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      基于Matlab 的扇形環(huán)板軸向壓縮變形的偏微分方程數(shù)值求解?

      2019-07-31 09:55:12潘莉英
      關(guān)鍵詞:固支環(huán)板撓曲

      潘莉英 曹 巖

      (1.陜西省寶雞教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 寶雞 721004)(2.西安工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院 西安 710021)

      1 引言

      薄板是工程結(jié)構(gòu)中的一種常用構(gòu)件,它是由兩個(gè)平行面和垂直于它們的柱面所圍成的物體,幾何特征是其高度遠(yuǎn)小于底面尺寸。在縱向載荷和橫向載荷共同聯(lián)合作用時(shí),由于板很薄,假定只發(fā)生在平行于中面的應(yīng)力,且這些應(yīng)力沿板的厚度是均勻的,此時(shí)微分平衡控制方程中不計(jì)撓度的非線(xiàn)性項(xiàng),且沒(méi)有垂直于板面的載荷q(x,y)=0,得下式[1~6]:

      圖1 縱向載荷和橫向載荷共同聯(lián)合作用下薄板的力學(xué)模型

      此式即為直角坐標(biāo)系中復(fù)雜彎曲時(shí)的微分平衡控制方程。因此直角坐標(biāo)系中矩形板在縱向和橫向載荷聯(lián)合作用下失穩(wěn)的臨界載荷的確定只需求解式(1)即可。但是式(1)的嚴(yán)格求解是有困難的,當(dāng)邊界條件比較復(fù)雜、或者矩形板有不規(guī)則的幾何形狀,比如扇形板[7]。此時(shí)上式Px,Py,Pxy不再是常數(shù),這樣常系數(shù)微分方程(1)將變?yōu)樽兿禂?shù)偏微分方程,從而導(dǎo)致無(wú)法獲得該方程的解析解[8~11]。

      2 扇形環(huán)板撓曲數(shù)學(xué)模型的建立

      在定解條件下(初始條件及邊界條件),求解變系數(shù)偏微分方程,針對(duì)面內(nèi)彎曲件的幾何形狀,可利用扇形環(huán)板的小撓度問(wèn)題近似。那么既滿(mǎn)足薄板小撓度的控制方程,又滿(mǎn)足某一問(wèn)題邊界條件的撓度函數(shù),就是該問(wèn)題的解。在板所應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足的各種條件中(控制微分方程及邊界條件),可以根據(jù)問(wèn)題的具體情況,先找出能滿(mǎn)足其中一部分條件的撓度函數(shù),其中留有待定系數(shù)(或函數(shù)),然后令其滿(mǎn)足(大多數(shù)情況下是近似滿(mǎn)足)余下的條件,以決定這些待定常數(shù)。如果能精確滿(mǎn)足余下的條件,則得到精確解,否則為近似解[12~16]。

      2.1 扇形環(huán)板小撓度彎曲的數(shù)學(xué)模型的建立

      設(shè)有扇形環(huán)板如圖2所示,中心角為θ0,k=π/θ0(k ?Z+),因此 θ0≤π ;內(nèi)圓半徑 a ,外圓半徑 b,板的直線(xiàn)邊簡(jiǎn)支,而弧邊的支座可由邊界條件最后決定。以該板的一個(gè)直線(xiàn)邊為柱坐標(biāo)的極軸基線(xiàn),均布載荷P 均勻作用于該扇形環(huán)板面,因板服從D(?4w)=p(r,θ),故設(shè)撓曲曲面方程為式(2)。

      圖2 扇形環(huán)板小撓度彎曲的幾何模型

      把式(2)代入下式(3),得式(4)。

      把 p 化為三角級(jí)數(shù),得

      代入式(4),得

      則式(6)的通解是如下:

      該式含4 個(gè)待定系數(shù)A,B,C,G 根據(jù)弧形邊上的4個(gè)邊界條件決定。當(dāng)邊界條件確定時(shí),則A,B,C,G可計(jì)算獲得,則扇形環(huán)板的撓曲形式也就確定。

      2.2 扇形環(huán)板小撓度彎曲的邊界條件的數(shù)學(xué)處理方法

      扇形環(huán)板的邊界條件為:對(duì)r=a 為簡(jiǎn)支邊,該邊無(wú)撓度,且該邊力矩為零。則有(ω)r=a=0(Mr)r=a=0。對(duì)r=a 為固定邊,雖然該邊受力的情況不明,但位移是可以確定的,即該邊無(wú)撓度,且中面法線(xiàn)沒(méi)有任何方向之轉(zhuǎn)角,則有(ω)r=a=0 ,=0。對(duì)r=a 為自由邊,該邊的位移情況不明,但確知什么力都不作用在此邊上,則有

      3 不同邊界條件下扇形環(huán)板的撓曲面形貌

      3.1 內(nèi)圓固支外圓簡(jiǎn)支扇形環(huán)板撓曲問(wèn)題的求解

      設(shè)r=a為固支,r=b為簡(jiǎn)支,則有

      對(duì)上面4個(gè)方程聯(lián)立求解,得出A,B,C,G 的顯式解的表達(dá)式,根據(jù)幾何參數(shù)和物理參數(shù)a=20,b=50,m=1,k=1.5,u=0.3,D=100,p=10000000。取 A5,B5,C5,G5,A7,B7,C7,G7,A9,B9,C9,G9共計(jì) 19 個(gè)值,代入通解表達(dá)式(7),取前5 項(xiàng),在Matlab 中作撓度曲面圖如圖3所示。

      圖3 當(dāng)r=a固支,r=b簡(jiǎn)支時(shí)扇形環(huán)板撓度曲面圖

      3.2 其它8種邊界條件下的解

      圖4 當(dāng)r=a簡(jiǎn)支,r=b固支時(shí)扇形環(huán)板撓度曲面

      圖5 當(dāng)r=a簡(jiǎn)支,r=b自由時(shí)扇形環(huán)板撓度曲面

      圖6 當(dāng)r=a自由,r=b簡(jiǎn)支時(shí)扇形環(huán)板撓度曲面

      圖7 當(dāng)r=a簡(jiǎn)支,r=b簡(jiǎn)支時(shí)扇形環(huán)板撓度曲面

      圖8 當(dāng)r=a自由,r=b自由時(shí)扇形環(huán)板撓度曲面

      圖9 當(dāng)r=a固支,r=b固支時(shí)扇形環(huán)板撓度曲面

      圖10 當(dāng)r=a固支,r=b自由時(shí)扇形環(huán)板撓度曲面

      圖11 當(dāng)r=a自由,r=b固支時(shí)扇形環(huán)板撓度曲面

      根據(jù)柱坐標(biāo)系下扇形環(huán)板的撓曲微分平衡控制方程的通解表達(dá)式,利用“數(shù)值法”獲得了該扇形環(huán)板在其它8 種邊界條件下的撓曲形貌。當(dāng)扇形板內(nèi)外緣邊界條件分別為,1)r=a簡(jiǎn)支,r=b固支;2)r=a 簡(jiǎn)支,r=b 自由;3)r=a 自由,r=b 簡(jiǎn)支;4)r=a 簡(jiǎn)支,r=b 簡(jiǎn)支;5)r=a 自由,r=b 自由;6)r=a 固支,r=b固支;7)r=a固支,r=b自由;8)r=a自由,r=b固支時(shí),扇形環(huán)板撓度曲面圖如圖4~11。

      4 結(jié)語(yǔ)

      1)研究討論了直角坐標(biāo)系下矩形薄板在橫向載荷、縱向載荷、橫縱向載荷作用下板的小撓度撓曲微分平衡方程。

      2)建立了基于柱坐標(biāo)系下扇形環(huán)板的撓曲微分平衡控制方程,并解得該四階微分方程的通解表達(dá)式如下:

      并利用“數(shù)值法”獲得了該扇形環(huán)板在9 種邊界條件下的撓曲形貌。

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