不要冗長(zhǎng)要簡(jiǎn)約 不要面紗要秒殺

福建省福州華僑中學(xué)(350004) 李文明

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)包括： 數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，這些數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體.正因如此，作為選拔和發(fā)現(xiàn)具有數(shù)學(xué)潛能學(xué)生的中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽不僅要考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面是否有突出的表現(xiàn)，更要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和創(chuàng)新能力，因此，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題認(rèn)真研究，創(chuàng)新思考，不僅對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)十分有益，而且更有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力.下面我們對(duì)幾道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題進(jìn)行認(rèn)真探索，創(chuàng)新思考.

一、四個(gè)案例

題目1 (2018年第六屆“學(xué)數(shù)學(xué)”奧林匹克邀請(qǐng)賽(秋季) 第一試第10 題) 設(shè)λ 為實(shí)數(shù)， 已知對(duì)任意的非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c， 都有M ≤λ(a2+b2+c2)成立， 其中試求實(shí)數(shù)λ的最小值.

解答取可得

法一首先證明如下引理.

引理若a,b ≥0， 則

引理的證明引理等價(jià)于

最后一式顯然成立，從而，引理得證.

回到原題.

不妨設(shè)a ≥ b ≥ c， 則ca ≥ c2,bc ≥ c2， 于是

法二不妨設(shè)a ≥b ≥c，則ca ≥c2,bc ≥c2，于是M ≤若b=0，則c=0，結(jié)論顯然成立.若b ＞0，考慮(a ≥b ＞0).不妨設(shè)a2+b2=1，并設(shè)t=a+b，則易知1 ＜從而，令則g′(t) =

題目1 的點(diǎn)評(píng)第10 題參考答案證法一，是先取特殊值，進(jìn)而得到λ 的特殊值，然后證明引理，再用引理證明最后結(jié)論，方法一雖然看上去比較簡(jiǎn)明，但是特殊值的選取比較神秘，甚至有點(diǎn)莫名其妙;

證法二是先放縮，再運(yùn)用換元法，再構(gòu)造函數(shù)，再分類討論，再利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題，過(guò)程冗長(zhǎng)復(fù)雜

首先由于a,b,c ≥0，所以當(dāng)a=b=c=0 時(shí)，λ ∈? 原不等式恒成立.當(dāng)a,b,c 不全為0 時(shí)，不妨設(shè)a ≥b ≥c ≥0，則原不等式

恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)c=0 時(shí)“=”成立.當(dāng)c=0 時(shí)，

恒成立，因此

由此我們就可以知道其實(shí)特殊值的選取并不唯一，例如我們可以選擇更加簡(jiǎn)單的特殊值也就是說(shuō)只要a=b ＞0 且c=0 都是可以的! ! 甚至是我們根本就不用選取特殊值進(jìn)行試探，而是分析透徹，認(rèn)清本質(zhì)，一氣呵成，至此神秘面紗蕩然無(wú)存!

犢牛肉的主要揮發(fā)性風(fēng)味物質(zhì)為酮類、醛類和醇類，其中醛類多為不飽和醛，前腿肉中的主要成分為醛類，其中庚醛、正辛醛和壬醛含量分別為19.07(106/g)、27.25(106/g)、108.10(106/g)，顯著高于其他兩組(p<0.05)。里脊肉中的主要成分為醇類，其中1-戊醇、1-辛烯-3-醇、2-十六烷醇含量分別為31.66(106/g)、9.85(106/g)、4.27(106/g)，顯著較高(p<0.05)。后腿肉的主要成分為酮類，其中3-羥基-2-丁酮、甲基庚烯酮含量分別為32.02(106/g)、8.88(106/g)。成年牛肉的酯類和醇類數(shù)量顯著較高(p<0.05)。

題目2(2018年第六屆“學(xué)數(shù)學(xué)”奧林匹克邀請(qǐng)賽(秋季) 第二試第二題) 設(shè)n ∈??， 正整數(shù)數(shù)列{xn} 滿足1=x0≤x1≤···≤xn.證明：

解答用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1 時(shí)，有

結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=k 時(shí)，結(jié)論成立.即

下面證明，當(dāng)n=k+1 時(shí)，結(jié)論也成立.若xk+1＞(k+1)2，則由歸納假設(shè)得

而

代入式①即得

此時(shí)結(jié)論成立.若xk+1≤(k+1)2，由1 = x0≤x1≤··· ≤xk≤xk+1，知對(duì)所有i = 1,2,··· ,k+1,xi-xi-1都是非負(fù)整數(shù)，故從而，

此時(shí)結(jié)論也成立.綜上所述，結(jié)論對(duì)任意n ∈??都成立.

題目2 的點(diǎn)評(píng)原證明方法采用了數(shù)學(xué)歸納法和分類討論， 這種解法雖然是與自然數(shù)相關(guān)的命題證明的常用方法，但是過(guò)程冗長(zhǎng)繁難，技巧性很強(qiáng)，學(xué)生難以把控.

題目2 的新證明下面我們認(rèn)真分析問(wèn)題的本質(zhì)特征，創(chuàng)新思考，給出自然的、簡(jiǎn)約的具有普適性的創(chuàng)新證明.

恒成立，因此

題目3(2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合竟賽加試A 卷第一題) 設(shè)n 是正整數(shù)， a1,a2,··· ,an， b1,b2,··· ,bn， A,B均為正實(shí)數(shù)， 滿足ai≤ bi， ai≤ A， i = 1,2,··· ,n 且證明：

證明由條件知，記則化為k1k2···kn≤K.要證明

對(duì)i=1,2,··· ,n，由于ki≥1 及0 ＜ai≤A 知，

結(jié)合K ≥k1k2···kn知， 為證明①， 僅需證明當(dāng)A ＞0，ki≥1(i=1,2,··· ,n)時(shí)，有

對(duì)n 進(jìn)行歸納，當(dāng)n = 1 時(shí)，結(jié)論顯然成立.當(dāng)n = 2 時(shí)，由A ＞0，k1,k2≥1 可知

因此n = 2 時(shí)結(jié)論成立.設(shè)n = m 時(shí)結(jié)論成立， 則當(dāng)n=m+1 時(shí)，利用歸納假設(shè)知，

最后一步是在③中用k1k2···km，km+1(注意k1k2···km≥1，km+1≥1)分別代替k1,k2，從而n = m+1 時(shí)結(jié)論成立.由數(shù)學(xué)歸納法可知， ②對(duì)所有正整數(shù)n 成立，故命題得證.

題目3 的點(diǎn)評(píng)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，過(guò)程冗長(zhǎng)，技巧性很強(qiáng)，無(wú)形之中增加了問(wèn)題的難度!

題目3 的新證明不妨設(shè)A ≥a1≥a2≥··· ≥an＞0,b1≥b2≥···≥bn＞0，由于

又因?yàn)?/p>

恒成立，因此

當(dāng)且僅當(dāng)b1= b2= ···= bn= a1= a2= ···= an＞0 時(shí)，“=”成立，所以

題目4(2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西預(yù)賽第二試第五題)設(shè)a,b,c ＞0.證明：

證明有對(duì)稱性不妨設(shè)a ≤b ≤c，則

以LHS 表示待證不等式的左端.當(dāng)a2+bc ≤b2+ca ≤c2+ab 時(shí)，即a+b ≥c 時(shí)，由切比雪夫不等式

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)a+b ＜c 時(shí)，

顯然有LHS ＞ab+bc+ca.綜上所述，原不等式成立.

題目4 的點(diǎn)評(píng)參考答案先設(shè)序，然后放縮，再運(yùn)用著名的切比雪夫不等式，然后在運(yùn)用著名的Nesbitt 不等式進(jìn)行證明，過(guò)程雖然不是過(guò)于復(fù)雜，但是多次運(yùn)用著名不等式定理，難度較大!

題目4 的新證明不妨設(shè)a ≥b ≥c ＞0，則

恒成立，因此

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時(shí)“=”成立，所以

二、感悟與啟示

我們從上面給出的四個(gè)問(wèn)題的參考答案不難發(fā)現(xiàn)，這些問(wèn)題的解答也都注意到了實(shí)數(shù)的有序性，但是對(duì)實(shí)數(shù)的有序性公理卻視而不見(jiàn)，因?yàn)榱?xí)慣了套路，習(xí)慣了已有思維，已有的經(jīng)驗(yàn)，已有的模式，相信無(wú)論有多少迂回曲折，還是可以運(yùn)用最常用的殺手锏——一些著名的不等式定理、利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)總能夠使問(wèn)題得到解決，因此也就忘卻了思考，更忘卻了創(chuàng)新思考，因此過(guò)程繁難也就不足為怪，另外，如果作為一道奧林匹克競(jìng)賽題，好像解法就不能簡(jiǎn)單已經(jīng)成為不約而同遵守的“原則”，從而從某種意義上限制了人們的創(chuàng)新思考，因此我們一定要從數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)出發(fā)探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，追求自然，崇尚簡(jiǎn)約，多一點(diǎn)思考.少一點(diǎn)套路，讓數(shù)學(xué)的美妙滋潤(rùn)每一位數(shù)學(xué)愛(ài)好者的心田.