小學數學典型錯例分析及矯正策略

數與代數

【錯例】

【診斷】

1.分數意義建構不到位。

教師在“分數的意義”的教學過程中，沒有引導學生主動進行分數意義的建構，導致學生沒能真正理解具體數量和份數之間的區(qū)別與聯(lián)系。

2.數量分率理解不清晰。

學生在認識分數意義的過程中，沒有真正認清什么樣的數表示具體的數量，什么樣的數表示分率，學習的過程沒有結合具體情境來分辨兩者的區(qū)別。

3.知識之間銜接有欠缺。

分數的意義教學間隔的時間較長，在學生心中沒有形成一個真正的知識體系，造成了知識間銜接不緊湊，遺忘也是導致學生沒有真正能夠理解分數意義的重要原因。

【對策】

1.注重知識之間的建構。

教學分數的意義的時候，可以結合生活實際來區(qū)分分率和數量之間的不同，還應該結合畫圖的策略幫助學生建立起分率和數量之間的對應關系。

2.強化知識之間的銜接。

在教學分數認識的各個階段，要合理強化前后知識的串聯(lián)，使得學生真正理解分數的意義，內化為自己的知識，并能用較準確的語言表達自己對分數的理解。

【練習】

(1)把2米長的繩子平均分成5段，每段長度相當于1米的（ ）；2段這樣的繩子長（ ）米。

A.第一根長 B.第二根長

C.兩根一樣長 D.無法比較

【錯例】

（1）A和B都是自然數（0除外），且A÷B=4。那么，A和B的最大公因數是（ 4）。

（2）A和B是相鄰自然數（0除外）。那么，A和B的最大公因數是（ A）；A和B的最小公倍數是（ B）。

【診斷】

1.知識本質理解不清晰。

題目中只給了兩個抽象的字母，學生不能實現從抽象到具體的轉換，例如第（1）題學生沒有弄清A÷B=4表示兩個數是倍數關系，即A是B的倍數（B是A的因數）。

2.思維定勢的影響。

學生在解決此類問題時，受第（1）題的影響，錯誤地以為第（2）題答案不是A就是B，沒有思考當A和B是相鄰自然數時，兩個字母所表示數的關系并非倍數關系，而是互質關系。

【對策】

1.深化知識本質，辨析數學概念。

在教學“數的整除”這部分知識時，除了借助列舉的方法找出兩個數的最大公因數和最小公倍數，還應該幫助學生厘清兩個數之間的關系，概括出兩個數的最大公因數和最小公倍數與這兩個數關系之間的規(guī)律。

2.鼓勵大膽設疑，完善思維過程。

教師在解決此類問題之后，引導學生通過舉例驗證，深化理解，活用知識。讓學生自己舉出相關例子，來驗證所填寫的最大公因數和最小公倍數是不是符合這樣的特點。

【練習】

（1）A和B都是自然數（0除外），且A=3B。那么A和B的最大公因數是（ ），A和B的最小公倍數是（ ）。

（2）所有偶數（0除外）的最大公因數是（ ）。

【錯例】

一個三位小數，保留兩位小數約是3.00。這個三位小數最大是3.001，最小是2.999。

【診斷】

1.考慮問題不夠全面。

學生在解決此類問題時，雖然注意到了保留兩位小數后約是3.00，但忽略了“最大”和“最小”這兩個關鍵詞，沒有真正地利用“四舍五入”的方法來解決問題，沒有把所有符合的情況一一列舉出來，進而選出符合要求“最大”和“最小”的這兩個數。

2.學生數感比較薄弱。

學生生活中雖然接觸小數，但是運用小數的改寫和省略的機會不多，掌握起來相對比較困難，只是憑自己的直觀感覺得到這兩個數。憑感覺得出的結果往往是不全面的，甚至是錯誤的。

3.逆向思維訓練不夠。

在我們平時教學中，往往只是強調“把一個數保留幾位小數”“把一個小數精確到百分位”等這樣的正向思維訓練，缺少逆向思維的訓練，比如：一個兩位小數保留一位小數后是10.0，這個兩位小數可能是多少。從而導致學生在解決此類問題的時候，經常是胡亂地填寫一個結果。

【對策】

1.優(yōu)化學習方式，激發(fā)學生思維。

在教學中，教師要盡量避免讓學生死記硬背的學習方式，要想方設法激發(fā)學習的興趣，穿插順向思維和逆向思維練習的訓練，把問題拋給學生，增加探究的成分。

2.注重思維嚴密性的訓練。

在課堂上，如果學生給出了不盡合理或不夠完善的答案，作為教師，此時我們不應該立即給出判斷，可以用這樣的語言去啟發(fā)學生：“你再想一想，是不是還有其他的可能性？”“其他同學可以再思考一下，他的結果是不是完全符合題目的要求呢？”長期堅持這樣的訓練，學生的思維會變得更開闊、更嚴密。

【練習】

（1）一個整數四舍五入到萬位大約是4萬，這個整數最大是（ ），最小是（ ）。

（2）一個一位小數精確到個位大約是4，符合這樣的要求的數一共有（ ）個。

【錯例】

（1）5.4+6=6

（2）0.3×0.2=0.6

【診斷】

1.算理掌握不牢。

學生對小數計算的算理理解不到位，沒有真正掌握算法。第（1）題是小數的數位概念還沒有真正建立，小數加減法的計算法則掌握不牢，受整數加減法算法的影響，誤以為小數加減法計算方法也是末位對齊。第（2）題中，學生受小數加減法的影響，誤認為是小數點對齊。

2.學習體驗膚淺。

學生不能從小數的計算活動中獲得相關的數學體驗，只是根據自己的判斷，隨便地確定小數點的位置，計算時比較盲目、隨意，導致簡單的計算錯誤率較高。

【對策】

1.自主探究，經歷過程體驗。

在教學過程中，教師要主動放手，讓學生自主探究小數的計算法則，引導學生借助小組合作的形式來探究計算法則的過程，在“合作交流”的過程中，交流分享知識形成的過程，從而讓學生真正理解小數計算的法則。

2.注重對比，強化反思習慣。

在學生基本掌握算法能夠獨立完成小數的四則計算后，教師可以安排題組對比練習，如：“5.4+6=”和“5.4+0.6=”,“0.3×0.2=”和“0.3×2=”。讓學生先計算，再比較算法和算理以及計算的結果上有什么區(qū)別和聯(lián)系，激發(fā)學生的反思意識、主動驗算的意識，形成良好的學習習慣。

【練習】

（1）8+3.2=

（2）0.4×0.3的積是（ ）位小數。

【錯例】

4.7÷0.8的商是（ 5），余數是（ 7）。

【診斷】

1.忽視算理的理解。

教學過程中，教師只是重視了計算的過程和結果，但是忽視了相關算理的理解，教學時只是重點強調了“把除數轉化成整數，按整數除法的計算法則進行計算”這一計算操作方法，卻忽視了余數所表示的實際意義，計算過程的探究缺少算理的支撐。

2.輕視結果的驗證。

在小數除法計算的時候，結果的驗證往往是比較困難的，學生只是憑自己的直觀感覺得出余數是多少。其實這道題的被除數只有4.7，除數是0.8，余數不可能比除數大，學生只是根據轉化之后的除法豎式，看到余數是“7”，而實際上，這里的“7”所在數位是十分位，不是個位。

【對策】

1.自主探究算理，強化計算技能。

在教學中，教師在放手讓學生自主探究“除數是小數的除法”的計算法則時，引導學生交流、分享在計算過程中遇到的困惑，特別是商所在的位置以及每一步的余數所表示的意義，教師適時引導學生說說每一步的余數所表示的意義。

2.注重方法引導，重視結果驗證。

除數是小數的除法計算，學生往往不去深究每一步算的是什么，這時就需要教師引導學生在計算的過程中仔細觀察余數與被除數的關系。特別是轉化之后的算式，結果大約是多少，學生要做到心里有數。同時，要提醒學生計算完之后，進行必要的驗算。這樣的過程看似多余，卻必不可少。

【練習】

下面的4道算式中，與“3.48÷12”結果相等的是（ ）。

A.348÷12 B.34.8÷120

C.348÷1.2 D.0.348÷0.12

【錯例】

在括號里填上合適的計量單位。

（1）一瓶眼藥水的容積大約是0.01（毫升）。

（2）我們學校的占地面積大約是4.5（平方千米）。

【診斷】

1.缺乏生活體驗。

對于常用的計量單位的填寫，學生不容易出錯，那是因為學生在平時生活中經常接觸到這些計量單位。而對于一些不常接觸的計量單位，如：公頃、平方千米等，學生填寫就覺得比較困難。

2.缺少思維方法。

對于一些距離學生生活實際比較遠的計量單位，學生只是憑自己直觀的感覺去想象，比如第（1）題，學生通常想到的是眼藥水瓶容積很小，應該以毫升為單位，卻忽視了“0.01”這個數，沒有深入思考“0.01毫升”究竟是多少。要引導學生先回憶1毫升有多少，再思考：一瓶眼藥水的容積是0.01毫升，合適嗎？

【對策】

1.結合生活實際，強化認識。

教學中，教師要著重引導學生結合生活實際，多舉一些生活中的實例。對于一些不常見的計量單位，在課堂上，教師可以結合周邊的事物去比較，如：1毫升（即1立方厘米）有自己的大拇指指尖那么大，1升（即1立方分米）有兩個粉筆盒那么大，1立方米比自己家的餐桌所占的空間大一些等，1公頃有我們學校操場面積那么大，1平方千米有100個操場那么大。幫助學生形成直觀的體驗，真正做到合理使用這些計量單位。

2.注重知識對比，形成直觀體驗。

單元知識學習結束后，要對所學的計量單位進行縱向對比，建立幾種計量單位之間的知識體系，明白這些計量單位應用在哪里更加合理，同時還要注意把“數”和“量”綜合考量，準確界定其大小。另外，長度單位和面積單位及體積（容積）單位也要進行比較，讓學生明白它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。借助比較，讓學生對這些計量單位有更深刻的認知。

【練習】

（1）我們教室地面一塊地磚的面積大約是2500（ ）。

A.平方厘米 B.平方分米

C.平方米 D.公頃

（2）河北省的占地面積大約是18.88萬（ ）。

A.千米 B.公頃

C.平方米 D.平方千米

【錯例】

（1）1.2×0.8÷1.2×0.8

=0.96÷0.96

=1

（2）2.4+3.6÷0.72-0.22

=6÷0.5

=12

【診斷】

1.錯誤的“強”信息的干擾。

在學習了運算律和性質以后，“能簡便計算的要簡便計算”在學生的大腦中留下了深刻的印象。當遇到與“強”信息相類似的外來信息時，原有的強信息將會被進一步激活，從而淡化原有的信息。特別是當算式中出現了能“湊整”的情況下，如第（2）題中學生看到“2.4+3.6=6”“0.72-0.22=0.5”，就誤以為可以把“湊整”的數直接進行計算，卻不顧及正確的運算順序，導致計算錯誤。

2.正確的“弱”信息的消退。

教師在教學過程中，過分強調了運算律和性質的使用，從而淡化了四則混合運算的基本法則。其實計算法則才是混合運算的真正核心所在，學生在沒有真正掌握計算法則的基礎上就進行簡便計算，當然會出現被貌似“湊整”的式子所“忽悠”的現象了。

【對策】

1.突出算理，形成知識技能。

在平時教學中，無論是口算、估算、筆算，還是混合運算（簡便計算），教師都應幫助學生樹立以“理”解題的觀念?？谒愎P算要有算理，混合運算要以法則、規(guī)律或性質為支撐。脫離了算理來進行簡便計算，那只是學生的一廂情愿。另外在進行簡便計算教學時，最好把不能進行簡便計算和能進行簡便計算的習題同時呈現，讓學生在對比中形成正確使用運算律的技能。

2.轉變思想，培養(yǎng)學習習慣。

通過簡便計算的學習，不僅僅讓學生體驗到數學的簡潔便利，還能夠感受到數學思維的靈活性，但是千萬不能讓學生步入“簡便計算就是‘湊整’”的誤區(qū)。針對這一現象，一方面，教師一定要加強學生對計算法則和運算律的認識和理解，另一方面，還需引導學生養(yǎng)成驗算的習慣。

【練習】

下列各題能簡便計算的就簡便計算。

（1）16.8-4.8÷4×2.5

（2）3.8×4.99-49.9×0.18

【錯例】

（1）正方形的面積和邊長成正比例。（√）

（2）在同一時間同一地點，物體的高度和影子的長度成正比例。（×）

【診斷】

1.概念不清，公式不牢。

正反比例知識是初中數學一元一次函數的“雛形”，對于這部分知識的學習，有助于幫助學生豐富對函數的感受，更有助于理解常用的數量關系。在教學過程中往往對一些概念性的知識交待不到位，如“定量”“變量”“一定”等數學名詞學生感到抽象陌生，學生解決問題時當然是困難重重。另外，學生對以往學過的數量關系式和數學公式記憶不牢，公式之間的轉換混淆不清。

2.核心問題沒有抓住。

無論是成正比例還是成反比例的兩種量，在教學過程中，教師一定要引導學生抓住兩個“變量”和一個“定量”，成正比例的兩種量的比值是一定的，成反比例的兩種量的乘積一定。比如第（1）題中正方形的邊長一定，那么另外一條邊長也是一定的，那么它的面積必然也是一定的，不可能成比例關系。第（2）題，如果在教學過程中，學生有過類似的操作體驗，就能知曉物體的高度和影子的長度的比值是一定的。

【對策】

1.教學環(huán)節(jié)要細化。

教學中，教師有必要把學生陌生的數學名詞交待清楚，通過結合實例和數量關系式來介紹。如：一輛汽車在高速公路上，保持相同的速度，汽車行駛的時間和所行的路程成什么比例。這里的汽車速度就是定量，時間和路程就是變量；再如：正方形的周長等于邊長乘4，這里的“4”就是定量，周長和邊長就是變量。這樣的細節(jié)性的介紹和講解是必不可少的。

2.數量關系要強化。

現在的教材中，對于一些數量關系有時避而不談，甚至淡化，這就造成了部分學生的數量關系的模糊。比如：工作總量、工作時間和工作效率之間的關系。另外，教學中教師要引導學生對一些常見的數量關系和公式進行自如地轉換，如：時間、速度和路程以及單價、數量和總價等，這樣學生直接借助數量關系式就能進行判斷。

3.特殊情況要固化。

對于一些不經常接觸的數量關系要幫學生形成一個固定化的建構。成正比例關系的如：第（2）題中在同一時間同一地點，物體的高度和影子的長度，以及鋼材的質量和體積。另外，還要注意不成比例的兩個量的情況，如：（1）平方關系；正方形的面積和邊長。（2）加減關系；被減數、減數和差。（3）不關聯(lián)；身高和體重。

【練習】

（1）互為倒數的兩個數成（ ）比例。

（2）圓周長=（ ）×（ ）。（ ）一定，（ ）和（ ）成（ ）比例。

【錯例】

(1)一個兩位數，個位上的數是b，十位上的數是a。用含有字母的式子表示這個兩位數是（ab）。

（2）2a與a2一定相等。 （ √ ）

【診斷】

1.已有認知的不恰當遷移。

學生在學習的過程中很容易受前面知識的影響，比如第（1）題，如果給出一個兩位數，個位上的數是4，十位上的數是7，學生會很迅速地寫出這個兩位數是74。學生一直都認為個位上的數就應該寫在個位上，十位上的數就應該寫在十位上，但并沒有真正意義上明白個位上是幾表示幾個“一”，十位上是幾表示幾個“十”，這樣就造成錯誤了。第（2）題也是如此，“2a”表示2個a相加，“a2”表示2個a相乘。學生都誤以為是2個a，從而導致錯誤。

2.教學環(huán)節(jié)不夠細化。

在教學過程中，學生在學習用字母表示數的乘法算式改寫時，教師只是對省略寫法進行了簡略的介紹，甚至是讓學生通過自學完成，并沒有進行深化、對比，學生對省略乘號的前因后果并不清楚，導致應用時出現錯誤。

【對策】

1.教學過程細化，防止思維定勢。

教學時教師要及時引導學生注意審題，每一個環(huán)節(jié)都要細化，有的內容該強調還是要強調到位。字母表示數雖然方便簡潔，但其實也是一個抽象的過程，字母是不能完全代替數字的，特別是在書寫的過程中，該簡寫的才能簡寫，而且必須遵照簡寫的要求來簡寫。

2.加強知識對比，理清知識聯(lián)系。

教學時，教師要及時引導學生借助舉例、對比等方式，強化知識間的區(qū)別和聯(lián)系。教學時要著重引導學生理解“a+b”和“a×b”、“ 2a”和“a2”之間的區(qū)別；第（2）題其實還可以借助舉例來驗證。如：假設a等于1時，2a與a2的結果就不相等了，當然教學時應該引導學生多舉幾個例子，才能得出合理的猜想。

【練習】

（1）一個長方形的長是a米，寬是5米。這個長方形的周長是（ ）米，面積是（ ）平方米。

（2）師徒二人各加工一批相同數量的零件，師傅每小時加工48個，徒弟每小時加工38個，t小時后，師傅完成了任務。

①用含有字母的式子表示，當師傅完成任務時，兩人一共加工了（ ）個零件。

②當t=2.5時，徒弟還有多少個零件沒有完成？

（薛 剛）

圖形與幾何

【錯例】

每天下午3時30分是某校低年級的放學時間，此時分針與時針的夾角是（ ）。

A.銳角

B.直角 C.鈍角

錯解：B

【診斷】

1.感性經驗積累不足。

表面看來，學生學習角時經歷了從身邊事物上發(fā)現角、抽象角、畫角、分類角等一系列數學活動，積累了大量的感性經驗，但是在判斷一個角是什么角時，學生往往憑經驗，感覺看著像直角，認為就是直角。這道題僅僅對角有感性經驗是不夠的，還需要對時針分針的聯(lián)動特征有足夠的認知：分針在走時針也在走，分針從12走到6，時針呢？

2.知識認知不夠系統(tǒng)。

教學鐘表時先安排認識了整時：分針指著12，時針指著幾就是幾時。這個時候留給學生的印象是深刻的，他們認為時針或者分針總是要指著某個數字的。雖然接著又學習了大約幾時、幾時幾分，但是先入為主，他們的心里已經有了強烈的指向性，就是默認為讓時針走到表示整時的位置，卻忽略了分針的轉動對時針的影響。例如，3時30分，分針指著6，學生卻誤以為時針還指著3。

【對策】

1.感性經驗和數學方法并重。

在判斷一個角是什么角時，不能只憑感覺，用數學的方法才是準確的判斷，要多強調用三角尺的直角去比對：一樣大的是直角，比直角小的是銳角，比直角大（且小于180度）的是鈍角。也可利用身邊的直角工具，如書本的角、卡紙的角等，將數學與生活聯(lián)系起來。3時30分時，用直角去比對一下時針分針所組成的角，讓學生想一想：“一條直角邊跟分針重合，另一條直角邊跟時針重合嗎？”從而激活學生的潛在認知，主動意識到另一條直角邊跟時針不重合，時針已經走過了3，在3和4之間。

2.靜態(tài)認識和動態(tài)認識并行。

認識鐘表時教師往往會讓學生觀察靜態(tài)的圖片，來發(fā)現鐘面上大格、小格、時針、分針、秒針的特點，以及一個具體時刻時針分針所在的位置，即使給學生看了動畫，但時間有限，學生難以在規(guī)定時間內很好地感受時間是動態(tài)的，影響了表像的建立。這里教師要舍得給學生大量的時間去“玩”鐘表，可以是模型，也可以是真的小鬧鐘，在“手感”的比較中感受時針分針的聯(lián)動，感受時針對分針的追擊。從而明白分針從12走到6，時針從3追到了3和4之間，時針分針的夾角是一個銳角。

【練習】

1.給下面的鐘面畫上時針和分針。

2.鐘面上，（ ）時整和（ ）時整的時候，時針分針的夾角是直角。7時整的時候，時針與分針的夾角是（ ）角。

3.鐘面上，9時30分的時候，時針分針的夾角是（ ）角；12時45分的時候，時針分針的夾角是（ ）角。

【錯例】

一個平行四邊形相鄰兩條邊的長度分別是6厘米和10厘米，一條高是8厘米，這個平行四邊形的面積是（ ）平方厘米。

錯解：10×8=80（平方厘米）

【診斷】

1.缺少理解，思維定勢。

平行四邊形的面積計算公式學生記得牢牢的：平行四邊形的面積=底×高，但用哪一條底乘哪一條高，學生是模糊的，他們以為底就應該是最下面的一條邊，高自然就是這最下面一條邊上的高，面積也就錯誤地計算成10×8=80（平方厘米）。這是因為學生平時見到的平行四邊形大都是標準型，很少出現以斜邊為底的情況，學生形成了思維定勢，他們對面積計算公式的記憶其實已經扭曲為：平行四邊形的面積=底邊×高。

2.基礎不牢，缺乏聯(lián)系。

解題時，有的學生在所給平行四邊形中畫出了10cm這條底上的高，卻沒有發(fā)現矛盾：如果10cm這條底上的高真的是8cm，那它所在的直角三角形中，斜邊豈不要小于直角邊？在認識直角三角形時，學生知道了直角邊、斜邊，卻沒有對“直角三角形中，斜邊一定大于直角邊”留下深刻的印象。

【對策】

1.增加變式，打破定勢。

在認識平行四邊形時，一定不能單一地出示標準型，要出示各種變式，扁的、高的、正的、斜的等，在給平行四邊形畫高時，也要注意變式，以底邊為底畫高，以斜邊為底畫高等。引導學生從知識的本質出發(fā)思考問題，幫助學生對平行四邊形的底和高形成正確而深刻的認識。

2.鞏固基礎，溝通聯(lián)系。

幫助學生回憶直角三角形中“斜邊一定大于直角邊”的知識，明確平行四邊形有兩組底、兩組高（如圖），在求平行四邊形面積的時候，要找準對應的底和高。是哪一條高呢？把問題拋給學生，讓學生想明白8厘米只能是以6厘米為底的這條邊上的高，那么此平行四邊形的面積就是6×8=48（平方厘米），成功解決問題。

【練習】

1.畫出下列平行四邊形指定底邊上的高。

2.選擇條件，用兩種方法算出平行四邊形的面積，看看是否相等。（單位：米）

3.一個平行四邊形相鄰的兩條邊分別是6厘米、4厘米，量得一條邊上的高是5厘米，這個平行四邊形的面積是（ ）平方厘米。

【錯例】

最少要用（ ）個同樣的小正方體才能拼成一個大正方體。

錯解：4。

【診斷】

1.直觀和概念分離。

認識長方體、正方體時，有一種長方體比較特殊：六個面中有一組相對面是正方形。這樣的是正方體還是長方體？部分學生在判斷時僅僅憑感覺、憑經驗，認為是正方體，對于長方體、正方體的概念模糊不清。用4個同樣的小正方體拼成的是上下相對面為正方形的長方體，而不是上面、前面、側面均為正方形的正方體。學生的空間想象可能還停留在二維空間的正方形，缺乏二維空間平面圖形向三維空間立體圖形的轉化。

2.操作與思維脫節(jié)。

在解決這類問題時，教師普遍重視借助直觀教具學具進行拼搭，學生一眼就能瞅出小正方體的個數。但由于學生沒有在頭腦中想象、感悟小正方體個數的經驗，從而導致對于直觀教具學具的過度依賴，離開直觀教具學具就不能正確解答。學生的空間想象力沒有得到有效鍛煉，空間觀念沒有得到有效建立。

【對策】

1.直觀和概念并重。

教學認識長方體、正方體時，要引導學生充分觀察實物，從而為理解抽象直觀圖奠定基礎。在直觀認識的基礎上再進一步通過觀察、操作、比較等學習活動來發(fā)現長方體、正方體的特征，教師和學生共同概括得出“長方體有 6個面，每個面都是長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形），相對的面形狀大小完全相同；正方體也有6個面，每個面都是正方形”。再輔以靈活有層次的練習，深化長方體、正方體概念的形成。

2.操作與思維并行。

在學生借助小正方體學具進行動手操作的基礎上，教師要努力引導學生在頭腦中進行想象，通過比較、推理，尋找確定小正方體個數的方法，積累解決此類問題的經驗。

首先，根據正方體的概念：上面、前面、側面都是正方形，可以知道，從上面、前面、側面看到的都是4個小正方形。

然后，根據從前面看到的圖形知道有兩層，根據從上面看到的圖形知道每層有4個，從而正確得出一共是2×4=8（個）。

【練習】

1.至少要用（ ）個同樣的小正方體才能拼成一個稍大的正方體，還可以用（ ）個、（ ）個……也能拼成更大的正方體。

2.如圖，看得見的小正方體有（ ）個，看不見的小正方體有（ ）個，一共有（ ）個小正方體。再添上（ ）個小正方體可以拼成一個大正方體。

3.用一些小正方體搭成了一個立體圖形，從三個不同方向看到的形狀如下：

至少用了（ ）個同樣的小正方體。

【錯例】

將下圖中的梯形繞點O順時針旋轉90度。

錯解：

【診斷】

1.缺乏空間想象力。

要畫出旋轉90度以后的圖形，學生想象不出，無從下手。學生腦海里想象出的是小長方形無序的轉動，而不能讓它繞O點順時針旋轉90度。部分學生認為繞O點順時針旋轉90度后的圖形就是和旋轉前的圖形在O點處垂直，于是直接把圖中的小長方形想象成了一條線段，然后畫出它的“垂線”——另一個長方形（見錯解）。

2.沒有掌握旋轉本質。

學生動手用紙剪出了和圖中差不多大小的長方形，準備親手轉一轉：摁著點O，把小長方形順時針旋轉?？伤麄儾恢佬D到哪個位置為止，雖然對旋轉的三要素（中心點、方向、角度）有所領悟，但還停留在將單條線段繞點旋轉，不會從平面圖形中抽象出關鍵線段逐條旋轉，沒有掌握將平面圖形繞固定點旋轉的本質。

【對策】

1.逐步建構，訓練空間想象。

教學平面圖形的旋轉時，教師應按照線段旋轉——單個的簡單圖形旋轉——組合圖形的旋轉這樣的線索來組織教學活動。圍繞旋轉的特征和性質進行合理想象，如：①想象一下，分針從3繞點O順時針旋轉90度后指向幾？②想象一下，直角三角形旋轉后，每條邊都轉到什么位置了，你準備怎么畫？③圖形繞點0逆時針旋轉180度后，每個三角形都轉到了什么位置？為學生提供想象的時間，幫助學生建立幾何表象，發(fā)展空間觀念。

2.充足訓練，凸顯旋轉本質。

《圖形的旋轉》是在繼平移、軸對稱之后的又一種圖形的全等變換，隱含著重要的變換思想，要讓學生了解圖形的旋轉需具備什么條件，即基本圖形、旋轉的中心點、旋轉的方向、旋轉的角度；讓學生了解什么叫順時針和逆時針，規(guī)范數學上習慣用語及用手勢比畫順時針和逆時針；讓學生學會看圖判斷旋轉的角度等。對于平面圖形的旋轉，要引導學生先找出關鍵線段，然后將關鍵線段逐條旋轉，最后得到旋轉后的圖形。

【練習】

1.如圖，指針從A開始，順時針旋轉90°到（ ）點，逆時針旋轉90°到（ ）點；

2.畫出三角形AOB圍繞點O順時針旋轉90度后的圖形。

3.等邊三角形ABC繞點C至少旋轉（ ）度才能與自身重合。

【錯例】

一個盛水的長方體容器，長10厘米、寬8厘米、高9厘米，里面水深2厘米，現將一個棱長4厘米的正方體鐵塊垂直放入容器底部，求長方體容器中現在水深多少厘米。

錯解：4×4×4=64（立方厘米）

10×8=80（平方厘米）

64÷80=0.8（厘米）

2+0.8=2.8（厘米）

【診斷】

1.審題能力欠缺。

學生沒有從中提取到關鍵信息，水深2厘米，鐵塊卻高4厘米，題目當中沒有提鐵塊有沒有被淹沒，那鐵塊到底有沒有被淹沒？這完全要靠學生自己推理得出。假如解題時默認為淹沒，算出現在的水高2.8厘米，在檢驗時就會發(fā)現鐵塊高4厘米，而水深2.8厘米，顯然沒有被淹沒，自相矛盾。學生沒有經歷這樣的審題過程，僅憑經驗作答，導致錯解。

2.經驗不恰當遷移。

之前遇到的類似題型一般都是浸沒，所以學生腦中已經思維定勢，再加上放入水中的是鐵塊、石子等物，學生認為肯定會沉下去，而沒有想到這次的鐵塊居然高于水面，造成錯誤解答。

【對策】

1.建立審題常規(guī)，培養(yǎng)審題能力。

在日常教學中，教師要建立一定的審題常規(guī)，可以參照以下三個步驟：①細讀，了解題意；②推敲，推敲信息之間的數量關系，形成解題思路。③檢驗，將算出答案當成條件代入原題，看是否符合。這題當中包含多個條件，學生容易摸不著頭腦，教師可以引導學生逆向思考，從問題出發(fā)尋找需要的條件。因為水的體積是不變的，而鐵塊垂直放入容器底部以后，水與容器底面接觸的面積發(fā)生了變化，比原來減少了16平方厘米（也就是鐵塊底面所占的面積），最后根據“體積÷底面積”求出水現在的高度。

水的體積：10×8×2=160（立方厘米）

水與容器底面接觸的面積：10×8-4×4=64（平方厘米）

水現在的高度：160÷64=2.5（厘米）

2.加強對比辨析，促經驗正遷移。

教師可以將這題的錯解和正解放在一起，讓學生自己比較發(fā)現，辨析出錯誤原因，明晰解題思路。也可以設計一組此類題型，比較當中的條件或解題過程，引導學生小結出什么情況下浸沒，什么情況下不浸沒。以后再遇到將物體放水里的題目，學生必然會主動去題目中尋找相關信息，判斷物體有沒有沉沒。在教學中教師要合理運用比較的方法，引導學生辨析出相關原因，加深對“錯點”的理解，突出“自我糾錯”的亮點。

【練習】

1.一個存水500毫升的容器內浸沒了兩個同樣大小的鐵球，把它們取出后，水位下降到400毫升，每個小鐵球的體積是多少立方厘米？

2.一個長方體水箱，長7分米、寬5分米、水深3分米。把一個鐵球完全浸沒在水中，水面上升到5分米。這個鐵球的體積是多少立方分米？

3.一個長方體容器，長和寬分別是60厘米、50厘米，容器里裝有一部分水，且緊貼底面直立著一個高1米、底面是邊長為20厘米正方形的長方體鐵棒，這時水深50厘米。容器里水的體積有多少升？

（吳興坤）

統(tǒng)計與概率

【錯例】

從下面（ ）中任意選兩個數相加，和是偶數的可能性大。

A.2，3，5 B.1，3，5 C.2，5，6

錯解：C

【診斷】

1.原理理解不透徹。

雖然“可能性”是生活中的常見現象，但將其從生活中抽象出來，學生仍然會感到有些陌生。因為C選項中有兩個偶數，學生就誤以為從中任意選兩個數，這兩個數的和是偶數的可能性大，實際上本題關注的是任意兩個數的和。

2.解題策略不恰當。

本題需要對每一組中兩個數的和一一列舉，然后根據和的奇偶情況進行判斷。也可以根據和的奇偶性的規(guī)律進行推理，如“奇數+奇數=偶數，奇數+偶數=奇數”。

【對策】

1.組織探究活動。

在“可能性”教學中，要注意選取學生熟悉的生活情境及感興趣的游戲活動作為教學素材，讓學生經歷“提出猜測—收集和整理數據—分析試驗結果”的過程，這樣可以豐富學生對事物發(fā)生可能性大小的直觀體驗。

2.重視解題策略訓練。

引導學生在觀察、猜測、實驗與交流過程中，體驗可能性的大小，發(fā)展統(tǒng)計觀念。上例C選項中，雖然偶數個數較多，但是如果運用列舉策略就可以直觀形象地表示出所有出現的結果，借助列舉來澄清學生經驗上的不足和認識上的誤區(qū)。

【練習】

1.用1、2、3這三張卡片可組成（ ）個三位數，其中組成奇數的可能性是（ ），組成偶數的可能性是（ ）。

2.5張卡片上分別寫著3、4、5、6、7。任意抽出2張，積是雙數算小麗贏，積是單數算小剛贏。

（1）兩張卡片上數字相乘的積一共有多少種情況？

（2）這個游戲公平嗎？為什么？

【錯例】

六年級一班參加數學實踐能力競賽活動，獲獎學生人數如下圖。

回答問題：這個班至少有多少人？哪一個項目獲獎的人數最多？

錯解：

23+23=46（人）

答：這個班至少有46人。

【診斷】

1.過程經歷不充分。

第二個問題，只要進行簡單計算和比較就能得出結論。但是，第一個問題需要對各項目數據進行意義界定，在此基礎上進行綜合分析。學生如果沒有經歷收集、整理、描述和分析數據的活動過程，對數據特征就缺乏了解。上題中，從各個項目獲獎人數看，這個班男生至少有25人（在“魔方”項目中），女生至少有23人（在“算24”項目中），所以，全班人數至少有25+23=48（人）。

2.教學重點被忽略。

數據的收集和整理，重點在于對調查所得的數據進行分析，讓學生感受數據中蘊含的信息，發(fā)現和提出問題，進而解決問題。上例中學生不僅要統(tǒng)計出各項目獲獎的人數，還應該從數據中準確地提取信息，根據數據進行正確的判斷和簡單的推理。

【對策】

1.在活動中體驗。

增加實踐活動，培養(yǎng)學生主動應用數學的意識。設計一些與學生生活聯(lián)系比較緊密又蘊含著數學問題的活動，通過問題使學生在活動中感受、體驗、理解數學知識。

2.培養(yǎng)分析觀念。

統(tǒng)計圖表是一種直觀的數據信息獲取方式。讓學生對收集到的數學信息進行歸類整理，制作成統(tǒng)計圖表，并通過查看圖表，對比分析圖表中的數據，從中發(fā)現數量關系和變化規(guī)律，促進數據分析觀念的培養(yǎng)。

【練習】

1.麗麗整理了四年級一班的身高數據，結果如下表。

身 高（厘米）人 數120～129 7 130～139 16 140～149 12 150及以上8

問題：

1.四年級一班身高（ ）厘米的學生最多。

2.麗麗身高是138厘米，按由高到矮的順序，大約排第（ ）名。

A.16 B.20 C.22

2.下面是某班男生的身高記錄。（單位：厘米）

編號1 2 3 4 5 6身高132 128 127 130 133 136編號7 8 9 1 0 11 12身高139 124 144 132 138 126編號13 14 15 16 17 18身高132 133 142 132 133 138編號19 20 21 22 23 24身高134 135 126 134 135 123編號25 26 27 28 29 30身高138 125 142 130 132 133

（1）把上面的數據按要求填寫統(tǒng)計表。

身高（厘米）人 數合計 120～129 130～139 140～149

（2）根據統(tǒng)計表完成填空。

這個班的男生身高在( ～ )厘米的人數最多；

俊俊身高按從高到矮的順序排第10名，他的身高大約是（ ）厘米。

【錯例】

四個人踢毽子，麗麗踢了39個，明明踢了28個，華華踢了10個，紅紅踢的個數比明明少、比華華多。他們四個人踢毽子的平均數（ ）。A．大于10，小于28 B．28 C．大于28，小于39

錯解：B或C

【診斷】

1.平均數的意義理解不透。

“平均數”是一個統(tǒng)計量，它的統(tǒng)計學意義是它能刻畫、代表一組數據的整體水平。很多學生只會機械計算幾個數的平均數，沒有真正理解“移多補少”的意義。上例中，前三個人踢毽子的平均數小于28，第四個人的個數也小于28個，所以四個人踢毽子的平均數一定小于28個。

2.處理數據的能力不強。

要準確判斷平均數的取值范圍，不僅需要明確平均數一定在最小數據和最大數據之間，還應該結合題目中所有數據的特點綜合考慮。例如，上例中的10是一個極端數據，整體上拉低了平均數的值。

【對策】

1.有效理解平均數意義。

教學中我們不能單純地進行求平均數的練習，而應該將學習平均數放在完整的統(tǒng)計活動中。在描述數據、進行整體水平對比的過程中，深化“平均數是一種統(tǒng)計量”的本質，從統(tǒng)計學的角度學習平均數。

2.自主探索平均數算法。

引導學生自己探索求平均數的方法：先合再分或移多補少。然后引導學生感受到這兩種方法的本質都是讓原來不相同的數變得相同。同時可以適時滲透平均數處于一組數據的最大值和最小值之間，能反映整體水平，但不能代表每個個體的情況，幫助學生對平均數這一概念獲得更為深刻和全面的認識。

【練習】

1.小明三次跳繩練習的平均成績是70下，他第一次跳了64下，第二次跳了68下，第三次跳了（ ）下。

2.甲筐有梨32千克，乙筐有梨38千克，丙、丁兩筐共有梨50千克，平均每筐梨有（ ）千克。

3.選一選。

在a、b、c、d四個數中，最大的數是39，最小的數是11，那么這四個數的平均數有可能是（ ）。

①40 ②11 ③22

4.在一次登山比賽中，小剛上山時每分鐘走40米，18分鐘達到山頂，然后按原路下山，每分鐘走60米，小剛往返的平均速度是每分（ ）米。

5.8名學生在某次考試中，最高得分是95分，最低得分是65分，他們8人的平均成績是87.5分。去掉最高分與最低分后，其余6名學生的平均成績是（ ）分。

【錯例】

有一道選擇題，共有A、B、C、D四個選項，其中只有一個選項正確。明明和紅紅把六年級二班對這道選擇題的答題情況制成了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖。

1.將條形統(tǒng)計圖補充完整。

2.根據以上統(tǒng)計圖，下列判斷中錯誤的是（ ）。

A.選A的有16人 B.選B的有4人

C.選C的有28人 D.該班共有50人參加考試

錯解：1.無法求得選擇A、B的人數，條形統(tǒng)計圖未補充完整。

2.選B或C

【診斷】

1.信息加工能力薄弱。

扇形統(tǒng)計圖是通過各部分扇形面積占整個圓面積的百分數來表示的，學生缺少對扇形的充分認知，不能把握扇形統(tǒng)計圖部分與整體的關系，也不能把條形統(tǒng)計圖中的信息與扇形統(tǒng)計圖進行整合，對兩幅統(tǒng)計圖所呈現信息沒有建立聯(lián)系。在上題中，由D選項10人占全班人數的20%，可知全班總人數為10÷20%=50（人），進而可以求出其他選項的學生人數。

2.知識體系構建不牢。

學生之所以認為選項A是正確的，是基于這樣的思考：1-56%-8%-20%=16%，就想當然地以為“選A的有16人”，混淆了具體數量與抽象分率的本質區(qū)別。另外，這道題表面上是根據扇形統(tǒng)計圖進行簡單的計算，實際上涉及不同類型的百分數應用題的計算，應按照百分數應用題的解題思路和解題方法進行計算。

【對策】

1.系統(tǒng)建構認知。

扇形統(tǒng)計圖以圓和扇形的知識為支撐，但教材中關于扇形的知識相對簡略，所以，教學時要充分考慮學生的知識現狀，適當增加扇形知識的教學，由淺入深地認識扇形統(tǒng)計圖的特征和用途。同時聯(lián)系百分數的意義，對扇形統(tǒng)計圖提供的信息進行簡單分析，進行與百分數相關的應用訓練。

2.提升信息獲取能力。

引導學生既要從整體上觀察統(tǒng)計圖中的項目信息，看出各部分占總數的百分數，又要尋找對應關系，解決實際問題。在平時的數學學習中，除了加強計算、邏輯能力的培養(yǎng)之外，還應該有意識地培養(yǎng)文本、圖表信息的獲取與加工能力。

【練習】

1.如圖，觀察這個扇形統(tǒng)計圖，并填寫。

（1）如果用這個圓代表總體，那么扇形（ ）表示總體的45%。

（2）如果用整個圓代表你所在班級人數，那么扇形B大約代表（ ）人。

（3）如果用整個圓代表9公頃的稻田，那么扇形A大約代表（ ）公頃。

（4）如果用整個圓代表某校學生的總人數，已知扇形B比扇形A多5%，且多60人，全校有（ ）名學生。

2.下表給出了第24～29屆奧林匹克運動會中國和美國的金牌情況。請你根據表格解答。

images/BZ_46_322_467_588_694.png24 25 26 27 28 29中國美國5 36 16 37 16 44 39 32 35 51 36

（1）第27屆奧運會中國獲得的金牌是第26屆的175%，第27屆奧運會中國獲得幾枚金牌？

（2）第29屆奧運會中國獲得的金牌數比第28屆獲得的金牌數多百分之幾？（百分號前保留一位小數）

3.在為地震災區(qū)捐款活動中，五年級四班每名學生拿出自己的零花錢，踴躍捐款，捐款額有5元、10元、15元、20元四種情況。根據統(tǒng)計數據繪制了圖1和圖2兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖。

（1）該班共有（ ）名學生。

（2）請你將圖2的統(tǒng)計圖補充完整。

（3）計算該班平均每人捐款多少元？

圖1

圖2

【錯例】

如圖是某市用水收費標準，請看圖回答：

明明家四月份用水10立方米，應付水費多少元？

錯解：10×（2÷1）=20（立方米）

【診斷】

1.獲取信息能力欠缺。

圖中反映水費總價與用水量變化是折線而非直線，由此可知，水費總價與用水量的比值不是固定不變的。

2.數量關系分析不當。

用水量在5立方米以內（含5立方米），每立方米付水費2元；用水量超過5立方米，每立方米應付水費4元。

【對策】

1.加強識圖訓練。

教師要引導學生觀察圖表現象，通過整理分析，進行相應的推斷。尤其要結合，設計可以用統(tǒng)計的方法處理的實際問題，讓學生自己處理和描述數據，最終解決問題。

2.注重數據分析。

折線統(tǒng)計圖選用的數據應該是連續(xù)性的數據，教學中盡可能為這些數據賦予實際背景，讓他們實際應用中增進對折線統(tǒng)計圖特征和適用價值的了解。

【練習】

下面是李歡和王強400米賽跑情況的復式折線統(tǒng)計圖。

（1）前200米（ ）跑得快些，后100米（ ）跑得快些。

（2）跑完400米，李歡用的時間比王強多（ ）%。