蔣 虎，李天姣，任 波

(沈陽(yáng)理工大學(xué) 裝備工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng)110159)

衛(wèi)星的平面軌道估計(jì)無(wú)論是在執(zhí)行航天任務(wù)中，還是在太陽(yáng)系各種小天體的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中，都是不可缺少的工作.衛(wèi)星軌道是由衛(wèi)星的初始位置和速度、衛(wèi)星所受作用力確定的[1].衛(wèi)星實(shí)際的運(yùn)動(dòng)軌跡受多種非地球引力的影響，如地球非球形引力、日月引力等.地面觀測(cè)站的雷達(dá)受天氣等原因的影響而無(wú)法保證觀測(cè)精度，因此在進(jìn)行衛(wèi)星平面軌道估計(jì)時(shí)容易產(chǎn)生軌道偏離[2].具體來(lái)說(shuō)，因?yàn)樾l(wèi)星在運(yùn)動(dòng)中受多種攝動(dòng)力的復(fù)雜作用，利用地面監(jiān)控系統(tǒng)對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行監(jiān)測(cè)，難以可靠、準(zhǔn)確地測(cè)定這些作用力，并且無(wú)法掌握它們的作用規(guī)律，所以衛(wèi)星平面軌道估計(jì)時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的誤差[3-4].

衛(wèi)星軌道的確定應(yīng)根據(jù)衛(wèi)星軌道的當(dāng)前觀測(cè)信息，對(duì)下一時(shí)刻的軌道信息進(jìn)行估計(jì)，通常使用卡爾曼濾波器，而衛(wèi)星軌道運(yùn)動(dòng)模型是非線性的，因此應(yīng)采用擴(kuò)展卡爾曼濾波器(EKF)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)衛(wèi)星平面軌道運(yùn)動(dòng)的估計(jì)[5].為了盡量減小衛(wèi)星平面軌道估計(jì)的誤差，降低各種干擾因素的影響，本文擬引入擴(kuò)展卡爾曼濾波器.

1 擴(kuò)展卡爾曼濾波器在衛(wèi)星平面軌道估計(jì)中的應(yīng)用

擴(kuò)展卡爾曼濾波器采用將非線性系統(tǒng)線性化之后再濾波的算法.與線性化濾波相比，其優(yōu)勢(shì)在于能夠保證濾波偏差足夠小.不同于卡爾曼濾波器的是，擴(kuò)展卡爾曼濾波器要對(duì)狀態(tài)方程和觀測(cè)方程中非線性部分進(jìn)行泰勒展開，求得近似的線性化方程，即求出雅可比矩陣后進(jìn)行卡爾曼濾波算法遞推估計(jì)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜的衛(wèi)星軌道運(yùn)動(dòng)的估計(jì)[6-7].

設(shè)隨機(jī)非線性離散系統(tǒng)方程為：

(1)

式中：Xk為狀態(tài)向量；Zk為觀測(cè)向量；f[·]為狀態(tài)非線性函數(shù)；h[·]為觀測(cè)非線性函數(shù)；Γk-1為噪聲輸入矩陣；Wk-1、Vk分別為系統(tǒng)離散狀態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲，均為零均值白噪聲序列，即

(2)

式中，Qk-1、Rk分別為非負(fù)定系統(tǒng)過(guò)程噪聲方差陣和正定觀測(cè)噪聲方差陣.

式(1)對(duì)應(yīng)的線性狀態(tài)空間模型為：

(3)

式中：Φk,k-1是函數(shù)f[·]的雅可比矩陣；Hk是函數(shù)h[·]的雅可比矩陣.

與卡爾曼濾波算法不同的是，擴(kuò)展卡爾曼濾波算法需要將式(1)中非線性部分線性化，并通過(guò)下列方法計(jì)算出Φk,k-1和Hk.

(4)

式中：n為狀態(tài)向量的維數(shù)；Φk,k-1為n×n維矩陣.

(5)

式中：m為觀測(cè)向量的維數(shù)；Hk為m×n維矩陣.

擴(kuò)展卡爾曼濾波器為：

(6)

通過(guò)式(6)，可估計(jì)衛(wèi)星平面軌道.衛(wèi)星平面軌道擴(kuò)展卡爾曼估計(jì)的原理(圖1)，在于利用衛(wèi)星軌道運(yùn)動(dòng)上一時(shí)刻的狀態(tài)值和當(dāng)前時(shí)刻的雷達(dá)觀測(cè)值加權(quán)再求和，來(lái)估計(jì)衛(wèi)星平面軌道.

圖1 衛(wèi)星平面軌道擴(kuò)展卡爾曼估計(jì)原理圖

對(duì)圖1分析可知，擴(kuò)展卡爾曼濾波處理既能保持衛(wèi)星的正常運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，又能保證估計(jì)的精度.

2 衛(wèi)星平面軌道運(yùn)動(dòng)模型

在地球萬(wàn)有引力的作用下，衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)橢圓，這個(gè)橢圓所在的平面被稱為軌道平面.在只考慮地心引力而不考慮多種攝動(dòng)力影響的理想狀態(tài)下，衛(wèi)星平面軌道運(yùn)動(dòng)模型如圖2所示.建立該模型后，可將地心設(shè)置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，地心正上方p點(diǎn)設(shè)為衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)起始點(diǎn)，而且，以衛(wèi)星到地心的距離和衛(wèi)星偏轉(zhuǎn)角度來(lái)觀測(cè)衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng).

圖2 衛(wèi)星平面軌道運(yùn)動(dòng)模型

衛(wèi)星在規(guī)定軌道中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到地心引力、日月引力、太陽(yáng)輻射壓力、地球非球形引力、大氣阻力及潮汐力等的作用.除地心引力外，其他攝動(dòng)力的合力對(duì)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的影響很小.衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的作用力和相應(yīng)加速度如表1所示[10].

根據(jù)衛(wèi)星到地心的距離和衛(wèi)星偏轉(zhuǎn)角度建立的衛(wèi)星平面軌道運(yùn)動(dòng)控制方程[11]為：

(7)

式中：r為衛(wèi)星到地心(又稱吸引點(diǎn))的距離；θ為以Y軸方向?yàn)閰⒖计D(zhuǎn)的角度(又稱角位移)；m、g分別為地球質(zhì)量和萬(wàn)有引力常數(shù)；ξr和ξθ均為連續(xù)時(shí)間不相關(guān)的零均值高斯白噪聲.

2.1 衛(wèi)星平面軌道運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程

設(shè)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)狀態(tài)向量為：

(8)

則結(jié)合式(7)可得如下衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式中，ξr(k)和ξθ(k)均為離散不相關(guān)的零均值高斯白噪聲.

2.2 衛(wèi)星平面軌道運(yùn)動(dòng)離散觀測(cè)方程

衛(wèi)星平面軌道運(yùn)動(dòng)的離散觀測(cè)方程為：

(14)

(15)

觀測(cè)矩陣可表示為：

(16)

2.3 衛(wèi)星平面軌道運(yùn)動(dòng)離散線性化模型

與式(10)對(duì)應(yīng)的離散線性化模型為:

(17)

對(duì)式(10)進(jìn)行泰勒展開可求出函數(shù)fS[·]的雅可比矩陣，即

(18)

綜上，利用擴(kuò)展卡爾曼濾波器可以估計(jì)衛(wèi)星平面軌道(r(k),θ(k)).

3 仿真與結(jié)果分析

3.1 衛(wèi)星平面軌道運(yùn)動(dòng)軌跡

在不加入過(guò)程噪聲的情況下，衛(wèi)星的真實(shí)軌跡是一個(gè)橢圓.根據(jù)衛(wèi)星偏轉(zhuǎn)角度，將狀態(tài)量中衛(wèi)星到地心距離分解為X軸和Y軸方向兩個(gè)分量，并將衛(wèi)星在軌道中具體位置用其坐標(biāo)(X，Y)來(lái)表示.根據(jù)衛(wèi)星平面軌道運(yùn)動(dòng)模型得到的仿真結(jié)果如圖3所示.

圖3 衛(wèi)星平面軌道運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果

對(duì)比圖2和圖3可知，衛(wèi)星平面軌道運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果與理論的衛(wèi)星平面軌道一致.

3.2 衛(wèi)星到地心距離與衛(wèi)星偏轉(zhuǎn)角度的變化

3.2.1 衛(wèi)星到地心距離的變化

在衛(wèi)星平面軌道估計(jì)中，衛(wèi)星到地心的距離和衛(wèi)星偏轉(zhuǎn)角度是重點(diǎn).

通過(guò)仿真，衛(wèi)星到地心距離隨采樣時(shí)間的變化情況如圖4所示.

圖4 衛(wèi)星到地心距離隨采樣時(shí)間的變化情況

從圖4(a)可以看出，隨著采樣時(shí)間的增加，衛(wèi)星到地心距離的變化是一個(gè)先增后減的過(guò)程，因此衛(wèi)星的平面運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓形且是偏心的.從圖4(b)可以看出，擴(kuò)展卡爾曼濾波器對(duì)衛(wèi)星平面軌道的估計(jì)效果較好，濾波后衛(wèi)星到地心的距離誤差可控制在1 km以內(nèi)，符合工程實(shí)際的需要.

3.2.2 衛(wèi)星偏轉(zhuǎn)角度的變化

通過(guò)仿真，衛(wèi)星偏轉(zhuǎn)角度隨采樣時(shí)間的變化情況如圖5所示.圖5中，對(duì)應(yīng)于衛(wèi)星偏轉(zhuǎn)角度的真實(shí)值、觀測(cè)值和擴(kuò)展卡爾曼濾波值，分別用實(shí)線、虛線和星形線來(lái)表示.

圖5 衛(wèi)星偏轉(zhuǎn)角度隨采樣時(shí)間的變化情況

從圖5(a)可以看出，經(jīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波處理，衛(wèi)星偏轉(zhuǎn)角度的變化比真實(shí)值和雷達(dá)觀測(cè)值的規(guī)律性更強(qiáng).從圖5(b)可以看出，對(duì)應(yīng)于EKF值，衛(wèi)星偏轉(zhuǎn)的最終角度剛好達(dá)到了360°，即在這段時(shí)間內(nèi)，衛(wèi)星剛好轉(zhuǎn)動(dòng)一周.

3.3 衛(wèi)星平面軌道的估計(jì)誤差

針對(duì)衛(wèi)星到地心的距離和衛(wèi)星偏轉(zhuǎn)角度，分別用雷達(dá)觀測(cè)值和擴(kuò)展卡爾曼濾波估計(jì)值，與真實(shí)值進(jìn)行比較.雷達(dá)觀測(cè)和EKF估計(jì)的誤差效果如圖6所示.

圖6 雷達(dá)觀測(cè)和EKF估計(jì)的誤差效果

4 結(jié)束語(yǔ)

衛(wèi)星在地心引力作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓形.衛(wèi)星平面軌道運(yùn)動(dòng)的仿真結(jié)果表明，利用擴(kuò)展卡爾曼濾波器對(duì)衛(wèi)星軌道估計(jì)是合理的，可以顯著提高衛(wèi)星平面軌道的估計(jì)精度，在工程應(yīng)用中具有意義.

本文建立的是二維模型，未來(lái)可通過(guò)三維模型對(duì)衛(wèi)星軌道運(yùn)動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，并且在建模的過(guò)程中要全面考慮多種攝動(dòng)力的影響.