張茂鵬

摘 ? 要?錯(cuò)題對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)能力提升有重要意義，不僅能夠真實(shí)反映學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，也能夠窺見(jiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)誤區(qū)，有利于高中數(shù)學(xué)教師針對(duì)性教學(xué)，但是當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)于這一資源并沒(méi)有充分開(kāi)發(fā)利用。本文以高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)為例，提出在加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)課程資源建設(shè)開(kāi)發(fā)中，可以把錯(cuò)題作為一個(gè)重要資源來(lái)開(kāi)發(fā)，把錯(cuò)題資源整合到課程教學(xué)中，以系統(tǒng)性管理和開(kāi)發(fā)最終推進(jìn)錯(cuò)題資源的課程意義最大化。

關(guān)鍵詞?錯(cuò)題 ?高中數(shù)學(xué) ?課程資源

很多數(shù)學(xué)教師偏向于題海戰(zhàn)術(shù)，以不間斷、重復(fù)的習(xí)題練習(xí)來(lái)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象定義概念的認(rèn)知、理解和建構(gòu)。在這個(gè)過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)大量的錯(cuò)題，對(duì)于這些錯(cuò)題資源，多數(shù)數(shù)學(xué)教師常見(jiàn)的處理方法就是讓學(xué)生建立錯(cuò)題集，為日后數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)鞏固使用。但是大多數(shù)高中數(shù)學(xué)教師并沒(méi)有對(duì)錯(cuò)題集的建立方法、使用方法進(jìn)行指導(dǎo)，也沒(méi)有在數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)把錯(cuò)題資源作為教學(xué)資源的一部分，忽略了錯(cuò)題的課程價(jià)值意義。課程資源開(kāi)發(fā)是指對(duì)所有能夠促進(jìn)課程教學(xué)的資源進(jìn)行整合利用，高中數(shù)學(xué)錯(cuò)題好比肌體問(wèn)題的外在癥狀，對(duì)于相關(guān)資源的“望聞問(wèn)切”可以找出學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的根源和問(wèn)題，是高中數(shù)學(xué)課程建設(shè)中不可或缺的課程資源。

一、數(shù)學(xué)錯(cuò)題的課程資源意義

1.錯(cuò)題資源反映學(xué)生數(shù)學(xué)基本概念、定理掌握不足

這里所說(shuō)的不足是識(shí)記不準(zhǔn)確或者是理解不透徹，在學(xué)生對(duì)于課本中基本的知識(shí)內(nèi)容沒(méi)有掌握時(shí)，其運(yùn)用相關(guān)知識(shí)概念或定理進(jìn)行解題，就會(huì)導(dǎo)致解題思路不清晰，或者是難以正確運(yùn)用基本知識(shí)點(diǎn)。一個(gè)題目中出現(xiàn)的基本知識(shí)點(diǎn)錯(cuò)誤說(shuō)明學(xué)生對(duì)于該知識(shí)點(diǎn)掌握不牢固，學(xué)生可以對(duì)該知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行重新溫習(xí)，如果在練習(xí)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)較多的知識(shí)概念方面的問(wèn)題，實(shí)際上就說(shuō)明了學(xué)生對(duì)于基本數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況一般。教師或?qū)W生可以通過(guò)錯(cuò)題掌握學(xué)生數(shù)學(xué)概念的掌握情況，加強(qiáng)已學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)的鞏固。

2.錯(cuò)題資源反映了學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展情況

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況和學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有著直接關(guān)系，有的學(xué)生在計(jì)算方面比較高效，有的學(xué)生對(duì)于數(shù)值比較敏感，等等，這些都是學(xué)生的基本數(shù)學(xué)能力。學(xué)生的錯(cuò)題中隱含著學(xué)生的數(shù)學(xué)能力基本情況。在學(xué)生不同習(xí)題解答中出現(xiàn)的各種問(wèn)題，實(shí)際上都從不同方面反映了學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力情況，如有的學(xué)生經(jīng)常在習(xí)題練習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)思路、步驟沒(méi)問(wèn)題，但是運(yùn)算中總是會(huì)出現(xiàn)結(jié)果錯(cuò)誤，就說(shuō)明學(xué)生的數(shù)字運(yùn)算能力發(fā)展不足;有的學(xué)生雖然看似進(jìn)行了復(fù)雜的運(yùn)算，但是總是和正確的解題思路有差異，一定程度上就表明了學(xué)生的抽象思維能力有待提升。

3.錯(cuò)題資源反映了學(xué)生的思維誤區(qū)

在高中階段，很少有簡(jiǎn)單的公式、概念套用問(wèn)題，大多數(shù)問(wèn)題都以綜合知識(shí)的面貌出現(xiàn)，這就要求學(xué)生必須要進(jìn)行主動(dòng)思考，進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的思維關(guān)聯(lián)，才能使問(wèn)題得到解決。如大多數(shù)題目都是正向求解，如果題目設(shè)計(jì)為逆向思維考察，就會(huì)出現(xiàn)學(xué)生因?yàn)樗季S定勢(shì)按照正向求解的模式來(lái)解題，結(jié)果自然是求解出錯(cuò)[1]。這些出錯(cuò)的題目實(shí)際上就反映了學(xué)生在思維方面的僵化或者思維不夠深入等方面的問(wèn)題。

二、數(shù)學(xué)教學(xué)中可開(kāi)發(fā)的錯(cuò)題資源

首先，學(xué)生解題中整理出來(lái)的錯(cuò)題。高中階段學(xué)生需要進(jìn)行大量的習(xí)題練習(xí)，學(xué)生在習(xí)題解答中都會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，這就造成了學(xué)生在習(xí)題解答中龐大的錯(cuò)題數(shù)量。高中不同階段數(shù)學(xué)測(cè)試中的錯(cuò)題情況，相對(duì)直觀地反映了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面的進(jìn)步或倒退，雖然學(xué)生練習(xí)或測(cè)試中的錯(cuò)題由于形成原因不同，并不是所有的錯(cuò)題都可以是錯(cuò)題資源，但是那些直接反映了學(xué)生學(xué)習(xí)情況的錯(cuò)題基本上都是可以開(kāi)發(fā)利用的錯(cuò)題資源。如數(shù)學(xué)中關(guān)于特定公式的應(yīng)用往往有一定要求或步驟，通過(guò)相應(yīng)的步驟應(yīng)用可以使未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，從而促進(jìn)問(wèn)題解決。如果學(xué)生忘記其中的某個(gè)步驟，或者是應(yīng)用公式錯(cuò)誤，就會(huì)使問(wèn)題難以求解或者是求解錯(cuò)誤，對(duì)于其中問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)便可以直接解決學(xué)生此類型習(xí)題上存在的問(wèn)題，因此這些資源的課程意義主要是針對(duì)學(xué)生自身而言。其次，教師整理出來(lái)的學(xué)生共性錯(cuò)題。在教師長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)批改作業(yè)和習(xí)題講解，掌握了大量的錯(cuò)題資源，這些錯(cuò)題大多數(shù)是學(xué)生在解答習(xí)題時(shí)常常出現(xiàn)的錯(cuò)題，教師把這些具有共性特征的錯(cuò)題收集起來(lái)，就形成了重要的錯(cuò)題資源。最后，在各種數(shù)學(xué)資料中出現(xiàn)的經(jīng)典錯(cuò)誤解題。這些錯(cuò)題主要是在各種各樣名目繁多的數(shù)學(xué)習(xí)題資料中出現(xiàn)的經(jīng)典錯(cuò)題類型，如以學(xué)生易錯(cuò)類型形成的題解或者學(xué)生錯(cuò)題集錦等習(xí)題資源，還有網(wǎng)站上出現(xiàn)的高考狀元或者是學(xué)霸錯(cuò)題集等，雖然這些錯(cuò)題來(lái)源不同，但都是可以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中可以利用的課程資源，只是由于各種錯(cuò)題資源的來(lái)源、牽涉知識(shí)點(diǎn)等方面的問(wèn)題，不同錯(cuò)題資源在課程建設(shè)中的意義各有不同。學(xué)生自身在練習(xí)或測(cè)試中積累起來(lái)的錯(cuò)題資源反映了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不足，可以作為教師推進(jìn)學(xué)生針對(duì)性發(fā)展的參考資源;教師搜集的課題資源可以作為全體學(xué)生普遍性問(wèn)題解決的主要資源;錯(cuò)題集中的錯(cuò)題資源則可以作為教師在課堂數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效補(bǔ)充。對(duì)于各種錯(cuò)題資源的資源意義的合理有效發(fā)揮，可以使高中數(shù)學(xué)教學(xué)形成有力的資源支持。

三、數(shù)學(xué)教學(xué)中錯(cuò)題資源的有效開(kāi)發(fā)

雖然錯(cuò)題資源對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)有重要意義，但是從現(xiàn)實(shí)情況來(lái)看，錯(cuò)題資源沒(méi)有得到教師的充分重視。第一，缺乏對(duì)錯(cuò)題資源管理的系統(tǒng)思維，大多數(shù)數(shù)學(xué)教師不僅沒(méi)有對(duì)學(xué)生建立錯(cuò)題本的情況進(jìn)行管理，也沒(méi)有把錯(cuò)題資源利用列為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，更談不上建立一個(gè)系統(tǒng)利用機(jī)制。第二，缺乏對(duì)錯(cuò)題資源的管理開(kāi)發(fā)指導(dǎo)。很多數(shù)學(xué)教師并沒(méi)有對(duì)錯(cuò)題集的建立方法、錯(cuò)題集的利用為學(xué)生提供有效指導(dǎo)，而是任其隨意發(fā)展，影響了錯(cuò)題資源的意義發(fā)揮。第三，缺乏對(duì)錯(cuò)題資源的整合管理。很多教師并沒(méi)有把這一資源充分整合到課程中去。

1.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正確的錯(cuò)題管理

（1）指明需要整理的錯(cuò)題類型

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)錯(cuò)題的管理主要從兩方面來(lái)考慮：第一，需要編入錯(cuò)題集的錯(cuò)題。由于學(xué)生的數(shù)學(xué)水平不同，其在習(xí)題解題時(shí)所犯下的錯(cuò)誤各不相同，但是無(wú)論是學(xué)困生還是績(jī)優(yōu)生，所出現(xiàn)的錯(cuò)題都不能全盤照搬到錯(cuò)題集中，這樣做既費(fèi)時(shí)費(fèi)力，也起不到以典型錯(cuò)題重點(diǎn)解決問(wèn)題的作用，必須要選擇有典型意義的題目，即在解題思路或者是出題方向等方面有代表意義的題目，通過(guò)這類錯(cuò)題的整理可以使學(xué)生掌握更多此類型題目。第二，錯(cuò)題集中的題目進(jìn)行編輯管理。如以涉及知識(shí)點(diǎn)方向來(lái)進(jìn)行模塊分類，如三角函數(shù)類型、集合類型、綜合類型等等。

（2）建立錯(cuò)題整理的規(guī)范模板

從錯(cuò)題的意義上來(lái)說(shuō)，其解題過(guò)程反映了學(xué)生的解題思路、出錯(cuò)原因、知識(shí)點(diǎn)掌握情況等，要真正發(fā)揮這種錯(cuò)題的資源意義，就需要教師幫助學(xué)生建構(gòu)合理的錯(cuò)題整理模板。如在錯(cuò)題整理時(shí)要包括錯(cuò)題、錯(cuò)誤的解答、錯(cuò)誤原因分析、正確的解答方法或思路等，形成這樣的整理模式，學(xué)生既能夠?qū)ψ陨矸稿e(cuò)原因了解的更加深刻，也通過(guò)錯(cuò)誤解答和正確解答的對(duì)照，使學(xué)生對(duì)錯(cuò)題的印象更加鮮明[2]。對(duì)于績(jī)優(yōu)生來(lái)說(shuō)，其有自己的錯(cuò)題管理方法，但是對(duì)于學(xué)困生來(lái)說(shuō)，錯(cuò)題模板的建立實(shí)際上為學(xué)生提供更有效的學(xué)習(xí)方法。

（3）傳授錯(cuò)題整理的管理方法

在學(xué)生把錯(cuò)題錄入錯(cuò)題集時(shí)，意味著其對(duì)于該部分知識(shí)或能力的培養(yǎng)不足，但是隨著學(xué)生對(duì)于相關(guān)知識(shí)的掌握或能力培養(yǎng)，有的錯(cuò)題對(duì)于學(xué)生已經(jīng)沒(méi)有參照意義，就需要對(duì)其中的錯(cuò)題進(jìn)行刪減，以此來(lái)減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。有的學(xué)生對(duì)于編入錯(cuò)題集中的錯(cuò)題在下一次練習(xí)時(shí)還可能會(huì)繼續(xù)犯錯(cuò)，這些問(wèn)題就需要重點(diǎn)標(biāo)注;還有的錯(cuò)題是學(xué)生雖然經(jīng)過(guò)講解但是依然不能充分理解的題目。因此在錯(cuò)題集建立以后，教師還需要向?qū)W生傳授錯(cuò)題集的各種管理方法，只有這樣，才能使學(xué)生提高錯(cuò)題集利用效率，使錯(cuò)題集真正發(fā)揮其對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的推動(dòng)作用。

2.把錯(cuò)題作為課堂教學(xué)的組成部分

（1）在新課教授時(shí)引入錯(cuò)題類型

數(shù)學(xué)中有很多概念定義、定理都有一定限制性條件，或者在使用時(shí)有一定要求，如要求絕對(duì)值或者是包含半包含關(guān)系等，學(xué)生很容易由于理解不深刻或者是粗心大意，在相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)中忽略這些條件要求，從而在解題中犯下各種錯(cuò)誤，因此在高中數(shù)學(xué)教師的新課教授中，可以通過(guò)對(duì)錯(cuò)題類型的搜集整理，把一些常犯的錯(cuò)題類型引入到新課教授中，以真實(shí)的實(shí)例來(lái)讓學(xué)生對(duì)于新知識(shí)點(diǎn)印象深刻，通過(guò)防患于未然，來(lái)避免學(xué)生在此類問(wèn)題方面犯下類似錯(cuò)誤。

（2）在內(nèi)容復(fù)習(xí)時(shí)設(shè)計(jì)錯(cuò)題模塊

錯(cuò)題也可以設(shè)計(jì)為知識(shí)復(fù)習(xí)模塊，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師對(duì)于某個(gè)階段的知識(shí)內(nèi)容復(fù)習(xí)更多地是讓學(xué)生做各種專項(xiàng)習(xí)題，通過(guò)強(qiáng)化訓(xùn)練來(lái)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，而對(duì)于既有的錯(cuò)題資源往往是讓學(xué)生自己下去翻翻錯(cuò)題集。相較于錯(cuò)題資源對(duì)于學(xué)生的意義，顯然教師對(duì)于錯(cuò)題資源的意義有所忽略。因此，要在不同階段的內(nèi)容復(fù)習(xí)時(shí)設(shè)計(jì)錯(cuò)題復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)或部分，給予學(xué)生一定時(shí)間和任務(wù)要求，讓學(xué)生去翻閱自己的錯(cuò)題集，使錯(cuò)題復(fù)習(xí)真正成為課程資源不可缺少的一部分。

（3）對(duì)錯(cuò)題資源進(jìn)行系統(tǒng)整合

對(duì)錯(cuò)題資源進(jìn)行整合是錯(cuò)題課程意義發(fā)揮的關(guān)鍵。高中數(shù)學(xué)中的錯(cuò)題資源龐大，一方面是題目數(shù)量多，另一方面是涉及知識(shí)內(nèi)容多。這就使得時(shí)間本就緊迫的高中學(xué)生還需要擠出相當(dāng)多時(shí)間來(lái)安排錯(cuò)題資源的應(yīng)用，而這顯然有些不太現(xiàn)實(shí)。從錯(cuò)題資源本身來(lái)說(shuō)，其可以分為某個(gè)知識(shí)主題的錯(cuò)題資源，或?yàn)槟撤N數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的錯(cuò)題資源，依照特定方向來(lái)對(duì)相關(guān)錯(cuò)題進(jìn)行整合，便可以使眾多錯(cuò)題中的同類型或者是同一知識(shí)點(diǎn)考核的錯(cuò)題整合在一起，學(xué)生可以根據(jù)自己的情況進(jìn)行錯(cuò)題資源利用，避免了無(wú)謂的時(shí)間浪費(fèi)[3]。

3.充分發(fā)掘錯(cuò)題資源中的課程內(nèi)容

（1）學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)掌握

錯(cuò)題反映了學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況，雖然一個(gè)錯(cuò)題說(shuō)明不了問(wèn)題，但是眾多問(wèn)題不僅反映出學(xué)生的知識(shí)掌握程度，也能反映出學(xué)生關(guān)于眾多知識(shí)的掌握情況，如對(duì)于有理數(shù)的知識(shí)學(xué)習(xí)情況是否好于整數(shù)的加減，或者是對(duì)于一元一次方程的知識(shí)掌握是否優(yōu)于函數(shù)等。教師可以基于錯(cuò)題情況分析，了解學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)情況，從而為下一步數(shù)學(xué)教學(xué)提供真實(shí)的數(shù)據(jù)參考。

（2）學(xué)生數(shù)學(xué)能力情況

高中數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)于學(xué)生的培養(yǎng)不僅包括各種知識(shí)，還包括數(shù)學(xué)能力，而這種數(shù)學(xué)能力也是高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)的重點(diǎn)目標(biāo)。雖然學(xué)生錯(cuò)題的情況各不一致，但是在把眾多學(xué)生的錯(cuò)題集合在一起時(shí)，便可以清晰地看到學(xué)生在空間思維能力、運(yùn)算能力等方面的發(fā)展情況。數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)，在了解了學(xué)生在某個(gè)階段的數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)情況時(shí)，教師不僅可以對(duì)于特定學(xué)生因材施教，提出針對(duì)性建議，還可以基于數(shù)學(xué)能力發(fā)展情況安排下一步教學(xué)目標(biāo)，以便促進(jìn)高中學(xué)生整體數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)目標(biāo)的最終完成。

（3）學(xué)生數(shù)學(xué)思維偏差

思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本能力，很多學(xué)生在數(shù)學(xué)解題時(shí)，出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是由于錯(cuò)誤的思維所導(dǎo)致。如有的習(xí)題雖然從表面上來(lái)看，和學(xué)生已經(jīng)練習(xí)過(guò)的題目一樣，但是實(shí)質(zhì)上有細(xì)微差別，如果學(xué)生繼續(xù)原有的思維就必然會(huì)使解題陷入困境;有的學(xué)生在解題時(shí)直接套用公式，而并沒(méi)有對(duì)問(wèn)題的邏輯思維關(guān)系進(jìn)行分析，等等。如果說(shuō)數(shù)學(xué)解題是一個(gè)思維過(guò)程，那么大部分情況下的解題錯(cuò)誤就是由于這個(gè)思維出現(xiàn)偏差，教師需要通過(guò)眾多錯(cuò)題發(fā)現(xiàn)學(xué)生在思維方面的誤區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生在思維方面進(jìn)行改善或提升。

雖然數(shù)學(xué)錯(cuò)題是一種常態(tài)存在，數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程本身也是不斷學(xué)習(xí)新知識(shí)、減少解題錯(cuò)誤的過(guò)程，但是大多數(shù)教師和學(xué)生對(duì)于這個(gè)真實(shí)反映學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況、可以直接減少同類型錯(cuò)誤的錯(cuò)題資源往往是視而不見(jiàn)或者是少有關(guān)注，而是把重點(diǎn)放在新的問(wèn)題解決上，意圖通過(guò)重復(fù)不斷的新問(wèn)題練習(xí)來(lái)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，從而使得錯(cuò)題資源這一重要的課程資源沒(méi)有被合理開(kāi)發(fā)和利用。審視和反思是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法和手段，在竭盡腦汁進(jìn)行各種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技能和策略方法的開(kāi)發(fā)時(shí)，適當(dāng)?shù)仃P(guān)注錯(cuò)題資源，把錯(cuò)題資源納入課程資源開(kāi)發(fā)體系中，不失為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提升突破的新切入點(diǎn)。

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【責(zé)任編輯 ?郭振玲】