【摘? ?要】分?jǐn)?shù)有“份數(shù)”“商”“度量”“比”以及“算子”等不同的意義，在“份數(shù)”的意義中，也存在不同層次的理解，學(xué)生在初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，建立的是連續(xù)量上的形狀、大小完全一樣的“平均”概念;在再認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，需要理解抽象的數(shù)量一樣意義上的“平均”。讓學(xué)生從意義理解的角度來認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，在教學(xué)中要有不同的層次，在分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)中，需要考慮學(xué)生對(duì)“平均”的理解的過渡，也要注意讓學(xué)生能以靈活的眼光重新看待“1份”。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)的意義;分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí);份數(shù);平均

分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，理解分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)是小學(xué)生數(shù)概念發(fā)展的重要里程碑，分?jǐn)?shù)的內(nèi)容通常也被認(rèn)為是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。[1]在我國(guó)多個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，學(xué)生通常在三年級(jí)開始學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)。以人教版教材為例，三年級(jí)上冊(cè)第8單元為“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”，其中有三個(gè)主要內(nèi)容，一是“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”，二是“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算”，三是“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”。[2]在“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”中，有一個(gè)問題容易忽視，學(xué)生卻可能存在一些困惑。

如圖1，將6個(gè)蘋果像圖中這樣圈起來，分成三份以后，明顯每份蘋果所在區(qū)域面積不一樣，為什么也是“平均分成”？為什么也可以用[13]或者[23]表示？更進(jìn)一步，如果蘋果的大小也不一樣，是否仍然可以用分?jǐn)?shù)表示呢？如教材下一頁(yè)中，“有12個(gè)學(xué)生，其中[13]是女生，[23]是男生。男女生各多少人？”很明顯，男生和女生不一樣，而且每個(gè)學(xué)生都不一樣，為什么還可以用[13]和[23]來表示？

因?yàn)檫@里用分?jǐn)?shù)表示，需要以“平均分”為前提。在這種情況下，“平均”體現(xiàn)在哪里呢？另一方面，學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)，又該如何“再認(rèn)識(shí)”呢？教師應(yīng)該對(duì)與此相關(guān)的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行梳理，進(jìn)而可以對(duì)教學(xué)進(jìn)行進(jìn)一步的思考。

一、分?jǐn)?shù)有哪些不同的意義

一般認(rèn)為，分?jǐn)?shù)是在實(shí)際度量和物品均分中產(chǎn)生的。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)。[3]這也是《辭?！分袑?duì)分?jǐn)?shù)的定義。但事實(shí)上，這應(yīng)當(dāng)只是分?jǐn)?shù)的其中一種定義。比如，張奠宙就指出可以考慮對(duì)分?jǐn)?shù)的定義進(jìn)行更多思考，[4]認(rèn)為應(yīng)該從“份數(shù)”“比”“商”“公理化”這4個(gè)不同層次來定義分?jǐn)?shù)，并進(jìn)一步明確指出，“分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義可以作為起點(diǎn)，但是，不宜過分強(qiáng)調(diào)，應(yīng)該迅速向更抽象的分?jǐn)?shù)定義轉(zhuǎn)移?！盵5]史寧中也強(qiáng)調(diào)了分?jǐn)?shù)作為數(shù)的意義的重要性，“人們通常稱形如[ab]的數(shù)為分?jǐn)?shù)，稱其中的a為分子、b為分母，在一般情況下，要求分子和分母都是正整數(shù)?！盵6]也有將分?jǐn)?shù)定義為數(shù)軸上的點(diǎn)，“固定一個(gè)自然數(shù)n>0，將單位線段[0，1]分為n個(gè)相等的部分，那么[1n]表示0右邊第一個(gè)分點(diǎn)。[7]1

早在1982年Kieren就提出分?jǐn)?shù)有五種不同層面的意義，即份數(shù)（部分與整體的關(guān)系）、商、度量、比以及算子（operator）。[8]

（1）份數(shù)。分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生需要有一個(gè)前提，即對(duì)整體進(jìn)行平均分。因此“份數(shù)”的定義與平均分這一實(shí)際操作有直接的聯(lián)系。分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義由于能夠簡(jiǎn)便地給學(xué)生提供具體的分實(shí)物的操作，因此經(jīng)常被作為分?jǐn)?shù)引入時(shí)所用的定義。

（2）商。事實(shí)上，分?jǐn)?shù)的真正來源在于數(shù)系的擴(kuò)張。分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義是基于現(xiàn)實(shí)情境與現(xiàn)實(shí)操作的方法，但分?jǐn)?shù)還需要有純數(shù)學(xué)上的定義，就是指使兩個(gè)整數(shù)相除的商。

（3）度量。與整數(shù)一樣，分?jǐn)?shù)也是可以“數(shù)”出來的。以[23]為例，它是指“在數(shù)線上，表示到0點(diǎn)的距離有2個(gè)[13]單位的數(shù)”。但由于分?jǐn)?shù)跟整數(shù)不一樣，可以用來“數(shù)”的計(jì)數(shù)單位不是直觀可見的，這對(duì)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)造成了一定的困難。

（4）比。分?jǐn)?shù)還可以表示兩個(gè)整數(shù)的比值。這也是分?jǐn)?shù)作為有理數(shù)的本質(zhì)，同樣大小的分?jǐn)?shù)可以有不同的表示方法，也就是“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)2”，這也是分?jǐn)?shù)能進(jìn)行各種運(yùn)算的基本前提。

（5）算子。分?jǐn)?shù)“算子”的意義通常與分?jǐn)?shù)的乘法與除法相關(guān)，是指在某些情境的乘除法中，分?jǐn)?shù)表示的是一種運(yùn)算關(guān)系。如“女生有6位，男生的數(shù)量是女生的[23]，問有多少位男生”這一題目中，我們可以列出乘法算式6×[23]。根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，這道題的計(jì)算方法應(yīng)該是6÷3×2。所以，這里的[23]是一個(gè)算子，表示的是“÷3×2”這樣一種運(yùn)算關(guān)系。

二、“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”要認(rèn)識(shí)什么

分?jǐn)?shù)有多種不同的意義，學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)意義的理解是有不同階段和層次的。學(xué)生一般在三年級(jí)時(shí)最早學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，采用的都是份數(shù)的定義，關(guān)鍵詞中除了“平均分”，“其中的一份”或“每人分得”之外，還有一個(gè)詞很重要，就是“它的”“這個(gè)蘋果的”，也就是說，強(qiáng)調(diào)的是一種關(guān)系。

在初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)之后，各版本教材都安排了學(xué)生再次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的內(nèi)容，不過年級(jí)不同。比如，人教版教材中，在三年級(jí)“初步認(rèn)識(shí)”和“簡(jiǎn)單計(jì)算”后面的“簡(jiǎn)單應(yīng)用”，就需要學(xué)生再次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。在這里，強(qiáng)調(diào)的還是“平均分成幾份，取其中的1份”，仍然還是份數(shù)的意義。那么，在這里需要“再認(rèn)識(shí)”什么呢？

（一）怎么再認(rèn)識(shí)“平均”

首先需要明確的是，這里的分?jǐn)?shù)也是平均分出來的，而“平均”一定包含了“一樣”的意思。只是，“一樣”在什么地方，學(xué)生如何理解“平均”，值得深入思考。

如圖2所示，將一個(gè)正方形“平均”分成4份，這里可以很明顯看出，分出來的這4個(gè)小正方形形狀和大小完全一樣，這里的“一樣”是直接可以看到的。而學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)時(shí)，就是以這樣的“一樣”去理解“平均”的，所分得的部分需要在形狀和面積上都一樣，才是平均，才可以用分?jǐn)?shù)表示。當(dāng)學(xué)生看到圖1，都能知道2個(gè)蘋果應(yīng)該用[13]表示，并且說這里的蘋果平均分成3份，取了其中的1份。然而，圖1中的6個(gè)蘋果的確分成了3份，但這里分得的三個(gè)區(qū)域形狀、大小并不一樣，為什么會(huì)是“平均”呢？

當(dāng)筆者進(jìn)一步問圖1中到底有沒有平均分時(shí)，學(xué)生的回答出現(xiàn)了不同的層次，多數(shù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這里的區(qū)域其實(shí)并沒有平均劃分。如果進(jìn)一步追問這里是否還能用[13]表示的時(shí)候，絕大多數(shù)學(xué)生的第一反應(yīng)都是不能。只有少數(shù)學(xué)生感到困惑，進(jìn)入深度思考。之后有學(xué)生認(rèn)為這里畫的只是示意圖，看起來好像不一樣，其實(shí)是一樣的，并嘗試重新去畫每一塊區(qū)域，想使它們變得一樣大。只有個(gè)別學(xué)生能夠說出，這里是指對(duì)蘋果的數(shù)量平均分，跟劃分區(qū)域沒有關(guān)系?？梢钥闯觯瑢W(xué)生有以下不同層次的理解：第一層次，認(rèn)為分出來的圖形的大小和形狀必須完全一樣，才是平均分;第二層次，認(rèn)為分出來的圖形的大小必須一樣，形狀可以不同;第三層次，認(rèn)為這里的平均是指蘋果的數(shù)量，跟所劃分的區(qū)域沒有關(guān)系。事實(shí)上，學(xué)生還有更高的層次，比如蘋果的大小可以不一樣，甚至還可以將其中一些蘋果換成其他水果。

在學(xué)生最初接觸分?jǐn)?shù)的時(shí)候，是以份數(shù)意義來理解分?jǐn)?shù)的。但在這個(gè)意義上，對(duì)于“平均”是有不同的理解的。比如，在臺(tái)灣的分?jǐn)?shù)教材中，對(duì)具體情境中的量作了連續(xù)量與離散量的區(qū)分。在連續(xù)量情境中的整體量強(qiáng)調(diào)要等分或平分，也就是大小要一樣，但形狀不一定要相同。但是，在生活中到處是離散量情境，離散量在乎的是它的個(gè)數(shù)而不是屬性（如大小、形狀等）。[9]

（二）該怎么再認(rèn)識(shí)“1份”

在“再認(rèn)識(shí)”分?jǐn)?shù)時(shí)，還有一個(gè)重點(diǎn)，就是把“1個(gè)東西”（圖2的大正方形）平均分過渡到把“1個(gè)整體”（圖1的6個(gè)蘋果）平均分。相應(yīng)地，分出來的1份也從1個(gè)對(duì)象（圖2中的1個(gè)小正方形）到多個(gè)對(duì)象（如圖1中的2個(gè)蘋果）。因此，需要“再認(rèn)識(shí)”1份，或者說，學(xué)生要學(xué)會(huì)用不同的眼光來看待“份”。

如圖3，一般都非常強(qiáng)調(diào)平均分成3份，圈出來的部分是2份，所以這里應(yīng)該是[23]。這樣的強(qiáng)調(diào)當(dāng)然是必要的，學(xué)生需要認(rèn)識(shí)到多個(gè)對(duì)象也可以是1份。但如果只是過于強(qiáng)調(diào)這個(gè)圖是分成了3份，恐怕會(huì)有另一個(gè)問題。比如在這節(jié)課上，筆者問過很多學(xué)生，這里圈出的部分能用[69]表示嗎？均回答說不可以，說這里明明只分成了3份，怎么會(huì)有[69]。也就是說，如果只能看到這是3份里的2份，而看不到9個(gè)里的6個(gè)，對(duì)于學(xué)生再次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)而言，恐怕也不是理想的狀況。

因此，這里需要讓學(xué)生用靈活的眼光看到不同的部分與整體之間的關(guān)系，也就是能以不同的方式看待1份。當(dāng)然，這里不是要教分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，而是要幫助學(xué)生理解，這里用[23]或[69]表示都是有意義的。比如像下面這樣的任務(wù)就很好。給出8只襪子，圈出其中的2只，那么可以用[28]表示，因?yàn)檫@是8只里的2只;而如果把每2只襪子疊在一起，同樣是圈出來的這2只襪子，也可以用[14]表示，因?yàn)檫@也是4雙襪子里的1雙。這樣的活動(dòng)當(dāng)然還可以很多，比如15瓶酸奶里的5瓶，是[515];每5瓶裝成1盒以后，就是3盒里的1盒。

三、兩點(diǎn)教學(xué)建議

第一，讓學(xué)生從意義理解的角度來認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)之所以成為學(xué)生學(xué)習(xí)的“難點(diǎn)”，其原因是多方面的。但歸根結(jié)底，困難主要是由于對(duì)分?jǐn)?shù)意義沒有理解或者理解得不全面。比如，學(xué)生發(fā)現(xiàn)以[14]為單位，一直往上數(shù)，這樣可以數(shù)到[54]，這是分?jǐn)?shù)的“度量”意義。然而，雖然他們能接受[54]這種形式的分?jǐn)?shù)，但讓他們進(jìn)一步說明意義時(shí)，有學(xué)生還是說把一個(gè)東西平均分成4份，取其中的5份，但隨即又發(fā)現(xiàn)，4份里不可能取到5份，于是對(duì)[54]的意義非常困惑。

此外，研究表明，我國(guó)學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)運(yùn)算能夠熟練計(jì)算，可是對(duì)于“運(yùn)算”的理解，卻存在一定的缺陷。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)到的多是操作性的活動(dòng)，而不是深刻的理解。[10]因此，在小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)中，應(yīng)注意幫助學(xué)生從以上多個(gè)不同方面去理解分?jǐn)?shù)的意義，并努力實(shí)現(xiàn)這些方面的必要互補(bǔ)與適當(dāng)整合，只有在多種意義的理解上的教學(xué)才可能幫助學(xué)生真正理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，也才可能真正掌握分?jǐn)?shù)各種復(fù)雜的運(yùn)算。[11]

第二，為了更好地幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義，在教學(xué)中要有不同的層次。要從分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)、分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)、分?jǐn)?shù)的意義以及分?jǐn)?shù)的應(yīng)用等不同層次幫助學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)，并關(guān)注學(xué)生理解分?jǐn)?shù)意義的困難所在。譬如，同樣是份數(shù)的意義，學(xué)生的理解也有不同的層次。學(xué)生在初步認(rèn)識(shí)中建立的那種對(duì)連續(xù)量的形狀、大小完全一樣的平均概念，并不一定能自然過渡到對(duì)抽象出來的數(shù)量一樣這個(gè)意義上的平均的理解。因此，在分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)中，需要考慮學(xué)生對(duì)“平均”的理解的過渡，也要注意讓學(xué)生能以靈活的眼光重新看待“1份”。除此之外，在后續(xù)階段的學(xué)習(xí)中，還需結(jié)合具體的情境和數(shù)量讓學(xué)生更進(jìn)一步理解作為份數(shù)意義的分?jǐn)?shù)的相對(duì)關(guān)系。

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