柴曉鳳，劉軍,，賴晴鷹，孟令云，丁文亮，徐亞之

(1.北京交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，北京，100044；2.北京交通大學(xué) 軌道交通控制與安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京，100044；3.中車唐山機(jī)車車輛有限公司，河北 唐山，064000)

《“十三五”國家科技創(chuàng)新規(guī)劃》[1]中強(qiáng)調(diào)要加強(qiáng)中速磁浮的關(guān)鍵技術(shù)與設(shè)備研發(fā)。時(shí)速為200 km/h的中速磁浮列車作為一種新型交通方式將在我國大城市群的城際和市郊大容量、高密度通勤交通中有重要地位。通過優(yōu)化列車運(yùn)行速度曲線，即滿足一定約束條件下，在目標(biāo)運(yùn)行時(shí)間內(nèi)完成運(yùn)輸距離且尋找能耗最小化的速度曲線[2-3]，對于降低中速磁浮運(yùn)行能耗具有重要作用。目前，既有輪軌列車運(yùn)行能耗的研究主要集中于列車速度曲線的節(jié)能優(yōu)化。ICHIKAWA[4]采用最優(yōu)控制理論對列車速度曲線問題進(jìn)行了研究。MILROY等[5]建立了最小化牽引能耗的速度曲線優(yōu)化模型，提出最優(yōu)速度曲線只運(yùn)用于“最大牽引、惰行、最大制動(dòng)”3 種有限運(yùn)行工況；ASNIS等[6]采用Dubovitskii-Milyutin最大值原理證明列車最優(yōu)速度曲線是由“最大牽引、巡航、惰行、最大制動(dòng)”4種運(yùn)行工況組成。之后，HOWLETT等[7-9]在分析列車節(jié)能運(yùn)行工況、工況轉(zhuǎn)換序列以及工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)時(shí)，提出采用非線性方法求解工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)，從而構(gòu)成求解列車節(jié)能速度曲線的基本方法。宿帥[10]結(jié)合城軌列車牽引效率特性建立節(jié)能速度曲線優(yōu)化模型，基于能耗提出工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)的求解和優(yōu)化方法，其優(yōu)化目標(biāo)是節(jié)時(shí)、節(jié)能，但較少考慮制動(dòng)能量的消耗，且缺乏乘客舒適度約束。目前，針對磁浮列車運(yùn)行能耗研究中，因磁浮區(qū)間有限，研究成果較少。崔杰[11]采用計(jì)算機(jī)仿真繪制了中低速磁浮列車在快速、舒適、經(jīng)濟(jì)等不同運(yùn)行策略下的速度曲線，卻未考慮輔助停車區(qū)的影響。楊柯[12]在線路限速、輔助停車區(qū)影響、乘客舒適度約束等條件下，通過設(shè)計(jì)磁浮仿真平臺(tái)生成最優(yōu)速度曲線，但其仿真方法較為耗時(shí)。楊光[13-14]采用在最短時(shí)間速度曲線的基礎(chǔ)上確定惰行切換點(diǎn)的方式優(yōu)化高速磁浮列車的速度曲線，但線路選擇的是單一限速、無坡度的運(yùn)行區(qū)段，不適用于線路限速變化頻繁的區(qū)段。與輪軌鐵路列車相比，磁浮列車加減速能力強(qiáng)、時(shí)間短，對乘客舒適度影響較大，且磁浮線路中輔助停車區(qū)的設(shè)置使列車運(yùn)行速度需滿足雙限速度防護(hù)約束，故現(xiàn)有輪軌列車速度曲線優(yōu)化研究難以直接應(yīng)用于磁浮系統(tǒng)?，F(xiàn)有磁浮列車速度曲線優(yōu)化研究中同時(shí)考慮輔助停車區(qū)影響和多限速、不同坡度的線路場景約束的研究成果較少。因此，本文作者對基于多工況(最大牽引、巡航、惰行、最大制動(dòng))、多約束(運(yùn)行時(shí)間約束、輔助停車區(qū)約束、舒適度約束等)、多場景(不同限速、坡度)的中速磁浮列車速度曲線優(yōu)化問題進(jìn)行研究。

1 問題描述

中速磁浮列車的動(dòng)力學(xué)模型是計(jì)算列車速度曲線的基本依據(jù)，也是分析列車節(jié)能運(yùn)行工況、工況的轉(zhuǎn)換序列以及序列之間轉(zhuǎn)換點(diǎn)的基礎(chǔ)[10]。

1.1 列車運(yùn)行動(dòng)力學(xué)方程

磁懸浮列車縱向受力示意圖如圖1所示。中速磁浮列車運(yùn)行過程中受到同步直線電機(jī)的牽引力F、制動(dòng)力B、列車運(yùn)行阻力Wr共同作用。由于磁浮列車運(yùn)行時(shí)不與軌道接觸，故與鋼軌不存在黏著力，其運(yùn)行阻力主要包括空氣阻力fc、坡道重力fg、電磁渦流阻力fv、直線發(fā)電機(jī)引起的運(yùn)行阻力fb等[13]。若給定線路條件，則fc，fv和fb均可表示為關(guān)于速度v的函數(shù)，fg可表示為關(guān)于位置x的函數(shù)。

列車運(yùn)行動(dòng)力學(xué)方程如下[13]：

式中：x為列車運(yùn)行位置；t為時(shí)間；v為列車運(yùn)行速度；M為列車質(zhì)量。

圖1 磁浮列車縱向受力示意圖Fig.1 Schematic diagram of longitudinal force of maglev train

1.2 節(jié)能運(yùn)行工況及其轉(zhuǎn)換序列

依據(jù)中速磁浮列車在運(yùn)行過程中不同受力情況，一般可將其運(yùn)行過程分為最大牽引、巡航、惰行、最大制動(dòng)4種節(jié)能運(yùn)行工況[6]，如圖2所示。

圖2 節(jié)能運(yùn)行工況示意圖Fig.2 Schematic diagram of energy-efficient operation conditions

列車在相同限速區(qū)間內(nèi)運(yùn)行時(shí)，其節(jié)能工況轉(zhuǎn)換序列為最大牽引—巡航—惰行—最大制動(dòng)，各種工況的持續(xù)時(shí)間會(huì)根據(jù)實(shí)際情況的不同而有所變化[10]。如圖3所示，由于能耗或運(yùn)行條件等制約，列車無法加速到線路最大限速，其最優(yōu)轉(zhuǎn)換序列為最大牽引—惰行—最大制動(dòng)。

圖3 最大牽引—惰行—最大制動(dòng)工況示意圖Fig.3 Schematic diagram of maximum traction-coastingmaximum braking condition

2 中速磁浮列車速度曲線節(jié)能優(yōu)化模型

由于中速磁浮列車速度曲線優(yōu)化受到線路參數(shù)、輔助停車區(qū)設(shè)置、運(yùn)行工況等前提條件的制約，不同約束條件下求解精度差異較大，且既有研究方法均難以解決上述條件制約下的速度曲線優(yōu)化問題，因此將這些約束條件細(xì)分為場景(依據(jù)線路參數(shù))、區(qū)間(依據(jù)輔助停車區(qū)設(shè)置)、工況等。為精細(xì)化求解不同條件下速度曲線優(yōu)化問題，采用“先劃分場景，再細(xì)分區(qū)間”的兩步求解過程建模，進(jìn)而建立多區(qū)間列車速度曲線節(jié)能優(yōu)化模型，在滿足運(yùn)行約束條件下對節(jié)能運(yùn)行工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)進(jìn)行求解和優(yōu)化。

2.1 運(yùn)行區(qū)間劃分

在中速磁浮列車運(yùn)行過程中，首先要考慮運(yùn)行線路參數(shù)，如坡度、限速等，其中限速包括曲線限速、道岔限速、市區(qū)限速等，將坡度以及限速均相同的運(yùn)行線路定義為同一類場景。此外，還考慮了輔助停車區(qū)的影響，由于中速磁浮線路只在車站和輔助停車區(qū)鋪設(shè)動(dòng)力軌，且提供安全、快捷的疏散通道，以保證旅客安全和方便排除列車故障[15-16]，故在任何情況下都必須保證磁浮列車能夠安全停在停車區(qū)上，即列車運(yùn)行速度要時(shí)刻滿足雙限速度防護(hù)約束[17-18]。在磁浮線路中前后輔助停車區(qū)的雙限速度防護(hù)曲線存在交點(diǎn)，即速度防護(hù)區(qū)域的臨界點(diǎn)，如圖4所示。若第t時(shí)刻時(shí)列車運(yùn)行速度為vt，而第t+1時(shí)刻時(shí)可選的速度有和，可見這3個(gè)速度均處于危險(xiǎn)速度域外，但當(dāng)?shù)趖+1 時(shí)刻的速度為時(shí)，則列車運(yùn)行速度會(huì)跨越危險(xiǎn)速度域，不滿足雙限速度防護(hù)約束，故列車行駛至臨界點(diǎn)位置時(shí)，運(yùn)行速度應(yīng)大于臨界點(diǎn)速度，保證列車運(yùn)行安全。

中速磁浮列車速度曲線優(yōu)化問題是一個(gè)多約束、多場景的非線性規(guī)劃問題，求解復(fù)雜度大[19]，故首先將多場景線路轉(zhuǎn)化為多個(gè)單一場景組合考慮，再根據(jù)輔助停車區(qū)設(shè)置情況將單一場景細(xì)分為不同區(qū)間，進(jìn)而將線路整體優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為多區(qū)間組合進(jìn)行優(yōu)化，且劃分場景和區(qū)間時(shí)，需要考慮線路屬性和運(yùn)行速度安全。因此，本文將中速磁浮列車運(yùn)行過程依據(jù)限速、坡度劃分為多個(gè)場景，再依據(jù)臨界點(diǎn)位置細(xì)分為多個(gè)區(qū)間，劃分步驟如下：

Step 1 將限速以及坡度相同的線路劃分為同一類場景。

Step 2 在同一場景中以臨界點(diǎn)為依據(jù)再進(jìn)行區(qū)間劃分，令臨界點(diǎn)位置處于區(qū)間邊界。

令線路總長度為S，劃分場景數(shù)量為N，n∈[1,2,…,N]；劃分區(qū)間數(shù)量為K，k∈[1,2,…,K]，第k個(gè)區(qū)間長度為sk，區(qū)間劃分示意圖如圖4所示。

圖4 區(qū)間劃分示意圖Fig.4 Schematic diagram of section division

2.2 目標(biāo)函數(shù)及約束條件

模型假設(shè)如下：

1)已知線路條件、車輛牽引制動(dòng)等特性，即已知磁浮線路限速、坡度、輔助停車區(qū)等設(shè)置，磁浮車輛參數(shù)、牽引曲線等；

2)僅牽引、巡航、制動(dòng)工況消耗能量，惰行工況能耗視為0，不考慮能量儲(chǔ)存和饋能。

本模型優(yōu)化目標(biāo)是列車總運(yùn)行能耗，其約束條件包括線路限速、雙限速度防護(hù)約束、加速度約束、加速度沖擊率約束、邊界約束及相鄰兩區(qū)間連接約束等。

目標(biāo)函數(shù)：

式中：Fk(t)為列車在t時(shí)刻第k區(qū)間的牽引力；vk(t)為列車在t時(shí)刻第k區(qū)間的運(yùn)行速度；E為列車總運(yùn)行能耗；tk為列車在第k區(qū)間的運(yùn)行時(shí)間。

約束條件如下：

1)線路限速約束：

2)雙限速度防護(hù)約束：

3)加速度約束：

式中：amax為最大牽引加速度；amin為最大制動(dòng)減速度。

4)舒適度約束：

式中：Δamax=0.50 m/s3，為最大加速度變化率[13]。

5)邊界約束：

式中：Tm為目標(biāo)總運(yùn)行時(shí)間。

6)相鄰兩區(qū)間連接約束：

2.3 模型求解

本文構(gòu)建模型時(shí)將運(yùn)行線路“先劃分場景，再細(xì)分區(qū)間”，為了降低求解難度，求解模型時(shí)針對各子區(qū)間采用分層迭代優(yōu)化，即第1層求解單個(gè)區(qū)間節(jié)能運(yùn)行工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)，目標(biāo)是每個(gè)區(qū)間列車運(yùn)行時(shí)間最??；第2 層在給定工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)的基礎(chǔ)上，采用Pareto尋優(yōu)方法迭代分配能量優(yōu)化多個(gè)區(qū)間節(jié)能運(yùn)行工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)，目標(biāo)是在滿足總運(yùn)行時(shí)間約束下使列車運(yùn)行能耗最低，如圖5所示。

2.3.1 節(jié)能工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)的求解

對于限速、坡度均相同的磁浮運(yùn)行區(qū)間k，列車最短運(yùn)行時(shí)分條件下的最大運(yùn)行能耗為。令列車初速度為vk，令列車初始總能耗為。給定vk和Ek，計(jì)算中速磁浮列車區(qū)間節(jié)能工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)，求解得到的區(qū)間列車運(yùn)行時(shí)間最小，且運(yùn)行能耗不超過初始總能耗。第k個(gè)區(qū)間節(jié)能操縱策略如下：若下一區(qū)間限速比該區(qū)間限速值高或者與之相同，考慮牽引、巡航和惰行的工況序列轉(zhuǎn)換；若下一區(qū)間速度比該區(qū)間的低，考慮巡航、惰行和制動(dòng)的工況序列轉(zhuǎn)換。算法流程如圖6所示，其中，為第k區(qū)間的線路限速；為牽引曲線；為惰行曲線；ab為常用制動(dòng)加速度；n為初始總能耗分配比例；Eb為制動(dòng)能耗；Δe為制動(dòng)能耗增加單元。

圖5 分層優(yōu)化示意圖Fig.5 Schematic diagram of hierarchy optimization

2.3.2 Pareto優(yōu)化節(jié)能工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)

給定v1和Ek(k∈[1,2,…,K])，可根據(jù)磁浮線路參數(shù)和列車運(yùn)行特點(diǎn)，按照節(jié)能工況點(diǎn)求解方法得到初始節(jié)能速度曲線，該曲線對應(yīng)的是列車最短時(shí)間速度曲線。由于是在最大運(yùn)行能耗范圍內(nèi)給定的初始總能耗，運(yùn)行時(shí)間可能不滿足目標(biāo)總運(yùn)行時(shí)間約束，需優(yōu)化節(jié)能工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)，使運(yùn)行時(shí)間逼近目標(biāo)總運(yùn)行時(shí)間。因此本文通過Pareto尋優(yōu)方法優(yōu)化多個(gè)區(qū)間的節(jié)能速度曲線，使其滿足目標(biāo)運(yùn)行時(shí)間下能耗最低，算法流程如圖7所示，其中，ΔE為分配給區(qū)間的能量單元；Ek為分配能量單元后k區(qū)間的運(yùn)行能耗；ΔTk為給區(qū)間i分配能量單元后縮短的運(yùn)行時(shí)間。

3 算例驗(yàn)證

3.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

中速磁浮線路試驗(yàn)長度為20.00 km，其中，輔助停車區(qū)設(shè)置、線路限速、線路坡度等線路參數(shù)如表1～3所示，線路示意圖如圖8所示。試驗(yàn)采用車輛為中車唐山機(jī)車研制的中速磁浮列車，車輛參數(shù)如下：采用2 輛編組，質(zhì)量M=32 t，最大牽引加速度amax=1.00 m/s2，常用制動(dòng)加速度ab=-1.10 m/s2，緊急制動(dòng)加速度amin=-1.30 m/s2。

圖6 第k區(qū)間工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)求解算法流程圖Fig.6 Flow diagram of algorithm to solve thekth section switching point of operation conditions

圖7 Pareto優(yōu)化節(jié)能速度曲線算法流程圖Fig.7 Flow diagram of algorithm to optimize energyefficient trajectory planning by Pareto

3.2 結(jié)果分析

本文采用Matlab 軟件進(jìn)行仿真計(jì)算。算例驗(yàn)證中，根據(jù)2.1 節(jié)將運(yùn)行線路劃分為17 個(gè)區(qū)間，即k=17。令仿真步長為Δt=0.10 s，能耗分配比例為n=60%，制動(dòng)能耗增加單元為Δe=0.10 kW·h，分配區(qū)間的能量單元為ΔE=0.50 kW·h。計(jì)算可得每個(gè)區(qū)間的最大運(yùn)行能耗為Emax=[8.60,5.70,6.30,6.40,6.70,9.10,8.70,5.00,4.00,10.90,7.70,3.90,3.30,7.90,3.50,5.50]，令初始總能耗為Ek=[8.60,5.60,6.10,5.60,6.70,8.00,8.70,5.00,3.50,4.00,7.70,3.30,3.00,1.60,3.50,3.40]，目標(biāo)總運(yùn)行時(shí)間Tm=540.00 s，誤差允許范圍為±0.50 s。

圖8 中速磁浮線路示意圖Fig.8 Schematic diagram of middle-speed maglev line

3.2.1 優(yōu)化結(jié)果分析

優(yōu)化后列車運(yùn)行時(shí)間為539.70 s，運(yùn)行能耗為82.08 kW·h，目標(biāo)運(yùn)行時(shí)間誤差為-0.30 s，滿足目標(biāo)總運(yùn)行時(shí)間的要求。在優(yōu)化過程中，列車運(yùn)行能耗和運(yùn)行時(shí)間的變化情況如圖9所示。從圖9可見：隨著列車運(yùn)行能耗的增加，運(yùn)行時(shí)間逐漸減小，但運(yùn)行時(shí)間減小的幅度逐漸變緩。

表1 輔助停車區(qū)設(shè)置Table 1 Auxiliary stopping area km

表2 線路限速Table 2 Speed limit of line

表3 線路坡度Table 3 Gradient of line

3.2.2 優(yōu)化方法對比分析

宿帥[10]采用列車節(jié)能速度曲線的優(yōu)化方法，其運(yùn)行工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)的求解算法是牽引—巡航—惰行—制動(dòng)，其中忽略了制動(dòng)能耗。在考慮制動(dòng)能耗條件下，將本文算法與文獻(xiàn)[10]的優(yōu)化曲線進(jìn)行對比，結(jié)果如圖10所示。由圖10可見：文獻(xiàn)[10]的優(yōu)化得到的能耗比本文算法的結(jié)果低，但其得到的運(yùn)行速度曲線存在多處(如圖10中圈出的位置所示)加速度變化率大于0.50 m/s3，不滿足磁浮運(yùn)行舒適度條件。故本文算法不僅實(shí)現(xiàn)磁浮列車速度曲線節(jié)能優(yōu)化，且克服了既有文獻(xiàn)難以解決多約束條件下優(yōu)化的不足。

圖9 運(yùn)行能耗與運(yùn)行時(shí)間關(guān)系Fig.9 Diagram of operation energy consumption and running time

圖10 本文算法與文獻(xiàn)[10]優(yōu)化曲線對比Fig.10 Comparison of optimization curves of algorithms in this paper and Ref.10

表4 本文算法與文獻(xiàn)[13]算法優(yōu)化結(jié)果對比Table 4 Comparison of optimization results of algorithms in this paper and Ref.[13]

楊光[13]采用最小能量速度曲線的優(yōu)化方法，即在最短時(shí)間速度曲線上確定惰行切換點(diǎn)來降低運(yùn)行能耗。將本文算法與文獻(xiàn)[13]的算法進(jìn)行比較，結(jié)果如圖11所示。由圖11可見：在最短時(shí)間速度曲線上僅有3處位置可選擇惰行切換點(diǎn)，虛線即為可選擇的惰行曲線，但可能存在跨越限速分區(qū)的危險(xiǎn)(如圖11中陰影區(qū)域所示)，比較可得：圖11中實(shí)點(diǎn)所標(biāo)示位置即為最小能量控制下惰行工況切換的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)。令目標(biāo)總運(yùn)行時(shí)間Tm為562.00 s，優(yōu)化結(jié)果如表4和圖12所示?？梢?；本文優(yōu)化方法得到的能耗更低，且針對磁浮列車的適用范圍更廣，避免跨越限速分區(qū)的危險(xiǎn)。因此，本文算法不僅實(shí)現(xiàn)磁浮列車速度曲線節(jié)能優(yōu)化，且克服了既有文獻(xiàn)難以解決多場景下優(yōu)化的不足。

綜上可知，文獻(xiàn)[10]和[13]中的算法只解決了某個(gè)特定約束或場景下速度曲線優(yōu)化問題，而本文算法除實(shí)現(xiàn)既有算法效果外，還考慮了制動(dòng)能耗、乘客舒適度條件、雙限速度防護(hù)約束及多限速區(qū)段的適用性等，能更好地解決多工況、多約束、多場景下的列車速度曲線優(yōu)化問題。

圖11 文獻(xiàn)[13]最短時(shí)間速度曲線惰行切換點(diǎn)示意圖Fig.11 Schematic diagram of coasting switching points of shortest time speed curve in Ref.[13]

圖12 本文算法與文獻(xiàn)[13]優(yōu)化曲線對比Fig.12 Comparison of optimization curves of algorithms in this paper and Ref.[13]

4 結(jié)論

1)在中速磁浮動(dòng)力學(xué)模型及節(jié)能運(yùn)行工況轉(zhuǎn)換序列的基礎(chǔ)上，提出一種考慮限速約束和輔助停車區(qū)設(shè)置的列車速度曲線節(jié)能優(yōu)化模型，該模型將坡度、限速等作為劃分場景的依據(jù)，將雙限速度防護(hù)臨界點(diǎn)作為進(jìn)一步細(xì)分區(qū)間的依據(jù)。在不同的區(qū)間中，考慮運(yùn)行約束條件下通過分層優(yōu)化進(jìn)行求解，先給出每個(gè)區(qū)間多運(yùn)行工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)的求解方法，再通過Pareto尋優(yōu)分配能量單元優(yōu)化多區(qū)間列車節(jié)能速度曲線。

2)與既有文獻(xiàn)提出的算法相比，本文算法的優(yōu)化效果更好，對于磁浮線路條件的適用性更強(qiáng)，且能有效克服速度曲線優(yōu)化問題中多工況、多約束、多場景的不足。

3)模型中考慮列車再生制動(dòng)能量將是未來研究的方向之一。