王敬文， 黃勁松， 智桐， 王成敏

（江西理工大學(xué)信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000）

0 引 言

在量子網(wǎng)絡(luò)[1]中，量子節(jié)點(diǎn)是其中一個(gè)非常重要的組成部分，因?yàn)樗軌蜻B貫地連接不同的量子信道.而在量子節(jié)點(diǎn)中，量子路由器常被用于控制量子信號(hào)的傳輸路徑.目前已在許多系統(tǒng)中，如腔和電路量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)[2-3]、光機(jī)械系統(tǒng)[4]等，進(jìn)行了大量關(guān)于量子路由器的研究.

近年來單光子傳輸技術(shù)的快速發(fā)展[5-12]為研究單光子量子路由提供了理想的平臺(tái)，其中光子由于具有良好的相干性和非常低的損耗所以被用作為理想的信號(hào)傳輸載體，波導(dǎo)被作為控制光信號(hào)傳輸?shù)牧孔有诺?在波導(dǎo)激發(fā)器系統(tǒng)中關(guān)于量子路由的許多理論方案[13-16]以被闡述，如周蘭等[13-14]提出在一個(gè)X型的耦合諧振腔波導(dǎo)構(gòu)成的兩個(gè)量子信道中研究單光子量子路由，一個(gè)循環(huán)三能級(jí)激發(fā)器在經(jīng)典驅(qū)動(dòng)場的協(xié)助下，可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)在不同信道間的傳輸.然而，在這些單激發(fā)器的波導(dǎo)系統(tǒng)中，從輸入信道到另一信道的單光子的路由轉(zhuǎn)移率較低，不超過0.5，這將會(huì)限制路由器的更多潛在的應(yīng)用.在一個(gè)多信道量子網(wǎng)絡(luò)里，高轉(zhuǎn)移率可以更有效地分配傳輸?shù)男盘?hào)，因此設(shè)計(jì)高轉(zhuǎn)移率的量子路由器將入射的光信號(hào)路由到其它量子信道是很有意義的.為了提高路由轉(zhuǎn)移率，盧競等[16]修改了X型波導(dǎo)為T型波導(dǎo)，利用半無限長的耦合諧振腔陣列的硬壁邊界來限制輻射場，從而實(shí)現(xiàn)了入射波從半無限信道到無限長信道的高轉(zhuǎn)移率傳輸，然而信道的端口數(shù)量減少為3個(gè).

考慮到上述這些因素，提出了一種簡單的方案來有效地調(diào)控波導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)中單光子的量子路由.所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)通過在原有的單激發(fā)器耦合的X型波導(dǎo)中增加一個(gè)二能級(jí)的激發(fā)器來實(shí)現(xiàn)，該雙激發(fā)器構(gòu)置的系統(tǒng)仍保留有2個(gè)通道和4個(gè)端口.首先通過采用離散坐標(biāo)散射方法進(jìn)行分析計(jì)算，得到了波導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)的4個(gè)端口中的單光子散射幅，然后通過數(shù)值方法討論了如何調(diào)控相關(guān)參數(shù)來實(shí)現(xiàn)光子的所期望的量子路由.2個(gè)激發(fā)器在波導(dǎo)中形成的超腔可以產(chǎn)生一個(gè)有效反射勢來局域入射光子，并將更多的光子路由到另一個(gè)波導(dǎo)信道.與以前的方案[13-14]轉(zhuǎn)移率不大于0.5相比，光信號(hào)從一個(gè)輸入信道路由到另一個(gè)信道的概率可遠(yuǎn)超過0.5.因此，提出的方案可為量子級(jí)別的高路由率光學(xué)器件設(shè)計(jì)提供潛在的應(yīng)用.

1 理論模型與計(jì)算分析

圖1為控制高效率單光子量子路由示意圖，該圖由兩個(gè)交叉的耦合諧振腔陣列構(gòu)成的X型波導(dǎo)中，一個(gè)三能級(jí)激發(fā)器置于ja＝j(luò)b=0處，通過經(jīng)典場Ω共振驅(qū)動(dòng)，另一個(gè)二能級(jí)激發(fā)器放置在ja＝n處.單光子從信道a左側(cè)入射，被反射、透射或轉(zhuǎn)移到信道b，波導(dǎo)中兩個(gè)量子信道由兩個(gè)交叉的一維耦合諧振腔陣列提供，其腔模分別由產(chǎn)生算符a?ja和a?jb描述，下標(biāo)取為ja=jb=-∞，…，∞.一個(gè)三能級(jí)激發(fā)器放置于交叉腔中，它的基態(tài)、激發(fā)態(tài)和中間態(tài)分別為｜g1〉、｜e1〉和｜s1〉.在兩個(gè)信道中產(chǎn)生｜g1〉?｜e1〉躍遷的耦合強(qiáng)度分別是 ga和 gb，而躍遷｜e1〉?｜s1〉通過一個(gè)經(jīng)典驅(qū)動(dòng)光場耦合，相應(yīng)的Rabi頻率為Ω，另外一個(gè)激發(fā)器放在ja=n處，只與信道a耦合，耦合強(qiáng)度為gn.

當(dāng)光子從信道a左端的一個(gè)微腔進(jìn)入時(shí)，它將沿著信道a傳播或被激發(fā)器反射沿原路返回，或通過激發(fā)器被路由到信道b中上下傳輸.整個(gè)系統(tǒng)的哈密頓量由三部分組成：

其中，Hw描述了光子在波導(dǎo)中的自由傳播，Ha是三能級(jí)激發(fā)器和二能級(jí)激發(fā)器的自由哈密頓量，Hi描述了腔模、經(jīng)典驅(qū)動(dòng)和激發(fā)器之間的相互作用.這3個(gè)分別寫成以下形式（?=1）：

這里激發(fā)器基態(tài)的能級(jí)已去掉作為能量參考.為簡單起見，假設(shè)信道a（b）中的所有諧振腔具有相同的頻率 ωa（ωb），而且信道 a（b）中任何兩個(gè)最近鄰諧振腔之間的跳頻系數(shù) ξa（ξb）也是一樣.公式（2）中的波導(dǎo)哈密頓量Hw描述了典型的緊束縛玻色模型，其離散關(guān)系[15]表示為和和 kb為波數(shù).

由于該復(fù)合系統(tǒng)中的激發(fā)粒子總數(shù)守恒，因此哈密頓量（1）的本征態(tài)具有以下形式：

其中，｜0〉表示波導(dǎo)中處于零光子狀態(tài)，α（ja）和 β（jb）分別是信道a和b中腔的單光子態(tài)的概率幅度，cs（ce，cn）分別表示激發(fā)器相應(yīng)能級(jí)的概率幅.

通過本征態(tài)演化方程 H｜φ〉=E｜φ〉可得到：

這里已令Ea=Eb=E.

波函數(shù)可由下式給出：

r1、t1分別代表在信道a中第0個(gè)和第n個(gè)腔之間的反射和透射振幅，ra、ta、tdb和 tub分別是路由器的左、右、下和上傳輸幅值.公式（5）和公式（6）代入上方程組，可得到散射振幅為：

激發(fā)器和波導(dǎo)之間的耦合產(chǎn)生依賴能量的有效勢為：

以及兩個(gè)信道之間的色散耦合強(qiáng)度為：

這里記 Δe1=E-ωe1，Δ=E-ωs1和 Δe2=E-ωe2.色散耦合強(qiáng)度G和有效勢對(duì)單光子路由特性起著重要作用.

2 單光子量子路由

先考慮只有交叉腔中單個(gè)激發(fā)器情況下的路由，令 gn=0，公式（7）可以化簡到文獻(xiàn)[14]的結(jié)果.為了計(jì)算的方便，下面的討論中取 ωa=ωb=ω0，ξa=ξb=ξ，和 ka=kb=k，其它的參數(shù)取為 ga=gb=1，ωe1=8.4，ωs1=8，ωs2=8，ξa=ξb=1 和 n=5.圖 2（a）中呈現(xiàn)了 Ω=0.4 透射 Ta（虛線），反射 Ra（點(diǎn)虛線），轉(zhuǎn)移 Pb（實(shí)線）對(duì)失諧的變化，可觀察到當(dāng)入射光子頻率與躍遷能級(jí)共振時(shí)（E=ωs1），ta=1，此時(shí)光子完全透射出信道 a，沒有光信號(hào)路由到信道b,這可應(yīng)用為一種光開關(guān).在非共振頻率區(qū)域，入射光子將被部分轉(zhuǎn)移到其它信道，光子流的守恒關(guān)系變?yōu)門a+Ra+Pb=1.這里分別標(biāo)記透射率Ta=反射率Ra=2和信道間轉(zhuǎn)移率P=由于信道b上下對(duì)稱的傳b輸，存在但是由于單個(gè)量子發(fā)射器的能級(jí)輻射在兩個(gè)信道間的不對(duì)稱性，進(jìn)入另一個(gè)信道的最大概率不超過0.5，如圖2（a）所示.

為了研究耦合系數(shù)gn對(duì)進(jìn)入信道b的轉(zhuǎn)移率Pb的影響，圖 2（b）繪制了Pb在 Ω=0.1時(shí)對(duì)3個(gè)不同的耦合數(shù)gn的關(guān)系圖，曲線分別對(duì)應(yīng)為實(shí)線gn=0，虛線gn=0.4，點(diǎn)虛線gn=0.8.如前所述，當(dāng)gn=0時(shí)，實(shí)線顯示即使在改變驅(qū)動(dòng)的情況下，Pb始終沒有超過0.5.與單激發(fā)器情況形成鮮明對(duì)比的是，高轉(zhuǎn)移率Pb＞0.5會(huì)隨著另一激發(fā)器的耦合gn的增加而出現(xiàn)，且達(dá)到最大值0.932.出現(xiàn)這種情況的主要原因是波導(dǎo)a中這兩個(gè)激發(fā)器所處的諧振腔陣列形成了一個(gè)超腔[8]，行進(jìn)的光子被激發(fā)器產(chǎn)生的有效勢反射后局域在這個(gè)超腔里，然后更多的光子被路由到波導(dǎo)b，因此轉(zhuǎn)移率提高.圖2（c）表示轉(zhuǎn)移率Pb在不同的Ω（實(shí)線Ω=0.1，虛線Ω=0.4）的變化.結(jié)果顯示出，經(jīng)典驅(qū)動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)移率的影響不是很明顯，而且隨著驅(qū)動(dòng)增大，對(duì)轉(zhuǎn)移率有一定的抑制.

圖2 透射、反射、轉(zhuǎn)移對(duì)失諧的變化

進(jìn)一步地，圖3研究了耦合強(qiáng)度gn，驅(qū)動(dòng)Ω和諧振腔個(gè)數(shù)n對(duì)進(jìn)入信道b的光子轉(zhuǎn)移率在整個(gè)頻段的最大值Pmaxb的影響.圖3（a）曲線分別對(duì)應(yīng)為實(shí)線Ω=0.1，虛線Ω=0.4，粗線是存在耗散情況下的變化曲線.可以發(fā)現(xiàn)在弱耦合區(qū)域，轉(zhuǎn)移率的最大值剛剛超過0.5，隨著耦合強(qiáng)度增加，超腔里激發(fā)器產(chǎn)生的與耦合強(qiáng)度相關(guān)的有效勢增大，轉(zhuǎn)移率的最大值也逐漸增加.圖3（b）曲線分別對(duì)應(yīng)實(shí)線gn=0.4，虛線 gn=0.8，可以看出，驅(qū)動(dòng)Ω在前段小范圍值內(nèi)對(duì)轉(zhuǎn)移率的影響比較大，最大轉(zhuǎn)移率Pmaxb會(huì)隨著驅(qū)動(dòng)增加而降低，而當(dāng)驅(qū)動(dòng)超過一閾值時(shí)對(duì)最大轉(zhuǎn)移率的作用就不明顯，其主要原因是驅(qū)動(dòng)小于能級(jí)躍遷的補(bǔ)償時(shí)對(duì)路由的影響比較大.

實(shí)驗(yàn)上，在電路量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，構(gòu)成激發(fā)器的磁通量子比特可耦合到傳輸線上的諧振腔的微波場，它們之間的強(qiáng)耦合強(qiáng)度可以很容易地通過應(yīng)用電路回路的外磁通偏置[17-18]來調(diào)制.因此，在這些系統(tǒng)中高轉(zhuǎn)移率是實(shí)驗(yàn)可行的.注意到上述的研究中的耗散，實(shí)驗(yàn)上激發(fā)器和波導(dǎo)系統(tǒng)不可避免的會(huì)產(chǎn)生耗散.因?yàn)橄到y(tǒng)耦合到外部環(huán)境中，會(huì)發(fā)生激發(fā)器的激發(fā)態(tài)馳豫和光子泄漏.圖3（a）也研究了耗散情況下的量子路由的變化，計(jì)算中可以在相應(yīng)的頻率后加上各自的耗散iγ，耗散參數(shù)的選擇比例于耦合強(qiáng)度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果[19-20]為γ=0.02，通過比較發(fā)現(xiàn)最大轉(zhuǎn)移率Pmaxb由于泄漏到外部環(huán)境而會(huì)降低.此時(shí)光子流不再守恒而變?yōu)椋?.但是對(duì)適度低的耗散，高的遷移率Pmaxb=0.92還是可以實(shí)現(xiàn).實(shí)際上波導(dǎo)信道是并不是理想模型中的無限長，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)腔的個(gè)數(shù)n對(duì)路由率的影響較小.圖3（c）分別描述了在gn=0.4，Ω=0.4時(shí)無耗散（實(shí)線）和存在耗散0.02（虛線）的情況下腔的個(gè)數(shù)對(duì)最大遷移率的變化曲線，最大轉(zhuǎn)移率Pmaxb隨著波導(dǎo)中諧振腔的個(gè)數(shù)增加存在微小的波動(dòng).當(dāng)增加耗散時(shí)，最大轉(zhuǎn)移率由于耗散向外泄漏部分光子而相應(yīng)減小，但是受腔個(gè)數(shù)的波動(dòng)影響也是很細(xì)微.這是因?yàn)槁酚筛咿D(zhuǎn)移率的產(chǎn)生是由于通過兩個(gè)量子激發(fā)器的波函數(shù)在空間的量子干涉導(dǎo)致，而兩個(gè)量子激發(fā)器所處位置之間的腔數(shù)與波數(shù)的乘積是周期性指數(shù)函數(shù)，見公式（7），不同的腔數(shù)在全頻段波數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生的遷移率最大值只是改變對(duì)應(yīng)最值的不同波數(shù)，而對(duì)最大遷移率的數(shù)值影響不大.

圖3 最大轉(zhuǎn)移率Pmax b隨gn，Ω 和n的變化

3 結(jié) 論

研究了X形波導(dǎo)中耦合兩個(gè)激發(fā)器構(gòu)成的路由器對(duì)信道間單光子路由的相干調(diào)控.通過離散坐標(biāo)散射方法計(jì)算得到了波導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)各端口的散射幅.結(jié)果顯示，與激發(fā)器耦合相關(guān)的有效反射勢可將光子局域兩個(gè)激發(fā)器形成的超腔中，并路由更多光子到其它信道，從而提高系統(tǒng)的路由能力.實(shí)驗(yàn)的可行性也加以了討論，因此，提出的系統(tǒng)可以用作一個(gè)有效的量子路由器來實(shí)現(xiàn)可操控的路由.