黃聲德, 劉靜, 代武川
(江西理工大學(xué),a.機(jī)電工程學(xué)院;b.建筑與測(cè)繪工程學(xué)院,江西 贛州341000)
在微機(jī)電系統(tǒng)中,基于柔性鉸鏈的壓電微動(dòng)平臺(tái)因其無摩擦、無間隙、靈敏度高等優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于光學(xué)精密儀器、微零件制造與裝配、生物科學(xué)等眾多領(lǐng)域[1-3].壓電微動(dòng)平臺(tái)以壓電陶瓷作為驅(qū)動(dòng)器,壓電陶瓷具有出力大、分辨率高等優(yōu)點(diǎn)[4-5],但其行程普遍較小,因此需要放大機(jī)構(gòu)將其位移放大.橋式放大機(jī)構(gòu)具有機(jī)構(gòu)緊湊、固有頻率高、應(yīng)力分布均勻等優(yōu)勢(shì)[6-7],因此更適合應(yīng)用在受結(jié)構(gòu)限制的微動(dòng)平臺(tái).
宏微驅(qū)動(dòng)技術(shù)[8]是一種運(yùn)用宏微雙重驅(qū)動(dòng)概念實(shí)現(xiàn)平臺(tái)大行程高精度的一種新型定位平臺(tái)系統(tǒng),文中基于橋式放大機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種應(yīng)用于宏微驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中的微動(dòng)平臺(tái).微動(dòng)平臺(tái)作為宏微驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu),其機(jī)械特性對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的精準(zhǔn)、穩(wěn)定運(yùn)行具有至關(guān)重要的作用.微動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性包括固有頻率、響應(yīng)速度、放大倍數(shù)等,但通常它們之間是相互制約的,因此,為了提高微動(dòng)平臺(tái)的整體綜合性能,對(duì)微動(dòng)平臺(tái)的優(yōu)化是很有必要的.微動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性和其結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)往往具有一定的相關(guān)性,因此尋求微動(dòng)平臺(tái)動(dòng)態(tài)特性與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)模型,對(duì)建立微動(dòng)平臺(tái)的優(yōu)化模型具有重要意義.
文中對(duì)一種依托橋式原理進(jìn)行位移放大的微動(dòng)平臺(tái)展開研究,建立反映微動(dòng)平臺(tái)動(dòng)態(tài)特性的徑向基函數(shù)模型,采用多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)微動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),進(jìn)而改善微動(dòng)平臺(tái)的整體動(dòng)態(tài)特性.
微動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)如圖1所示.為方便設(shè)計(jì)與計(jì)算,微動(dòng)平臺(tái)中所有鉸鏈均采用幾何參數(shù)相同的直圓型柔性鉸鏈,表1是微進(jìn)給平臺(tái)的初始結(jié)構(gòu)參數(shù)及取值范圍.
圖1 微動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)示意
表1 微平臺(tái)初始結(jié)構(gòu)參數(shù)及取值范圍/mm
表 1 中,d1、d2、d3為橋式放大機(jī)構(gòu)各桿件的長(zhǎng)度,d4為平臺(tái)導(dǎo)向機(jī)構(gòu)桿件長(zhǎng)度,z為各桿件的寬度,R、t、b分別為柔性鉸鏈的切割半徑、最小厚度和寬度.
微動(dòng)平臺(tái)的輸出位移行程反映了其有效運(yùn)動(dòng)范圍,因此放大倍數(shù)是表述放大機(jī)構(gòu)的重要性能指標(biāo),放大倍數(shù)可用輸出位移與輸入位移的比值來表示,如式(1).
式(1)中,u1為輸出位移,u2為輸入位移.利用ANYSY軟件的靜力學(xué)分析模塊,在輸入端施加u1=10 μm 的位移,得到輸出位移 u2,通過式(1)可計(jì)算得到機(jī)構(gòu)放大倍數(shù).
微動(dòng)平臺(tái)是通過柔性鉸鏈的變形來傳遞位移和力,若產(chǎn)生的應(yīng)力超過材料許用應(yīng)力,容易使機(jī)構(gòu)發(fā)生永久變形和斷裂,利用ANSYS分析可知,微平臺(tái)的最大應(yīng)力發(fā)生在如圖2所示的柔性鉸鏈最小厚度處,設(shè)該點(diǎn)為A點(diǎn).設(shè)微動(dòng)平臺(tái)采用標(biāo)稱位移為20 μm的壓電陶瓷,當(dāng)其在輸入端施加20 μm的輸入位移時(shí),A點(diǎn)鉸鏈處將產(chǎn)生最大應(yīng)力σmax,以σmax作為評(píng)價(jià)微動(dòng)平臺(tái)的強(qiáng)度性能指標(biāo).
微動(dòng)平臺(tái)的固有頻率f是評(píng)價(jià)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的重要性能指標(biāo).文中以A、f、σmax作為微動(dòng)平臺(tái)的性能指標(biāo),以結(jié)構(gòu)參數(shù) d1、d2、d3、d4、z、R、t、b 為設(shè)計(jì)變量,對(duì)微平臺(tái)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).優(yōu)化流程如下:利用拉丁超立方抽樣方法[9]確定30組設(shè)計(jì)變量的樣本點(diǎn),通過ANSYS軟件計(jì)算30組樣本點(diǎn)的放大倍數(shù)、固有頻率和最大應(yīng)力;采用徑向基函數(shù)建立上述樣本點(diǎn)的代理模型,最后運(yùn)用多目標(biāo)優(yōu)化方法尋求設(shè)計(jì)變量與性能指標(biāo)的最優(yōu)解.
圖2 微動(dòng)平臺(tái)應(yīng)力云圖
徑向基函數(shù)模型構(gòu)建的基本思想是:確定一組可靠的樣本點(diǎn) x=[x1,x2,…,xn],以變量 x 與每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn) xi(i=1,2,…,n)的徑向距離 φ(ri)(i=1,2,…,n)函數(shù)作為基函數(shù),通過基函數(shù)φ(ri)的線性疊加來計(jì)算未知數(shù)據(jù)點(diǎn)處的值,通過徑向距離的引入,把原本復(fù)雜的高維問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的低維問題解決,其基本形式的表達(dá)式如式(2):
式(2)中,權(quán)系數(shù) β=[β1,β2,…,βn]T;徑向函數(shù) φ(ri)=[φ(r1),φ(r2),…,φ(rn)]T;歐氏距離函數(shù) ri=[φ(‖xx1‖),φ(‖x-x2‖),…,φ(‖x-xn‖)]T;‖x-xi‖表示未知點(diǎn)x到樣本點(diǎn)xi的歐式距離.
式(2)作為代理模型應(yīng)滿足以下條件:
式(3)中,F(xiàn)~(xi)和 F(xi)分別表示第 i組樣本點(diǎn)的預(yù)測(cè)值和實(shí)際值.將式(3)帶入式(2)可得:
通過式(4)可求解得到系數(shù):
在徑向基函數(shù)模型的建立過程中,合理選用徑向函數(shù)和徑向函數(shù)的形參對(duì)模型的構(gòu)建精度具有較大的影響.高斯函數(shù)和MQ函數(shù)是應(yīng)用最為廣泛的徑向函數(shù),基于很多學(xué)者的分析研究經(jīng)驗(yàn),MQ函數(shù)具有計(jì)算效率高、模型擬合精度好和穩(wěn)定性優(yōu)良等優(yōu)點(diǎn)[10-12],因此文中用MQ函數(shù)作為徑向函數(shù),MQ函數(shù)的一般形式如式(6):
對(duì)于式(6)中的形參數(shù)c,采用遍歷對(duì)比的思想選取形參數(shù)的最優(yōu)取值,形參數(shù)的確定流程下:
1)初步確定形參數(shù) c的取值區(qū)間 c∈[0.1,5],在區(qū)間內(nèi)取 c∈[c1,c2,c3,…,cn];
2)選取一系列樣本點(diǎn),計(jì)算c=c1的均方根誤差(RSME),定義為 P1;
3)返回步驟2)計(jì)算其他形參數(shù)的均方根誤差Ps(s=2,3,…,n),逐次對(duì)比;
4)確定 Pj=min{P1,P2,…,Pn}對(duì)應(yīng)的形參數(shù) cj為最終確定的形參數(shù).
均方根誤差(RSME)的計(jì)算公式如下:
式(7)中:k 為樣本量;yi為實(shí)際值;y^i為預(yù)測(cè)值.
利用拉丁超立方抽樣方法抽取設(shè)計(jì)變量區(qū)間內(nèi)的30個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn),利用ANSYS Workbench計(jì)算每個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的性能指標(biāo)響應(yīng)值,樣本點(diǎn)及性能指標(biāo)值如表2所示.
根據(jù)式(2)、式(5),可得到機(jī)構(gòu)放大比 A、最大應(yīng)力σmax、固有頻率f對(duì)設(shè)計(jì)變量的徑向基函數(shù)模型解析式有如下形式:
式(8)中:[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8]分別表示[b,d1、d2、d3、d4、R、t、z];α=[α1,α2, …,α20]T為徑向基函數(shù)的系數(shù);c為徑向函數(shù)的形參數(shù).
選取的一系列樣本點(diǎn),利用遍歷對(duì)比的方法最終確定放大倍數(shù)模型形參數(shù)c1=0.74、最大應(yīng)力模型形參數(shù)c2=1、固有頻率模型形參數(shù)c3=2.5;根據(jù)式(7),求得模型的最小均方根誤差為:放大倍數(shù)的最小均方根誤差:PA=0.199,最大應(yīng)力的最小均方根誤差:Pσ=7.183,固有頻率的最小均方根誤差:Pf=10.797.
表2 拉丁超立方采樣點(diǎn)設(shè)計(jì)參數(shù)與性能指標(biāo)值
均方根誤差是用來評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)值與實(shí)際值偏差程度的一種方法,均方根誤差越小表明預(yù)測(cè)值越接近于實(shí)際值,但均方根誤差值的大小與計(jì)算數(shù)據(jù)值的大小有直接關(guān)系:在同樣程度偏差下,計(jì)算數(shù)據(jù)的值越大,均方根誤差也越大,因此均方根誤差無法作為統(tǒng)一的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)衡量模型是否具有良好的擬合效果,故文中在此引入ρ值用來衡量模型的擬合程度,ρ的計(jì)算公式如下:
式(9)中:P為均方根誤差,yˉ為實(shí)際值的平均值.
ρ值越接近于0說明模型的擬合精度越好,利用式(6)算得放大倍數(shù)、最大應(yīng)力、固有頻率的ρ值分別為0.044、0.045、0.053,說明基于徑向基函數(shù)建立的模型擬合精度能夠準(zhǔn)確反映設(shè)計(jì)變量與性能指標(biāo)的關(guān)系.
多目標(biāo)遺傳算法(MOGA)[13]是一種模擬生物進(jìn)化的優(yōu)化算法,應(yīng)用多目標(biāo)遺傳算法(MOGA)可得到目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的Pareto解集,Pareto解集即為當(dāng)前條件下最優(yōu)方案解的解集.采用多目標(biāo)遺傳算法(MOGA)對(duì)微平臺(tái)進(jìn)行優(yōu)化,以基于徑向基函數(shù)得到的放大倍數(shù)和固有頻率代理模型為目標(biāo)函數(shù),以設(shè)計(jì)參數(shù)的取值范圍及最大應(yīng)力作為線性約束條件,建立微平臺(tái)的多目標(biāo)優(yōu)化模型如式(10):
式(10)中:σs為材料的屈服強(qiáng)度 σs=393.7 MPa;xi表示設(shè)計(jì)變量,i=1,2,…,8;xmin、xmax分別表示設(shè)計(jì)變量的最小限制尺寸和最大限制尺寸.
利用Matlab工具箱中的gamultiobj函數(shù),設(shè)置初始種群大小為500,最大迭代次數(shù)為100,獲得Pareto最優(yōu)解分布如圖3所示.
圖3 Pareto最優(yōu)解集
利用最小距離法則[14],確定全局最優(yōu)解的放大倍數(shù)和固有頻率分別為6.106、364.9 Hz,且滿足σmax<σs,對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)變量數(shù)值如表3所示,為方便加工,對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行微小調(diào)整.
表3 優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量值及調(diào)整值/mm
利用ANSYS Workbench對(duì)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真,仿真結(jié)果如圖4所示,優(yōu)化后的放大倍數(shù)約為6.00倍,固有頻率為344.75 Hz,對(duì)比優(yōu)化前的性能指標(biāo)值,放大倍數(shù)增大了約40.80%,固有頻率增大了約22.83%,因此優(yōu)化結(jié)果能更好的滿足微平臺(tái)的性能要求.
為了驗(yàn)證微動(dòng)平臺(tái)優(yōu)化結(jié)果的有效性,對(duì)優(yōu)化后的微動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行電壓-位移實(shí)驗(yàn),分析輸出位移與輸入位移的關(guān)系.搭建如圖5所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái),壓電陶瓷采用芯明天公司生產(chǎn)型號(hào)為:Mtp150/10*10/36的壓電陶瓷,壓電驅(qū)動(dòng)器施加電壓0~60 V并內(nèi)置了位移傳感器,步長(zhǎng)2 V,利用外部電容位移傳感器收集輸出位移.最終測(cè)得30組輸入和輸出位移的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),利用ANSYS Workbench對(duì)30組輸入位移進(jìn)行分析,并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,如圖6所示.由圖6可知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與ANSYS Workbench仿真數(shù)據(jù)結(jié)果接近,說明本文所用的代理模型和優(yōu)化方法有效.
圖4 ANSYS仿真分析結(jié)果
圖5 實(shí)驗(yàn)裝置
圖6 輸入位移與輸出位移
1)針對(duì)一種利用橋式放大原理設(shè)計(jì)的微動(dòng)平臺(tái),提出基于徑向基函數(shù)的優(yōu)化模型,并基于該模型對(duì)微動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化.
2)根據(jù)徑向基函數(shù)理論建立了反映微動(dòng)平臺(tái)性能指標(biāo)和結(jié)構(gòu)參數(shù)的非線性模型,并對(duì)模型的形參數(shù)進(jìn)行選擇,為微動(dòng)平臺(tái)的優(yōu)化提供了精確的理論模型.
3)采用多目標(biāo)遺傳算法,以微動(dòng)平臺(tái)的放大倍數(shù)、固有頻率為目標(biāo)函數(shù),以最大應(yīng)力、結(jié)構(gòu)尺寸為約束條件,對(duì)微動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行優(yōu)化,優(yōu)化結(jié)果表明:在滿足最大應(yīng)力小于材料許用應(yīng)力的前提下,微動(dòng)平臺(tái)放大倍數(shù)增加了約40.80%,固有頻率增加了約22.83%.故所采用的代理模型和優(yōu)化方法有效,并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明了優(yōu)化結(jié)果的有效性.