一維M形勢壘透射系數(shù)的計算與分析*

吳仍來

(嶺南師范學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 廣東 湛江 524048)

1 引言

在經(jīng)典力學(xué)的范疇，宏觀物體不能跨越比其動能大的勢壘，該類經(jīng)典力學(xué)案例最常見的有兩種，其一，小球克服重力勢能跨越斜木板問題：斜木板頂端和底端的重力勢能差大于小球初始動能時，從底端出發(fā)的小球不可能跨過斜木板；其二，帶電粒子克服電勢能跨越電容器的兩個極板問題：電容器兩極板的電勢能差值大于帶電粒子的初始動能時，從極板低電勢能一端出發(fā)的帶電粒子不能到達另一極板．從上面兩個案例可知經(jīng)典力學(xué)表現(xiàn)出很強的因果定律，在力的作用下，物體具有決定性的運動狀態(tài)．但是同樣的兩個案例，如果將物體的尺寸都減小到微觀領(lǐng)域納米量級，經(jīng)典力學(xué)的決定性結(jié)果將不再成立．這時物體變成微觀粒子，波粒二象性的特征非常顯著，其運動狀態(tài)服從量子力學(xué)中波函數(shù)描述的結(jié)果，并可能導(dǎo)致與經(jīng)典力學(xué)完全相違背的結(jié)果出現(xiàn)[1]，即：微觀物體能夠貫穿比其動能大的勢壘，這種勢壘貫穿現(xiàn)象在量子力學(xué)領(lǐng)域被稱為隧道效應(yīng)．隧道效應(yīng)在顯微技術(shù)領(lǐng)域具有相當重要的應(yīng)用價值，催生了掃描隧道電子顯微鏡的誕生[1]．針對勢壘貫穿問題，很多教材和文獻都進行了討論，最典型的有量子力學(xué)教材中方形勢壘的貫穿問題[1,2]，此外，文獻[3]分析了一維多個位勢結(jié)構(gòu)的透射系數(shù)，并對其中的諧振隧穿現(xiàn)象進行了討論；文獻[4]計算了一維梯形勢壘的透射系數(shù)，并討論了透射系數(shù)隨勢壘斜率的變化；文獻[5]計算了一維三角形多勢壘結(jié)構(gòu)的共振透射系數(shù)．上述研究從不同結(jié)構(gòu)出發(fā)，對一維體系的勢壘貫穿現(xiàn)象進行了分析和討論．基于上述研究結(jié)果，本文設(shè)計了一維M型勢壘結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)對應(yīng)著部分量子點內(nèi)部的勢能分布情況，當微觀粒子(如電子)透過M形勢壘時，其透射系數(shù)的分析對其電導(dǎo)和輸運特性非常重要，因此本文利用薛定諤方程對電子通過M形勢壘時的透射系數(shù)進行了求解和數(shù)值分析．

2 理論模型和求解

(1)

圖1 M形勢壘的模型圖

從經(jīng)典力學(xué)的角度，當電子的能量E小于勢壘的高度U0，則電子不能到達勢壘的Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ區(qū)．但是經(jīng)典力學(xué)只能求解宏觀粒子低速運動問題，對于微觀粒子，應(yīng)該用量子力學(xué)方法求解．式(1)中勢能分布與時間無關(guān)，反映微觀粒子全部運動狀態(tài)的波函數(shù)滿足一維定態(tài)薛定諤方程[1，2]

(2)

式中m為電子的有效質(zhì)量，?為普朗克常量，E為電子的本征能量，Ψ(x)為屬于本征能量E的本征波函數(shù)．這里為了簡便，忽略勢壘對電子有效質(zhì)量的影響，默認電子的有效質(zhì)量為其靜止質(zhì)量，m=9.1×10-31kg．

接下來在每個勢壘區(qū)列出定態(tài)薛定諤方程，并分別進行求解．

在Ⅰ區(qū)和Ⅳ區(qū)，電子的波函數(shù)均滿足

(3)

令

式(3)可簡化為

(4)

則Ⅰ區(qū)電子波函數(shù)的通解可表示為

ΨⅠ(x)=AⅠeikx+BⅠe-ikx

(5)

式(5)中ΨⅠ(x)的下標Ⅰ表示波函數(shù)的取值范圍在Ⅰ區(qū)，下文波函數(shù)的表示方法均類似，AⅠ和BⅠ為波函數(shù)的待定系數(shù)，AⅠeikx表示Ⅰ區(qū)向x正方向運動的電子的波函數(shù)，即電子的入射波函數(shù)；BⅠe-ikx表示Ⅰ區(qū)向x負方向運動的電子的波函數(shù)，即電子的反射波函數(shù)．同理，Ⅳ區(qū)電子的波函數(shù)可表示為

ΨⅣ(x)=AⅣeikx+BⅣe-ikx

(6)

上式中AⅣ和BⅣ為Ⅳ區(qū)電子波函數(shù)的待定系數(shù)，AⅣeikx表示Ⅳ區(qū)向x正方向運動的電子的波函數(shù)，即透射后電子的波函數(shù)；BⅣe-ikx表示Ⅳ區(qū)向x負方向運動的電子的波函數(shù)．由于電子是從左邊入射，到達右邊Ⅳ區(qū)后不會再有反射，所以Ⅳ區(qū)的電子只能向右運動，因此BⅣ=0．

在Ⅱ區(qū)，電子的波函數(shù)滿足

EΨⅡ(x)

(7)

令

式(7)可簡化為

(8)

上式為Airy方程[5,6]，其解為第一類艾里函數(shù)Ai(ξ)和第二類艾里函數(shù)Bi(ξ)的線性組合

ΨⅡ(ξ)=AⅡAi(ξ)+BⅡBi(ξ)

(9)

式中AⅡ和BⅡ為Ⅱ區(qū)電子波函數(shù)的待定系數(shù)．

在Ⅲ區(qū)，電子的波函數(shù)滿足

EΨⅢ(x)

(10)

令

式(10)亦可簡化為Airy方程

(11)

則Ⅲ區(qū)電子的波函數(shù)可表示為Ai(ζ)和Bi(ζ)的線性組合

ΨⅢ(ζ)=AⅢAi(ζ)+BⅢBi(ζ)

(12)

式中AⅢ和BⅢ為Ⅲ區(qū)電子波函數(shù)的待定系數(shù)．

AⅠ+BI=AⅡAi(ξI)+BⅡBi(ξI)

(13)

ikAⅠ-ikBⅠ=

-κAⅡAi'(ξⅠ)-κBⅡBi′(ξI)

(14)

上面兩式中

AⅡAi(ξⅡ)+BⅡBi(ξⅡ)=

AⅢAi(ζⅡ)+BⅢBi(ζⅡ)

(15)

-κAⅡAi′(ξⅡ)-κBⅡBi′(ξⅡ)=

κAⅢAi′(ζⅡ)+κBⅢBi′(ζⅡ)

(16)

在式(15)和(16)中

AIVeika=AⅢAi(ζI)+BⅢBi(ζⅠ)

(17)

ikAIVeika=

κAⅢAi′(ζⅠ)+κBⅢBi′(ζⅠ)

(18)

式(17)和(18)中

對應(yīng)x=a時ζ的取值，根據(jù)對比有

ξⅠ=ζⅠ

令

u=Ai(ξⅠ)σ=Bi(ξⅠ)

u′=Ai′(ξⅠ)σ′=Bi′(ξⅠ)

c=Ai(ξⅡ)d=Bi(ξⅡ)

c′=Ai′(ξⅡ)d′=Bi′(ξⅡ)

式(13)～(18)可分別簡化為

AⅠ+BⅠ=uAⅡ+σBⅡ

(19)

(20)

cAⅡ+dBⅡ=cAⅢ+dBⅢ

(21)

(22)

AIVeika=uAⅢ+σBⅢ

(23)

(24)

利用ik乘以式(23)再減去式(24)得

(25)

上式中

α=κu′-iku

β=κσ′-ikσ

將式(25)代入式(23)得

(26)

上式中利用了艾里函數(shù)的性質(zhì)：對于任意的變量ξ，艾里函數(shù)滿足朗斯基行列式

即有

將式(26)代入式(25)得

(27)

(28)

AⅡ=π(cd′+c′d)AⅢ+2πd′dBⅢ

(29)

利用ik乘以式(19)再加上式(20)得

2ikAⅠ=-αAⅡ-βBⅡ

(30)

將式(28)和(29)代入式(30)得

2ikAⅠ=

-α[π(cd′+c′d)AⅢ+2πd′dBⅢ]+

(31)

將式(26)和(27)代入式(31)，并整理公式可得

(32)

由式(32)可得M形勢壘電子的透射系數(shù)

(33)

對于寬度為a，高度為U0的方形勢壘，透射系數(shù)的表達式為[1]

(34)

上式中

3 數(shù)值計算與分析

基于式(33)和(34)，下面通過數(shù)值求解畫出透射系數(shù)隨入射電子的能量、勢壘的高度和寬度的變化圖像．

圖2給出透射系數(shù)隨電子能量的變化，其中勢壘高度U0=1.0 eV，勢壘寬度a=0.8 nm．實線M形勢壘的結(jié)果顯示：當電子的能量為0.68 eV時，透射系數(shù)為1，此時電子發(fā)生了諧振隧穿，M形勢壘相對電子的運動來說是透明的；在諧振隧穿前，透射系數(shù)會隨電子能量的增加而增加；在諧振隧穿后，透射系數(shù)隨電子能量的增加會有個減小的過程．虛線方形勢壘的結(jié)果給出，只有電子的能量大于勢壘的高度1.0 eV時，方形勢壘才會出現(xiàn)諧振隧穿．這意味著M形勢壘比方形勢壘更方便電子諧振隧穿，因為M形勢壘比方形勢壘中間多了個V形勢阱，所以能在入射電子的能量小于勢壘高度時就發(fā)生諧振隧穿．圖2結(jié)果還顯示，即使入射電子的能量大于勢壘的高度，M形和方形勢壘電子的透射率也可能小于1，只有當入射電子的能量遠遠大于勢壘的高度時，透射系數(shù)才會一直接近于1．

圖2 透射系數(shù)隨電子能量的變化

圖3給出透射系數(shù)隨勢壘高度的變化，其中入射電子的能量E=1.0 eV，勢壘寬度a=0.8 nm．M形勢壘的結(jié)果顯示，在U0=1.97E時電子會發(fā)生諧振隧穿，在諧振隧穿前，隨著勢壘高度的增加透射系數(shù)先減小后增加，在諧振隧穿后，透射系數(shù)隨勢壘高度的增加單調(diào)下降，直到透射系數(shù)接近于零．

圖3 透射系數(shù)隨勢壘高度的變化

對比圖3中M形勢壘和方形勢壘的結(jié)果，可發(fā)現(xiàn)：在U0<0.66E時，M形勢壘的透射系數(shù)一直比方形勢壘的更??；在U0>0.66E時，M形勢壘的透射系數(shù)一直比方形勢壘的更大．這說明在低勢壘區(qū)，電子更容易透射方形勢壘，而在高勢壘區(qū)，電子更容易透射M形勢壘．

圖4給出透射系數(shù)隨勢壘寬度的變化，其中入射電子的能量E=1.0 eV．不同小圖中，勢壘的高度U0不同．結(jié)果顯示，U0=0.8E時，無論M形勢壘還是方形勢壘，透射系數(shù)隨著勢壘寬度的增加都近乎呈現(xiàn)周期性的諧振隧穿，且最小透射系數(shù)大于0.5；U0=E時，隨勢壘寬度的增加，方形勢壘的透射系數(shù)迅速單調(diào)下降，但M形勢壘的透射系數(shù)還是近乎周期性地呈現(xiàn)諧振隧穿，再次反映M形勢壘相比方形勢壘更容易發(fā)生諧振隧穿；在U0=1.5E和U0=2E時，M形勢壘的透射系數(shù)發(fā)生諧振隧穿的次數(shù)相比U0=E時減少很多，且透射系數(shù)的部分峰值已經(jīng)小于1，對應(yīng)著沒有諧振隧穿產(chǎn)生；在U0=4E時，M形勢壘中雖然有透射峰的出現(xiàn)，但已經(jīng)不會出現(xiàn)諧振隧穿；在U0=5E時，更是連透射峰都消失了，透射系數(shù)隨勢壘寬度的增加迅速單調(diào)衰減至零．上述結(jié)果表明，勢壘高度與電子的能量差不多大時，M形勢壘中才容易出現(xiàn)諧振隧穿，隨著勢壘高度的增加，M形勢壘中發(fā)生諧振隧穿的次數(shù)會越來越少，直至沒有諧振隧穿產(chǎn)生．

圖4 透射系數(shù)隨勢壘寬度的變化

4 結(jié)論

本文構(gòu)造了一維M形勢壘的模型，基于薛定諤方程的求解，給出了M形勢壘中透射系數(shù)的表達式，并數(shù)值分析了透射系數(shù)隨入射電子的能量、勢壘高度和寬度的變化情況．結(jié)果表明，在勢壘高度不變時，達到諧振隧穿前，透射系數(shù)會隨入射電子的能量的增加而增加，且當電子的能量小于勢壘的高度時，M形勢壘中依然會出現(xiàn)諧振隧穿．在入射電子的能量不變時，達到諧振隧穿前，隨著勢壘高度的增加透射系數(shù)會先減小后增加，在諧振隧穿后，隨勢壘高度的增加透射系數(shù)單調(diào)下降直至為零．在入射電子的能量不變時，若勢壘高度與電子能量相當，透射系數(shù)隨著勢壘寬度的增加會近乎呈現(xiàn)周期性的諧振隧穿，當勢壘的高度逐漸變大，M形勢壘中發(fā)生諧振隧穿的次數(shù)會越來越少，最后會沒有諧振隧穿產(chǎn)生．進一步，本文將M形勢壘的透射系數(shù)和方形勢壘的透射系數(shù)做了比較，發(fā)現(xiàn)M形勢壘比方形勢壘更容易出現(xiàn)諧振隧穿，在低勢壘區(qū)，電子更容易透射方形勢壘，而在高勢壘區(qū)，電子更容易透射M形勢壘．