廣東省佛山市南海區(qū)西樵高級中學(xué)(528211)陳國毫

三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容之一,呈現(xiàn)出與其他基本初等函數(shù)不一樣的特征,其中最能體現(xiàn)三角函數(shù)的顯著特性——周期性.在高中數(shù)學(xué)課程中,三角函數(shù)、三角恒等變形與解三角形是相對獨立的三個部分:三角函數(shù)首先是幾何的,其次是函數(shù)的,還是運算的(三角恒等變換)[1].原因是銳角三角函數(shù)是為研究各種幾何量之間關(guān)系而發(fā)展起來的,是解決三角形問題的工具;而任意角三角函數(shù)不僅僅局限于此,它是最本質(zhì)、最給力的周期函數(shù),是為了研究周期現(xiàn)象而發(fā)展起來的,是研究現(xiàn)實世界中周期變化現(xiàn)象最典型的函數(shù)模型;而三角恒等變換是三角函數(shù)的延伸,更準(zhǔn)確地說是同角三角函數(shù)關(guān)系式深化而來,事實上,三角問題中遇到的更多是不同角、不同名之間的關(guān)系,如何將不同角、不同名變換為同角、同名是三角函數(shù)需要繼續(xù)研究的課題,因此三角恒等變換順勢而生,其既是實際情況所需,也是完善知識系統(tǒng)的必然[2].課標(biāo)全國卷也非常注重對三角函數(shù)內(nèi)容(三角函數(shù)概念的三種表征、圖象與性質(zhì)、三角恒等變換、解三角形)的研究,并且在研究的過程中體現(xiàn)對數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的考查.限于篇幅,本文只研究三角恒等變換.以下結(jié)合一道高考題,談?wù)剛€人的思考.

1 原題展示

例1(2016年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國I 卷文科第14 題)已知θ是第四象限角,且則

2 題目分析

本題以三角函數(shù)為載體,考查學(xué)生對三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、恒等變形及一般角的概念的掌握情況和運用的熟練程度.以下從5 個小方面加強對問題的進一步認(rèn)識:

(1)試卷位置:該題處于填空題第二題的位置,難度不大;

(2)問題形式:題干給出一個角與定角的和的正弦值,并結(jié)合該角是第四象限,理論上這個角就確定,即為已知角,根據(jù)三角函數(shù)與恒等變換的基本公式,理論上可以求出這個角與任意給定角的三角函數(shù)值;

(3)核心思想:注重了對三角函數(shù)背景下轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查;

(4)思路呈現(xiàn):從已知角的函數(shù)值出發(fā),求出未知角的函數(shù)值,或者建立已知角與未知角之間的關(guān)系,也可以建立目標(biāo)函數(shù)值與已知函數(shù)值的關(guān)系,實現(xiàn)“弦化切”或者“切化弦”;

(5)解題方法:基于對三角函數(shù)首先是幾何的,其次是函數(shù)的,還是運算的(三角恒等變換)這種認(rèn)識,立足上述解題思路的呈現(xiàn),將選擇從不同的角度切入,運用不同的方法進行求解.

3 解法剖析

(1)方程的思想

從已知角的函數(shù)值出發(fā),求出未知角的函數(shù)值,通過解方程,實現(xiàn)“弦化切”.

(2)齊次式構(gòu)造tanθ

通過對三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)特征進行分析,構(gòu)造tanθ,實現(xiàn)“弦化切”.

由(sinθ+cosθ)2=得則即上下同時除以cos2θ,可得解得或tanθ=-7,因為θ是第四象限角,則sinθ ＜0,cosθ ＞0,又sinθ+cosθ ＞0,故cosθ ＞|sinθ|,故0,故則

(3)輔助角公式

關(guān)注目標(biāo)函數(shù)值與已知函數(shù)值之間的關(guān)系,建立未知與已知的關(guān)系,實現(xiàn)“切化弦”.

(4)構(gòu)造對偶式[3]

通過構(gòu)造三角函數(shù)式的對偶式,運用方程的思想進行求解,達到簡化運算的目的,實現(xiàn)“弦化切”.

設(shè)sinθ -cosθ=m,由θ是第四象限角,則m ＜0,聯(lián)立兩式平方并相加可得則故解得故則

(5)三角函數(shù)的定義

設(shè)θ角終邊上任意一點P(x,y),|OP|=r(r ＞0),則由可得得即7x2+ 50xy+ 7y2= 0,得x=-7y,或x=即或tanθ==-7.因為θ是第四象限角,則sinθ ＜0,cosθ ＞0,又sinθ+cosθ ＞0,故cosθ ＞|sinθ|,故-1=tanθ ＜0,故tanθ=則

(6)等差中項的性質(zhì)

因為cosθ ＞0,可設(shè)公差d ＞0,則sinθ=由sin2θ+cos2θ= 1,得= 1,解得d=由d ＞0,可得則sinθ=-cosθ=,故tanθ=則

(7)數(shù)形結(jié)合

從解析幾何的觀點看題目的已知與未知條件,通過轉(zhuǎn)化代數(shù)式,使其賦予幾何意義,利用解析幾何的知識工具進行求解.

圖1

由sinθ+ cosθ=設(shè)sinθ=y,cosθ=x,則x+y=則問直線l:與圓O:x2+y2=1的交于A,B兩點.由于θ在第四象限,故θ= ∠DOB.點O到直線l的距離為:而OB= 1,則在R t△OHE中,HE=故tan ∠HOB=又因為kl=-1,則∠HOD= 45°,則tanθ= tan(∠HOB -∠HOD)=tan因為θ在第四象限,故則tan

(8)配湊角

法一由sinθ在第四象限,則在第一象限,則則,故則

法 二由θ在第四象限,則在第一象限,則由則故

這里,我們對配湊角的方法作如下思考:

①如何想到用配湊角的方法

題干給出一個角θ與定角的和的正弦值,并結(jié)合θ是第四象限,理論上θ這個角就確定,即為已知角,當(dāng)然也確定.這時就可以建立這四個角的關(guān)系.

②如何進行配湊角

(i)局部配湊角

局部配湊角,是針對已知角與未知角進行的一種配湊,不將目標(biāo)函數(shù)的角進行整體處理,而是局部運算.方法一是基于已知角的函數(shù)值,求出未知角θ的函數(shù)值,采用局部配湊,建立這三個角的關(guān)系,即通過得出θ=進而得到

(ii)整體配湊角

整體配湊角,是針對已知角與目標(biāo)函數(shù)的整體未知角進行的一種配湊,直接建立兩者的關(guān)系,一步到位.方法二的出發(fā)點是直接溝通采用整體配湊,建立已知角與未知角之間的關(guān)系,.兩角盡管沒有體現(xiàn)互余或者互補的關(guān)系,但兩者相差也非常有利于借助誘導(dǎo)公式進行運算,即進而得到

③配湊角后想達到什么效果

事實上,通過局部的配湊角,或者通過整體的配湊角,都是為了進一步顯化未知與已知的關(guān)系,當(dāng)未知與已知的關(guān)系式變得更加清晰,那么對整個問題的處理將更加明朗,都有利于降低整體的運算量,使得運算的過程更加簡單簡潔.

④配湊角的實際操作

從上述的解法與分析,配湊角的方法帶來了以“整體→局部→整體”或者“整體→整體”的眼光看待未知與已知的關(guān)系,對學(xué)生分析問題的能力以及如何處理好整體與局部、整體與整體的關(guān)系的能力有了進一步的提升,對學(xué)生的思維水平有一定的提高.另一方面,盡管未知與已知的關(guān)系顯化,但是在實際教學(xué)中,學(xué)生對該配湊角的方法掌握得不扎實,一是缺乏對已知角與未知角的關(guān)系的敏銳判斷,二是盡管運算的過程相對簡潔,但是兩個整體角的關(guān)系表現(xiàn)形式的相對復(fù)雜性使得學(xué)生在心理上產(chǎn)生了一定的畏懼,運算過程不盡人意.筆者也反復(fù)思考,在立足配湊角的方法的基礎(chǔ)上,如何更好地對配湊角有更好的認(rèn)識?

⑤配湊角的本質(zhì)

經(jīng)驗表明,通過配湊角整體處理角,涉及的兩角往往互余、互補,或者相差某個特殊角或者是一個倍數(shù)關(guān)系;從函數(shù)的角度,研究的兩個角實際上具有簡單的線性關(guān)系,也就是說即使兩個角的表現(xiàn)形式可能稍微有些復(fù)雜(可能帶有倍數(shù)或者輔助角),但都可以通過線性關(guān)系表示兩者,即為一次函數(shù)的關(guān)系式.因此,筆者認(rèn)為,配湊角的本質(zhì),實際上就是換元法,通過換元,不僅依舊可以保持兩個角的內(nèi)在聯(lián)系,而且在形式的呈現(xiàn)上顯得更加簡潔明了.

以下采用換元法處理該問題:

(9)換元法

4 背景探源

在對上述問題的解決的過程中,我們經(jīng)歷了從方程、函數(shù)、數(shù)列、幾何等多個方面對問題進行了思考,并強調(diào)、重視了通性通法,回應(yīng)了三角函數(shù)既是幾何的,也是函數(shù)的,還是運算的觀點,充分體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想.對于該題,盡管解法豐富多彩,通俗易懂,但筆者意猶未盡,下面繼續(xù)探尋其三角函數(shù)式結(jié)構(gòu),挖掘問題的本質(zhì).

(1)兩角和差三角函數(shù)的結(jié)構(gòu)對比與分析

為了描述方便,采用其中一種結(jié)構(gòu):兩角和的三角函數(shù)結(jié)構(gòu),即sin(α+β),cos(α+β),tan(α+β),并定義α為主元,β為輔助角.在教學(xué)中,在眾多的高考題或者地方模擬題中,輔助角β常常以的形式出現(xiàn),比較少采用其他特殊角,如或者等等.即三角函數(shù)式為這三種函數(shù)模型居多,其用意為何? 筆者認(rèn)為有以下2 點原因:

①數(shù)學(xué)的美

由sin可得從三角函數(shù)式的表現(xiàn)形式上看,式子結(jié)構(gòu)顯得更加和諧、簡潔、體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的美;

②方程的美

從方程的角度,(i)與(ii)的未知數(shù)有2 個,而(iii)式的未知數(shù)只有1 個.

若實現(xiàn)由單角到單角的方程運算,顯然(iii)式在運算的操作性上更有優(yōu)勢,即通過(iii)式可得tanα →sinα=k·cosα,結(jié)合sin2α+cos2α=1,聯(lián)立方程組即可求解其他單角三角函數(shù)值;而(i)與(ii)的未知數(shù)有2 個,所以更多情況下得到tanα →sinα=k·cosα+m(k=±1,m ∈R),其與sin2α+cos2α=1 構(gòu)成的方程組在運算求解上會稍微有點困難;因此(iii)式在進行單角到單角的方程運算中有較大的優(yōu)勢,具有較好的操作性和可行性;

若實現(xiàn)由單角到倍角的方程運算,則(i)與(ii)式更顯優(yōu)勢,由(sinα±cosα)2= 1±sin 2α,即通過兩邊平方實現(xiàn)單角轉(zhuǎn)化為倍角,而且可喜的是轉(zhuǎn)化后的方程就只有一個未知數(shù)sin 2α,這對解方程無疑是最好的表達方式,從而可求解其他倍角三角函數(shù)值,即經(jīng)歷(sinα±cosα)2→sin 2α/cos 2α/tan 2α;若是通過(iii)式進行單角到倍角運算,則需要經(jīng)歷tanα →sinα →cosα →sin 2α/cos 2α/tan 2α的思維過程與運算過程.

限于篇幅,以下各出幾個題目供大家思考:

2、(2013 全國理2卷15題)設(shè)θ為第二象限角,若則sinθ+cosθ=____.

3、(2013全國文2卷6題)已 知sin 2α=則

4、(2012全國理2卷7題)已 知α為第二象限角,sinα+cosα=則cos 2α=( )

A.B.C.D.

5、(2017全國文3卷4題)已知sinα-cosα=則sin 2α=( )

A.B.C.D.

(2)運用上述“方程的美”重新審視例1

(3)揭示本質(zhì)

三角函數(shù)首先是幾何的,其次是函數(shù)的,還是運算的(三角恒等變換).依舊立足于對三角函數(shù)多層次觀點,回歸到最原始的位置,從幾何的角度欣賞該題,如圖所示,可以發(fā)現(xiàn)表示直線OA的斜率,即表示直線OB的斜率,即由于OA⊥OB,根據(jù)解析幾何的知識,有kOA·kOB=-1,即故

圖2

(4)命題思路

通過對結(jié)構(gòu)的分析以及本質(zhì)的認(rèn)識,對于例1,即2016年高考數(shù)學(xué)全國I 卷文科第14 題,該題的命制背景是解析幾何的直線位置關(guān)系的問題,本質(zhì)上是斜率存在兩條直線互相垂直,斜率之積為-1,通過三角函數(shù)的解析表征作為載體,命制了該問題,具體的思路應(yīng)是要求只需給出的值即可,而為了進一步考查考生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)以及突出函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想,命題者給出的是時,能夠有不同的切入口,不同的方法來解決該問題.

(5)幾何式子三角函數(shù)化

斜率存在的兩條直線互相垂直,斜率之積為-1,其三角函數(shù)的展現(xiàn)形式為的值,這樣便讓考生面對或者如在正切值存在的情況下,有:基于此結(jié)論可以構(gòu)造、命制很多三角恒等變換問題.

5 橫向聯(lián)系

以下給出類似的三角恒等變換問題,進一步探索挖掘其中的關(guān)系.

例2(2013年高考數(shù)學(xué)浙江卷理科第6 題)已知α ∈R,sinα+2 cosα=則tan 2α=( )

對于該題目的解法,可用上述介紹的方法進行求解,這里不一一展開.為了研究接下來的問題,這里直接簡單地給出的求解過程:由sinα+ 2 cosα=結(jié)合sin2α+ cos2α= 1,可 解 得tanα=或tanα= 3,則當(dāng)時,代入運算可得當(dāng)tanα= 3 時,代入運算可得于是

(1)疑惑產(chǎn)生

在求解本題目時,當(dāng)?shù)贸鰐anα的取值有兩個的時候,結(jié)合選項的答案唯一,不自覺產(chǎn)生一個想法:兩個tanα的值應(yīng)該要舍去一個,檢驗了題目的條件,才發(fā)現(xiàn)α ∈R,不能對tanα進行舍棄,即兩個都符合題意,而通過代入求解運算tan 2α,最終的答案居然一致.筆者對此很好奇,為什么不一樣的答案代入后,會有相同的結(jié)果? 根據(jù)經(jīng)驗,很多時候不同的答案代入,最終的結(jié)果是不同的.于是產(chǎn)生這樣的問題,當(dāng)tanα的兩個值滿足什么的條件,tan 2α的值唯一?

(2)回歸教材

本著高考立足教材的理念,筆者回歸教材,試圖在教材尋找關(guān)于tanα與tan 2α的單獨的求值運算.翻閱必修四第三章《三角恒等變換》的全部內(nèi)容,沒有找到直接以“已知tanα,求解tan 2α”的形式呈現(xiàn)的例題或者課后練習(xí)題.倒是在教材第3.1.3 節(jié)《二倍角的正弦、余弦、正切》的課后練習(xí)第135頁發(fā)現(xiàn)了第4 題:

例3(教材必修4 第135頁練習(xí)第4 題)已知求tanα的值[4].

盡管不是要尋找的“已知tanα,求解tan 2α”的形式,但是跟問題很接近了.再細想,這就是筆者要尋找的答案“tan 2α的值唯一,tanα滿足什么條件”.由二倍角公式得解 得或tanα=-3-也就是說,tanα=-3 +或tanα=-3-也能使得tan 2α的值唯一.

(3)問題與猜想

為了研究方便,將上述兩個問題提取,歸納出問題:

①若tanα=或tanα= 3,則tan 2α=是唯一值;

② 若tanα=-3 +或tanα=-3-則也是唯一值.

問題:若tanα1與tanα2滿足什么條件,則tan 2α唯一? 通過對兩個tanα重新進行四則運算的嘗試,有以下規(guī)律:兩個tanα值相乘都滿足:于是猜測:若tanα1·tanα2=-1,則tan 2α的值唯一.

(4)挖掘本質(zhì)

圖3

在經(jīng)歷了例1 的背景與本質(zhì):斜率存在的兩條直線互相垂直,斜率之積為-1.筆者決定從解析幾何的角度,對問題進行探究.設(shè)直線OA的斜率為klOA= tanα1,直線OB的斜率為klOB=tanα2,由于tanα1·tanα2=-1,故直線OA⊥OB,即對于tan 2α,如圖,2α= 2α1= ∠A′Ox,或者2α=2α2=∠B′Ox,則tan 2α=kOA′或tan 2α=kOB′,由于故2α1+2α2= 2(α1+α2)=π,說明∠A′OB′=π,即A′,O,B′三點共線.故2α的終邊OA′、OB′落在同一直線A′B′上,由于直線A′B′的斜率唯一,故tan 2α的唯一.由此可見,例2,例3 的本質(zhì)也是斜率存在的兩條直線互相垂直,斜率之積為-1.

以上便是筆者關(guān)于三角恒等變換的一些思考,題目立足教材、來源高考,從考查的要求,命題者希望強調(diào)通性通法,突出轉(zhuǎn)化與化歸的思想;從教育工作者的角度,應(yīng)該站在不一樣的觀點來重新認(rèn)識、審視這些司空見慣的問題.“尋常一樣窗前月,才有梅花便不同”,三角函數(shù)是幾何的,其次是函數(shù)的,還是運算的(三角恒等變換),有了這樣的觀點指導(dǎo),平平常常的東西也能品出不一樣的芬芳;有了新的角度,問題的聯(lián)系,知識系統(tǒng)的形成才會更加完善.