三角形的三邊長(zhǎng)的代數(shù)式與面積之間的不等式

廣東省中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 鄧啟龍

三角形的邊長(zhǎng)與面積之間存在很多關(guān)系， 有等式關(guān)系，例如海倫公式也有不等式關(guān)系，例如本文深入探究三角形的邊長(zhǎng)與面積之間的不等式關(guān)系，得到了三角形的三邊長(zhǎng)的各種代數(shù)式與面積之間的不等式.

在△ABC 中， 內(nèi)角A,B,C 所對(duì)的邊分別為a,b,c，面積為S， 由海倫公式知其中p =為半周長(zhǎng).

首先給出本文要用到的引理.

引理1a,b,c ∈?， 3(ab+bc+ca) ≤(a+b+c)2≤3(a2+b2+c2)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時(shí)等號(hào)成立.

由均值不等式易證引理1.

引理2A,B,C 為△ABC 的三個(gè)內(nèi)角，sin A+sin B+當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

證明由和差化積公式得

接下來(lái)給出三角形的三邊長(zhǎng)的各種代數(shù)式與面積之間的不等式.

1.三角形的三邊長(zhǎng)的和與面積之間的不等式

結(jié)論1當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c 時(shí)等號(hào)成立.

證 明由 海 倫 公 式 和 均 值 不 等 式 得所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時(shí)等號(hào)成立.

結(jié)論1 給出三角形的周長(zhǎng)與面積之間的不等式.由結(jié)論1 可得： 周長(zhǎng)為定值的三角形中，正三角形的面積最大;面積為定值的三角形中，正三角形的周長(zhǎng)最小.

推論1當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時(shí)等號(hào)成立.

證明由引理1 和結(jié)論1 得3(a2+b2+c2)≥(a+b+所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.

推論1 給出三角形的三邊長(zhǎng)的平方和與面積之間的不等式.

2.三角形的三邊長(zhǎng)的積與面積之間的不等式

結(jié)論2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時(shí)等號(hào)成立.

證明由正弦定理得a = 2R sin A， b = 2R sin B，c = 2R sin C，其中R 為外接圓的半徑，則2R2sin A sin B sin C.待證不等式由均值不等式和引理2 得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時(shí)等號(hào)成立.

結(jié)論2 給出三角形的三邊長(zhǎng)的積與面積之間的不等式.由結(jié)論2 可得： 三邊長(zhǎng)的積為定值的三角形中，正三角形的面積最大;面積為定值的三角形中，正三角形的三邊長(zhǎng)的積最小.

由均值不等式和結(jié)論2 可立即推出結(jié)論1： (a+b+c)2≥

推論2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時(shí)等號(hào)成立.

證明由均值不等式和結(jié)論2 得ab + bc + ca ≥所以ab+bc+ca ≥當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時(shí)等號(hào)成立.

由引理1 和結(jié)論2 以及均值不等式可得以下不等式鏈： 3(a2+b2+c2)≥(a+ b + c)2≥3(ab+ bc+ ca) ≥

3.三角形的三邊長(zhǎng)的線(xiàn)性和與面積之間的不等式

結(jié)論 3x,y,z ＞ 0,(xa + yb + zc)2≥其中k 滿(mǎn)足方程且當(dāng)且僅當(dāng)a : b : c =時(shí)等號(hào)成立.

證明由海倫公式得

令1+n+t-m = 2xk， 1+t+m-n = 2yk， 1+m+n-t = 2zk， 解得m = (y +z)k -1， n = (z +x)k -1，t = (x + y)k - 1.由取等條件(a + b + c) = m(b +c-a) = n(c+a-b) = t(a+b-c) 得且所以且所以k 滿(mǎn)足方程由m,n,t ＞ 0 得所以(xa+yb+zc)2≥當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

結(jié)論3 給出三角形的三邊長(zhǎng)的線(xiàn)性和與面積之間的不等式.由結(jié)論3 可得： 若三角形的三邊長(zhǎng)的線(xiàn)性和為定值，則三角形的面積有最大值;若三角形的面積是定值，則三角形的三邊長(zhǎng)的線(xiàn)性和有最小值.

在結(jié)論3 中， 若x = y = z = 1， 解得k = 2， 得此即結(jié)論1.

推論3若x,y,z ＞ 0， 且xa + yb + zc = l， 則其中k滿(mǎn)足方程

下面結(jié)合例題說(shuō)明結(jié)論3 和推論3 在三角形中的應(yīng)用.

例1△ABC 的三邊分別為a,b,c，若2a+7b+11c =120，求△ABC 面積的最大值?

解析由題可知x = 2， y = 7， z = 11， l = 120， 解方程得由推論3得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.由2a+7b+11c = 120 和a:b:c=8:7:5 得a=8，b=7，c=5，此時(shí)△ABC 面積取最大值.

例2△ABC 的三邊分別為a,b,c， 若△ABC 面積為求3a+3b+7c 的最小值?

解析由題可知x = 3， y = 3， z = 7， S =解方程得由結(jié)論3 得所以3a+3b+7c ≥32，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.由和a : b : c = 3 : 3 : 2 得a = 3，b = 3，c = 2，此時(shí)3a+3b+7c=32，取最小值.

4.三角形的三邊長(zhǎng)的線(xiàn)性平方和與面積之間的不等式

結(jié)論4x,y,z ＞0，xa2+yb2+zc2≥當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

證明由余弦定理和柯西不等式得xa2+ yb2+zc2= xa2+ yb2+ z(a2+b2-2ab cos C)= (x +z)a2+ (y + z)b2- 2zab cos C ≥2zab cos C =- 2zab cos C =由取等條件(x+z)a2= (y+z)b2和得和不妨設(shè)則得所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

結(jié)論4 給出三角形的三邊長(zhǎng)的線(xiàn)性平方和與面積之間的不等式.由結(jié)論4 可得： 若三角形的三邊長(zhǎng)的線(xiàn)性平方和為定值，則三角形的面積有最大值;若三角形的面積是定值，則三角形的三邊長(zhǎng)的線(xiàn)性平方和有最小值.

推論4若x,y,z ＞0， 且xa2+ yb2+ zc2= l， 則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

下面結(jié)合例題說(shuō)明結(jié)論4 和推論4 在三角形中的應(yīng)用.

例3△ABC 的三邊分別為a,b,c，若a2+b2+2c2=40，求△ABC 面積的最大值?

解析由題可知x=1，y =1，z =2，l =40，由推論4 得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.由a2+b2+2c2= 40 和得此時(shí)△ABC 面積取最大值.

例4△ABC 的三邊分別為a,b,c， 若△ABC 面積為求a2+2b2+3c2的最小值?

解析由題可知由結(jié)論4 得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.由和得此時(shí)a2+2b2+3c2=88，取最小值.

利用以上三角形的邊長(zhǎng)與面積之間的不等式，可以有效解決有關(guān)三角形的三邊長(zhǎng)的和，積，線(xiàn)性和，線(xiàn)性平方和與面積的最值問(wèn)題，為解決此類(lèi)問(wèn)題提供了簡(jiǎn)單快捷的方法.