)置費(fèi)用為優(yōu)化目標(biāo)、裝備可用度為約束條件，構(gòu)建了有限維修能力下的備件庫(kù)存優(yōu)化模型，沒有考慮系統(tǒng)冗余設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)[6]建立了m視情維修策略下k/N熱貯備系統(tǒng)的使用可用度模型，m維修策略是指當(dāng)N個(gè)部件中失效數(shù)量達(dá)到m(0

1 使用可用度模型

設(shè)k/N熱貯備系統(tǒng)包含N個(gè)失效時(shí)間都服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布且相互獨(dú)立的部件，至少需k個(gè)部件正常工作，系統(tǒng)才能正常運(yùn)行。系統(tǒng)開始工作時(shí)，N個(gè)部件都工作，系統(tǒng)工作滿一段時(shí)間L后停止工作，開始拆卸和更換失效部件，停止工作時(shí)故障部件數(shù)為n，是一個(gè)隨機(jī)變量。系統(tǒng)使用單位有C1個(gè)部件拆卸安裝人員，C2個(gè)部件修理人員，S0個(gè)初始備件。每個(gè)拆卸安裝人員一次只能拆卸安裝一個(gè)故障件，拆卸、安裝時(shí)間都服從參數(shù)為v的指數(shù)分布。每個(gè)部件修理人員一次只能修理一個(gè)故障件，修理時(shí)間服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，可以獨(dú)立不間斷地工作，修復(fù)好的故障件可作為備件使用。故障件全部拆卸后，在部件修理人員進(jìn)行修復(fù)的同時(shí)檢查備件數(shù)量，若此時(shí)的備件數(shù)量s大于故障件數(shù)量n，則進(jìn)行安裝；若備件數(shù)量s小于故障件數(shù)量n，則等待維修人員修復(fù)安裝所需的剩余n-s個(gè)故障件。安裝完畢后，系統(tǒng)恢復(fù)正常工作，開始下一個(gè)工作周期。系統(tǒng)的運(yùn)行過程如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)運(yùn)行過程圖

設(shè)L時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)平均工作時(shí)間為E(UL)(L時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)至少有k個(gè)部件正常工作的時(shí)間)，平均拆卸時(shí)間為E(R)，平均等待的備件時(shí)間為E(D)，平均安裝時(shí)間為E(I)，則系統(tǒng)的使用可用度可表示為

(1)

由于L已知，所以計(jì)算A0的關(guān)鍵是求解E(UL)、E(R)、E(D)及E(I)。

2 雷達(dá)使用可用度模型求解

2.1 計(jì)算E(UL)

由于t(0≤t≤L)時(shí)間內(nèi)單個(gè)部件可靠性函數(shù)為e-λt，所以k/N系統(tǒng)的可靠性函數(shù)為

(2)

進(jìn)而得到L時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)平均工作時(shí)間E(UL)為

(3)

2.2 計(jì)算E(D)

平均等待備件時(shí)間E(D)取決于以下3個(gè)因素：L時(shí)刻系統(tǒng)部件失效數(shù)n、失效部件全部拆卸時(shí)可用備件數(shù)s和修理剩余n-s個(gè)故障件的時(shí)間，可由式(4)表示：

PL(n)·π(s)

(4)

式中，E[RC2(n-s,S0-s+n)]為C2個(gè)部件修理人員修復(fù)總的S0-s+n個(gè)待維修故障件中n-s個(gè)的平均時(shí)間；π(s)為失效部件全部拆卸完畢時(shí)系統(tǒng)有s個(gè)可用備件的穩(wěn)態(tài)概率；PL(n)為L(zhǎng)時(shí)刻系統(tǒng)部件失效數(shù)為n的概率，服從參數(shù)為N和1-e-λt的二項(xiàng)分布，可由式(5)表示：

(5)

下面，求解E[RC2(n-s,S0-s+n)]。

令x=n-s，y=S0-s+n，x≤y，則E[RC2(x,y)]為C2個(gè)部件修理人員將總的y個(gè)待維修故障件中修復(fù)x個(gè)的平均時(shí)間。采用遞推法進(jìn)行求解。遞推公式如下：

E[RC2(x-1,y-1)]

(6)

當(dāng)x≤0，可以得出：

E[RC2(x,y)]=0

(7)

對(duì)于x>0，分為y≤C2，y>C2且x≤y-C2，y>C2且y-C2

當(dāng)x>0且y≤C2時(shí)，表示所有待修部件數(shù)量y小于等于部件修理人員數(shù)量，可以得到：

(8)

當(dāng)x>0，y>C2且x≤y-C2時(shí)，表示修復(fù)前x個(gè)故障件時(shí)剩余等待修復(fù)故障件數(shù)都大于部件修理人員數(shù)C2，由遞推公式可以得到：

(9)

當(dāng)x>0，y>C2且y-C2

(10)

下面，求解π(s)。

設(shè)第f次全部拆卸完成時(shí)系統(tǒng)可用備件數(shù)量為s(f)，0≤sf≤S0，由于部件失效時(shí)間、拆卸時(shí)間、修復(fù)時(shí)間、安裝時(shí)間都服從指數(shù)分布，則第f+1次全部拆卸完成時(shí)系統(tǒng)可用備件數(shù)量s(f+1)僅與s(f)有關(guān)，所以，{s(f),f=1,2,…}形成一個(gè)馬爾可夫鏈。

用pij表示從第f次全部拆卸完成時(shí)系統(tǒng)可用備件數(shù)量s(f)為i的狀態(tài)轉(zhuǎn)移到第f+1次s(f+1)為j的狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率，即

pij=P{s(f+1)=j|s(f)=i}

(11)

根據(jù)馬爾可夫鏈理論，可以得到π(s)與pij的關(guān)系式如下：

(12)

由式(12)可知，求解π(s)的關(guān)鍵是得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率pij。

定義Pr(a,b,C2,t)為時(shí)間t內(nèi)，C2個(gè)部件修理人員通過維修將總故障部件數(shù)量從a減少到b的概率。由文獻(xiàn)[7]可知：

(13)

在失效部件拆卸數(shù)量為n且拆卸全部完成時(shí)可用備件為i時(shí)，所有等待修復(fù)的失效部件總數(shù)為S0-i+n。若i

因此，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率pij可表示為

(14)

將式(14)代入式(12)可求出π(s)，在此基礎(chǔ)上，聯(lián)合式(4)可求解出平均等待備件時(shí)間E(D)。

2.3 計(jì)算E(R)和E(I)

部件的拆卸是安裝的反方向，在拆卸、安裝部件數(shù)量相同且拆卸、安裝人員數(shù)量相同時(shí)，拆卸時(shí)間可近似等于安裝時(shí)間。當(dāng)單個(gè)部件拆卸(安裝)時(shí)間服從參數(shù)為v的指數(shù)分布且拆卸(安裝)人員為C1時(shí)，平均拆卸時(shí)間E(R)或安裝時(shí)間E(I)可由式(15)表示：

(15)

3 雷達(dá)陣面使用可用度實(shí)例分析

某相控陣?yán)走_(dá)陣面模塊為116/128熱貯備系統(tǒng)(本文方法適用于更大陣面的情況，為仿真計(jì)算方便以較小的雷達(dá)陣面為例進(jìn)行分析)，模塊中各部件的失效時(shí)間服從λ=0.000 08h-1指數(shù)分布，拆卸和安裝時(shí)間服從參數(shù)為v=2h-1指數(shù)分布，修復(fù)時(shí)間服從參數(shù)為μ=0.006h-1指數(shù)分布。下面討論系統(tǒng)停機(jī)前工作時(shí)間L、初始備件數(shù)量S0、部件修理人員數(shù)C2對(duì)使用可用度的影響。

實(shí)驗(yàn)1：假設(shè)部件拆卸安裝人員數(shù)C1=1，系統(tǒng)停機(jī)前工作時(shí)間L=100 h，部件修理人員數(shù)C2的取值范圍為[1，4]，初始備件數(shù)量S0的取值范圍為[1，10]。得出C2與S0對(duì)使用可用度A0的綜合影響如圖2所示。

圖2 C2與S0對(duì)A0的綜合影響

由圖2可知，在部件拆卸安裝人員數(shù)C1和工作時(shí)間L保持固定時(shí)，當(dāng)部件修理人員數(shù)C2的取值較小時(shí)(C2=1)，增大S0只能有限增加使用可用度值，要大幅度增加使用可用度需增大C2值；而當(dāng)C2的取值大于2時(shí)，增加C2對(duì)使用可用度值的提升作用較小，而增大S0(S0≤5時(shí))可大幅提升使用可用度值。

下面，選取大于2的C2值，分析在部件維修能力足夠強(qiáng)時(shí)，初始備件數(shù)量S0、停機(jī)前工作時(shí)間L對(duì)使用可用度A0的綜合影響。

實(shí)驗(yàn)2：假設(shè)部件拆卸安裝人員數(shù)C1=1，部件修理人員數(shù)C2=3，系統(tǒng)停機(jī)前工作時(shí)間L以步長(zhǎng)24 h在24 h到240 h區(qū)間內(nèi)變化，初始備件數(shù)量S0的取值范圍為[1，4]。得出S0與L對(duì)使用可用度A0的綜合影響如圖3所示。

圖3 S0與L對(duì)A0的綜合影響

由圖3可知：在部件維修能力足夠大條件下(C2>2)，當(dāng)停機(jī)前工作時(shí)間L固定時(shí)，使用可用度值隨著初始備件數(shù)量S0的增大而增加，但增加的幅度趨于緩和；當(dāng)初始備件數(shù)量S0固定時(shí)，使用可用度值并不隨時(shí)間L單調(diào)變化，而是先增大再減小，存在一個(gè)最佳L值使使用可用度值最大。

綜合實(shí)驗(yàn)1和2，可以得到以下結(jié)論：

1)在部件維修能力不足的條件下(C2≤2)，使用可用度值將停留在一個(gè)較低的水平，且此時(shí)初始備件數(shù)量S0、停機(jī)前工作時(shí)間L對(duì)提高使用可用度值幫助不大。

2)在部件維修能力足夠大的條件下(C2>2)，若想保持較高的使用可用度值，初始備件數(shù)量S0也不應(yīng)太小，應(yīng)配置一定數(shù)量的備件。

3)在備件數(shù)量S0、部件修理人員數(shù)C2都充足的情況下，應(yīng)合理選取時(shí)間L值以保證使用可用度值最大，因?yàn)槭褂每捎枚戎挡⒉浑S時(shí)間L單調(diào)變化。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文給出了定期成批維修策略下k/N系統(tǒng)使用可用度模型，通過實(shí)例分析了停機(jī)前工作時(shí)間L、初始備件數(shù)量、部件修理人員數(shù)量等因素對(duì)系統(tǒng)使用可用度的影響。該模型可以為k/N系統(tǒng)保障方案的制定、保障資源的規(guī)劃提供決策支持。