一個(gè)三角不等式的應(yīng)用探討

上海市上海交通大學(xué)附屬中學(xué)嘉定分校(201821) 徐輝

圖1

由上面不等式很容易得到：

(1)|sin x|≤|x|，x ∈?，當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí)取等號(hào);

一.用于比較大小

例1比較大小(1)sin 10°與

解可直接使用前述不等式.

例2設(shè)比較以下三個(gè)數(shù)的大小： sin(cos x)，cos(sin x)，cos x.

解顯然所以sin(cos x) ＜cos x，又所以cos(sin x) ＞ cos x， 從而：sin(cos x)＜cos x ＜cos(sin x).

二.用于證明不等式

例3若x,y ∈?，求證： |sin x-sin y|≤|x-y|.

證明

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y 時(shí)取得.

例4求證： |sin nx|≤n|sin x|，其中x ∈?,n ∈??.

解 方法1(數(shù)學(xué)歸納法)(1)當(dāng)n=1 時(shí)，命題顯然成立;(2)假設(shè)當(dāng)n = k (k ≥1,k ∈??)時(shí)，有|sin kx| ≤k|sin x|，則當(dāng)n=k+1 時(shí)，

由(1)(2)，依數(shù)學(xué)歸納法原理知原命題成立.

方法2(迭代)(1)當(dāng)n=1 時(shí)，命題顯然成立;

(2)當(dāng)n ≥1 時(shí)，

例5設(shè)求證：

證明因所以

注： 公式sin x ＜x ＜tan x 中，正弦最小，要證明正弦大于某數(shù)，可考慮將正弦轉(zhuǎn)化為正切.

例6設(shè)求證：

解因故只需證明2x 即可.即要證：即而得證.

注： 此題再一次使用了將正弦轉(zhuǎn)化為正切的思路.

三.用于證明等式

例7若x、y、z 中的每個(gè)數(shù)都恰好等于其余兩數(shù)和的余弦.求證： x=y =z.

證明由題意x = cos(y + z)， y = cos(z + x)，z =cos(x+y)，若xy，則

矛盾.從而x=y，同理可得y =z，于是x=y =z(得證).

四.用于判斷方程根的大小

例8設(shè)且α,β,γ 分別是三個(gè)關(guān)于x 的方程cos x = x,sin cos x = x,cos sin x = x 根， 試比較α,β,γ 的大小.

解(作差比較) 由題意，所以sin cos β ＜cos β，則

若α ≤β， 則cos α ≥cos β， 從而一方面α - β ≤0， 另一方面cos α - cos β ≥0， 與(?) 矛盾.故α ＞β; 又若α ≥γ， 則cos α ≤cos γ， 但由知cos α ＜cos sin γ，即α ＜γ，矛盾，故α ＜γ.綜上：β ＜α ＜γ.

五.引申出新的命題

例9已知函數(shù)f(x) = x cos x-sin x，求證： f(x)≤0;

解(1)當(dāng)時(shí)，由x ≤tan x，知所以f(x)=x cos x-sin x ≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí)取等號(hào);

例10設(shè)求證： 設(shè)

解可研究在上的單調(diào)性.對(duì)于任意且x1＜x2，顯然有則故g(x) 在上的單調(diào)遞減， 從而即

注： 本題例用了例9 的結(jié)論.

例11在銳角三角形ABC 中，求證：

(1)sin A+sin B+sin C ＞2;

(2)cos A+cos B+cos C ＞1.

證明(1) 由例10， 當(dāng)時(shí)，即從而式相加可得sin A+sin B+sin

例12已知n ∈??，

證明(1)由當(dāng)時(shí)，有sin x ＜x ＜tan x.從而對(duì)任意n ∈??，有相加得

故

顯然還可以繼續(xù)縮小，可自行嘗試.