例析尋求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間端點(diǎn)的思維途徑

廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門高級(jí)中學(xué)(528225) 徐正印

函數(shù)零點(diǎn)問題在近四年高考數(shù)學(xué)的解答題中連續(xù)出現(xiàn).題目設(shè)問方式一般有兩種，一種是根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍;另一種是討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).無論是哪種，都需要借助“零點(diǎn)存在定理”，把問題轉(zhuǎn)化為尋求在某個(gè)單調(diào)區(qū)間的存在兩個(gè)不等的x1、x2，使得它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值異號(hào)，即尋求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間端點(diǎn).通常，函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)容易找到，但另一個(gè)端點(diǎn)卻很難找.官方提供的答案簡直是天外來客，考生感嘆做夢也想不到!

為此，本文以近年高考試題為例，闡述尋求函數(shù)零點(diǎn)存在區(qū)間端點(diǎn)的思維途徑，以幫助讀者突破難點(diǎn).

題型一、求函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)參數(shù)的取值范圍

這類題目一般先討論函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍.限于篇幅，不詳細(xì)討論函數(shù)的單調(diào)性，只研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，特別是如何尋求函數(shù)零點(diǎn)存在區(qū)間端點(diǎn).

例1(2017年新課標(biāo)I 卷理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(I)討論f(x)的單調(diào)性;

(II)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a 的取值范圍.

分析(I)(i)當(dāng)a ≤0 時(shí)，在(-∞,+∞)上，f(x)單調(diào)遞減.

(II)由(I)知： (i)當(dāng)a ≤0 時(shí)，f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減，f(x)最多有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)a ≥1 時(shí)，fmin(x) ≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x = 0 時(shí)等號(hào)成立)，f(x)最多有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，a 的取值范圍為(0,1).

難點(diǎn)突破因?yàn)? ＜a ＜1 時(shí)， f(x) 在上單調(diào)遞增，所以， 證明“當(dāng)0 ＜a ＜1時(shí)， f(x) 在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”的關(guān)鍵就是尋求f(x0) ＞ 0 且考慮到f(x) =aex(ex+1) - 2ex- x， x0可能與有關(guān)， 自然想到檢驗(yàn)而不能確定其值為正值; 于是檢驗(yàn)而就是x0的一個(gè)值.其中是利用不等式x-ln x ＞0.

例2(2016年新課標(biāo)I 卷文科) 已知函數(shù)f(x) =(x-2)ex+a(x-1)2.

(I)討論f(x)的單調(diào)性;

(II)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a 的取值范圍.

分析(I)(1)當(dāng)a ≥0 時(shí)，在(-∞,1)上，f(x)單調(diào)遞減;在(1,+∞)上，f(x)單調(diào)遞增.

(4)當(dāng)a=0 時(shí)，f(x)=(x-2)ex只有一個(gè)零點(diǎn).

(5)當(dāng)a ＞0 時(shí)，在(1,+∞)上，f(x)單調(diào)遞增，f(1) =-e，f(2)=a ＞0，f(x)在(1,+∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

(i)當(dāng)a ≥2 時(shí)， 在(-∞,1)上， f(x)單調(diào)遞減， f(1) =-e，f(0)=-2+a ≥0，f(x)在(-∞,1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，f(x)在(-∞,+∞)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn).

(ii) 當(dāng)0 ＜ a ＜ 2 時(shí)， 在(-∞,1) 上， f(x) 單調(diào)遞減，f(x) 在(-∞,1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，f(x)在(-∞,+∞)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，a 的取值范圍為(0,+∞).

難點(diǎn)突破因?yàn)楫?dāng)a ＞0 時(shí)，f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞減，f(1) ＜0， 所以證明“當(dāng)a ＞0 時(shí)， f(x)在(-∞,1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”的關(guān)鍵就是尋求f(x0) ＞0 且x0＜1.考慮到f(x) = (x-2)ex+a(x-1)2，首先想到檢驗(yàn)f(0)，而f(0) = -2+a， 可見當(dāng)a ≥2 時(shí)， 0 就是x0的一個(gè)值.當(dāng)0 ＜a ＜2 時(shí)，f(0)＜0，可見0 不是x0的值，x0的值應(yīng)該是負(fù)值.考慮到于是想到檢驗(yàn)而

例3(2014年高考山東卷理科第20 題) 函數(shù)f(x) =是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k 為常數(shù)，

(I)當(dāng)k ≤0 時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k 的取值范圍.

分析(I) 當(dāng)k ≤0 時(shí)， 在(0,2) 上， f(x) 單調(diào)遞減; 在(2,+∞)上，f(x)單調(diào)遞增.

(II)(1)由(I)知： 當(dāng)k ≤0 時(shí)，在(0,2)上，f(x)單調(diào)遞減，f(x)沒有極值點(diǎn).

(2)當(dāng)k ＞0 時(shí)，

題型二、討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

這類題目一般要先對(duì)所給的變形(分離常數(shù)或參數(shù))，提取具有單調(diào)性的一個(gè)簡單的函數(shù)，再討論新函數(shù)的的函數(shù)的單調(diào)性，利用新函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

例4(2015年新課標(biāo)I 卷文科第21 題) 設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-a ln x.

(I)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

解(I)f′(x)=

(1)當(dāng)a ≤0 時(shí)，在(0,+∞)上，f′(x) ＞2，f′(x)沒有零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)a ＜0 時(shí)，f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0;當(dāng)a ＞0，f′(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

(II)略.

難點(diǎn)突破因?yàn)楫?dāng)a ＞0 時(shí)，g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，g(a) ＞0，所以證明“當(dāng)a ＞0 時(shí)，g(x)在(0,+∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”的關(guān)鍵就是尋求g(x0)＜0 且0 ＜x0＜a.考慮到自然想到檢驗(yàn)不夠小;想到檢驗(yàn)當(dāng)0 ＜a ≤1 時(shí)，就是x0的一個(gè)值.當(dāng)a ＞1 時(shí)，不能確定其為負(fù)值;不是x0的一個(gè)值.就是x0的一個(gè)值.

例5(2018 新課標(biāo)II 卷文科第21 題) 已知函數(shù)

(I)若a=3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)求證： f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

解(I)略;(II)因?yàn)?/p>

所以

在? 上， g′(x) ＞ 0， g(x) 單調(diào)遞增， g(x) 最多有一個(gè)零點(diǎn).

g(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

難點(diǎn)突破因?yàn)間(x)在? 上單調(diào)遞減，所以證明“g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)”的關(guān)鍵就是尋求g(x1)＞0 且g(x2)＜0，其中x1x2.

自然想到檢驗(yàn) g(3a + 1)， 而 g(3a + 1)=就是x1的一個(gè)值.因?yàn)間(x) 在? 上單調(diào)遞增， 所以x2＜ 3a + 1，自然想到檢驗(yàn)g(3a)， 而不能確定其值為負(fù)值， 說明3a 不夠小， 于是檢驗(yàn)g(3a-1)，而g(3a-1) =就是x2的一個(gè)值.

另外，本題容易誤導(dǎo)考生這樣思考： f′(x)=x2-2axa=(x-a)2-a(a+1)，

(i)當(dāng)a(a+1) ≤0 時(shí)，在? 上，f′(x) ≥0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)最多有一個(gè)零點(diǎn)，問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)在零點(diǎn)區(qū)間的端點(diǎn).

讓考生陷于繁雜的運(yùn)算，欲罷不能!

例6(2018年新課標(biāo)II 卷理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(I)若a=1，求證： 當(dāng)x ≥0 時(shí)，f(x)≥1;

(II)若f(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)，求az.

解(I)略;(II)f(x)=ex設(shè)(x ∈?)， 則f(x) 在(0,+∞) 上只有一個(gè)零點(diǎn)?g(x) 在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn).

(1)當(dāng)a ≤0 時(shí)，g(x)≥1，g(x)在(0,+∞)上沒有零點(diǎn).

由(I) 知： 當(dāng)x ＞0 時(shí)， ex＞x2+ 1， 4a ＞e2＞5，在(2,+∞) 上有且只有一個(gè)零點(diǎn).g(x)在(0,+∞)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn).

難點(diǎn)突破因?yàn)楫?dāng)時(shí)，g(x)在(2,+∞)單調(diào)遞增， g(2) ＜0， 所以證明“當(dāng)時(shí)， g(x)在(2,+∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”的關(guān)鍵是尋求g(x0) ＞0 且x0＞2.說明要找的x0可能與a 有關(guān).考慮到想到檢驗(yàn)g(2a)，而不能確定其值為正值， 2a 不夠大; 又想到檢驗(yàn)g(4a)，4a 就是x0的一個(gè)值.