廣東省中山市民眾中學(xué)(528441)楊良畏

1 背景介紹

數(shù)學(xué)教材關(guān)于多邊形外角及外角和知識(shí),基本上圍繞凸多邊形定義,很少看到有關(guān)凹多邊形外角及外角和定義的內(nèi)容.筆者查閱很多資料,但沒有得到一個(gè)大家公認(rèn)的確切的定義.有不少研究者對(duì)此問題作出研究,如文獻(xiàn)[1]對(duì)凹多邊形外角定義是根據(jù)內(nèi)角是否為凹角和凸角(凹角和凸角定義見文獻(xiàn)[2])來定義.在文獻(xiàn)[3]中,黃燦軍直接對(duì)文獻(xiàn)[1]提出質(zhì)疑,該文認(rèn)為凹多邊形外角定義同凸多邊形外角定義,在計(jì)算時(shí)運(yùn)用了張景中院士《數(shù)學(xué)家的眼光》“方向改變量之和”代替“外角和”思維,得到凹多邊形外角和為360°.在文獻(xiàn)[2][4]中,作者均認(rèn)為凹多邊形外角和大于360°.這些“定義”都有一定的道理,但沒有一個(gè)像多邊形內(nèi)角和那樣完美統(tǒng)一結(jié)論(凹凸n邊形的內(nèi)角和是完美統(tǒng)一結(jié)構(gòu),均為(n-2)×180°.).

筆者曾在文獻(xiàn)[5]中給出多邊形外角和另類定義,得到多邊形第二外角和及多邊形第三外角和.這兩種外角和是針對(duì)凸多邊形進(jìn)行定義.筆者發(fā)現(xiàn)多邊形第三外角和可以推廣到凹多邊形,得到一個(gè)完美且統(tǒng)一的定理.

定理1n邊形第三外角和為(n+2)×180°.

此定理中多邊形指的不僅僅是凸多邊形,且在凹多邊形情況下也成立.筆者在文獻(xiàn)[5]中已經(jīng)闡述了多邊形第三外角和產(chǎn)生的原因,給出凸n邊形第三外角和為(n+2)×180°結(jié)論.若多邊形外角定義依據(jù)文獻(xiàn)[5],并得到讀者認(rèn)同.則定理1 可以改述為:n邊形外角和為(n+2)×180°.這就同內(nèi)角和一樣將多邊形的外角和統(tǒng)一起來,且具有數(shù)學(xué)美感,并易于理解.

2 相關(guān)知識(shí)介紹

為了證明定理1,需作一些準(zhǔn)備工作.

定義1內(nèi)角中至少有一個(gè)大于180°的多邊形稱為凹多邊形.

凹多邊形還可以定義為:如果多邊形的所有邊只要有一條邊向兩方無限延長(zhǎng)成為一直線時(shí),其他邊不在此直線的同旁,那么這個(gè)多邊形就叫做凹多邊形.凹多邊形至少需要四條邊才可以構(gòu)成.如圖1就是一個(gè)凹四邊形.

定義2凹多邊形中大于180°的內(nèi)角,稱為凹多邊形的凹角.小于180°的角稱為凹多邊形的凸角[2].

如圖1,∠3就是凹角,∠1∠2∠4 是凸角.

圖1

筆者在文獻(xiàn)[5]中,將傳統(tǒng)的外角和稱之為外角和第一定義,簡(jiǎn)稱第一外角和.在給出鄰組角概念后,重新定義了(凸)多邊形的外角.

定義3如果兩個(gè)角相加等于360°,并且兩個(gè)角的邊相互重合,那么稱這兩個(gè)角為鄰組角.

定義4多邊形內(nèi)角的鄰組角稱為多邊形的外角.

這個(gè)定義區(qū)別于外角傳統(tǒng)定義,而且在數(shù)量上也是完全不一樣.如圖2,頂點(diǎn)A對(duì)應(yīng)∠1 和∠2 兩個(gè)角,其中∠1 是內(nèi)角,∠2 是筆者定義的外角.

圖2

這里的外角定義很“外角”,完全就是多邊形的外面的角.由圖2可知:五邊形的外角是兩個(gè)傳統(tǒng)的外角加上與其對(duì)應(yīng)的內(nèi)角之和.所以我們得到五邊形的外角和第三定義(簡(jiǎn)稱為第三外角和),五邊形第三外角和為720°+540°=1260°.由此我們可以推出n邊形的第三外角和為(n+2)×180°.這與n邊形的內(nèi)角和為(n-2)×180°有些相似.其實(shí)這種定義可以推廣到凹多邊形中,如圖1中,∠3 的鄰組角∠5 稱為凹多邊形的外角.文獻(xiàn)[1][2]對(duì)凹多邊形中凹角對(duì)應(yīng)的外角定義同于筆者定義,只是兩文作者對(duì)凹多邊形中凸角的外角定義同于凸多邊形外角定義.這種區(qū)別對(duì)待方式有點(diǎn)牽強(qiáng),會(huì)讓讀者有云霧之感.筆者文中外角定義一視同仁,不管凹凸,外角均指其內(nèi)角對(duì)應(yīng)的鄰組角.

文獻(xiàn)[2]給出凹n邊形外角定義,且得到如下兩個(gè)重要命題.

命題1凹n(n≥4)邊形最少有一個(gè)凹角,最多有(n-3)個(gè)凹角.

命題2有q(1 ≤q≤n-3)個(gè)內(nèi)角為凹角的任意凹n(n≥4)邊形的外角和為(q+2)×180°.

3 定理1 的證明

由于凸n邊形第三外角和等于(n+2)×180°顯然成立,本文不再贅述.下面將詳述證明凹n邊形第三外角和等于(n+2)×180°.

證明設(shè)凹n(n≥4)邊形有q(1 ≤q≤n-3)個(gè)內(nèi)角為凹角,則有(n-q)個(gè)凸角.因?yàn)槲墨I(xiàn)[2] 中凸角對(duì)應(yīng)外角的定義與多邊形第三外角定義相差180°.故(n-q)個(gè)凸角相差(n-q)×180°.由命題2 知有q(1 ≤q≤n-3)個(gè)內(nèi)角為凹角的任意凹n(n≥4)邊形的第三外角和為:(q+2)×180°+(n-q)×180°.化簡(jiǎn)后得:(n+2)×180°.證畢.

也就是說凹n(n≥4)邊形第三外角和等于(n+2)×180°.它與凹角的個(gè)數(shù)無關(guān),僅與多邊形的邊數(shù)有關(guān).從而得到:n邊形第三外角和為(n+2)×180°.

4 小結(jié)

由此,不難發(fā)現(xiàn)筆者另類定義的多邊形第三外角不僅適用于凸多邊形,而且對(duì)凹多邊形也適用.它的優(yōu)越性體現(xiàn)在兩點(diǎn).一是突出幾何直觀視覺,且具有穩(wěn)定性,不會(huì)因凹凸變化而變化定義.二是具有統(tǒng)一性,它將凹凸多邊形外角和統(tǒng)一為(n+2)×180°.這與凹凸多邊形內(nèi)角和(n-2)×180°相對(duì)應(yīng),具有數(shù)學(xué)美感!