摘 要：“金蟬脫殼”是用加減解決乘除運算的一種算法，是中國古代數(shù)學(xué)中，特別是珠算中比較重要、淺顯易懂的乘除計算方法，后來發(fā)展成較為復(fù)雜的“湊倍乘除”“剝皮”“扒皮”等算法。一些珠算辭書或著作對“金蟬脫殼”等術(shù)語進行了解釋，但各有不同，同時也存在一些缺點。文章通過追溯其源流并分析不同算書中“金蟬脫殼”及其相關(guān)術(shù)語的含義，對“金蟬脫殼”的數(shù)學(xué)含義及演變過程進行了新的研究。

關(guān)鍵詞：金蟬脫殼;珠算術(shù)語;數(shù)學(xué)含義;演變;中國古代數(shù)學(xué)史

中圖分類號：O1;N04文獻標識碼：ADOI：10.3969/j.issn.1673-8578.2019.03.015

Abstract：“Jinchan tuoqiao”（金蟬脫殼） is a calculation method that solves the multiplication and division operations by addition and subtraction. It is an important and easytounderstand multiplication and division calculation method in ancient Chinese mathematics， especially in abacus. Later it developed into a more complicated calculation method such as “coubei chengchu”（湊倍乘除）， “baopi”（剝皮）， “bapi”（扒皮） . Some abacus dictionaries or books have explained “jinchan tuoqiao” and its related terms， but each of them is different， and there are also some shortcomings. By tracing the origin of the term “jinchan tuoqiao” and analyzing the meaning of this term and its related terms in different mathematical books， the paper studies the mathematical meaning and evolution process of “jinchan tuoqiao”.

Keywords：“jinchan tuoqiao”;abacus term;mathematical meaning; evolution; history of mathematics in ancient China

收稿日期：2019-02-28

作者簡介：牛騰（1988—），女，中國財政科學(xué)研究院博士后，研究方向為中國數(shù)學(xué)史。通信方式：niuteng0920@163.com。

引 言

金蟬脫殼的本義是蟬由幼蟲變?yōu)槌上x時脫殼而出，比喻用計脫身，又比喻蛻變改易[1-3]，早在元代《三國志平話》、馬致遠《馬丹陽三度任風子》、關(guān)漢卿《錢大尹智寵謝天香》、施君美《幽閨記·文武同盟》等文學(xué)作品中就有關(guān)于“金蟬脫殼”的記載，這些含義在現(xiàn)代仍被廣泛使用。

殊不知“金蟬脫殼”還被用于數(shù)學(xué)中，除了現(xiàn)代學(xué)者對于“金蟬脫殼數(shù)”的介紹與研究[4]外，比較重要的則是“金蟬脫殼”作為一種算法在珠算中的使用，這也是本文研究的主要內(nèi)容。作為一種容易理解的算法，“金蟬脫殼”在中國古代數(shù)學(xué)中就已出現(xiàn)，在明代尤其流行，是珠算中比較重要且簡單的針對乘除運算的方法。一般的珠算著作都對這一術(shù)語有解釋或說明，如朱永茂《無訣珠算》[5]既認為“金蟬脫殼”是“扒皮除法”的一種形式，又認為扒皮法可能是由“金蟬脫殼”演化而來。華印椿《中國珠算史稿》[6]和李培業(yè)《中國珠算簡史》[7]介紹湊倍乘除時，稱之為一種簡易算法，原名“金蟬脫殼”。其中華印椿對“金蟬脫殼”及相關(guān)算法的介紹更為詳細，又稱其別名有“大扒皮”“剝皮”“混歸”等，《中國科學(xué)技術(shù)史·數(shù)學(xué)卷》[8]也有類似介紹。一些珠算辭書對“金蟬脫殼”及相關(guān)術(shù)語的含義及歷史也進行了解釋，為便于分析，下面以列表形式介紹（表1—表3）。

術(shù)語解釋

金蟬脫殼除法見“一、二、五除法”[9]155。

一、二、五除法利用除數(shù)的一、二和五倍值簡化除算運算的算法?！@種除法又稱遞減除法、剝筍除法、累減除法。古稱金蟬脫殼除法[9]2。

湊倍法根據(jù)一、二、五基本倍數(shù)進行加減運算的乘除方法。乘法按照倍數(shù)加，除法按照倍數(shù)減。湊倍法中又有心算二倍法和心算五倍法[9]234。

湊倍除法按照倍數(shù)進行減算的一種除法。它是由“金蟬脫殼”“剝皮”法經(jīng)過研究改進逐漸發(fā)展形成的。不用口訣求商，只用一、二、五倍數(shù)進行減算即可求得商數(shù)[9]234。

湊倍乘法按照倍數(shù)進行加算的一種乘法。是湊倍除法的逆運算。不用九九口訣逐位乘加，而是把整個因數(shù)按一、二、五倍直接撥入[9]236。

根據(jù)表1，《珠算小辭典》只有對“金蟬脫殼除法”的介紹，又稱為“一、二、五除法”“扒皮除法”“湊倍除法”等等，即用除數(shù)的一、二和五倍值簡化除法運算的算法。

術(shù)語解釋金蟬除法即“湊倍除法”，參見該條[10]269。金蟬脫殼即“湊倍乘法”，參見該條[10]269。湊倍除法亦稱金蟬除法、大扒皮。運用一、二、五倍為基本倍數(shù)，把除法改為基本倍數(shù)的變通加減法，稱為湊倍除法。因其由古代剝皮除法或金蟬脫殼逐漸演化而來，故俗稱金蟬除法[10]425-427。湊倍乘法又稱金蟬脫殼、迭皮乘（法）、加減乘法、變積乘法、倍數(shù)乘法、加乘法，是簡捷乘法的一種。它是不用九九口訣，根據(jù)數(shù)字的特點，結(jié)合一定程度的心算，采用以加減代乘求積的方法[10]428-430。

根據(jù)表2，《中華珠算大辭典》稱金蟬脫殼即湊倍乘法，后來演化為用類似方法解決除法運算，所以又將湊倍除法稱為“金蟬除法”。

術(shù)語解釋

金蟬乘法即“金蟬脫殼”，參見“湊倍乘法”條[11]316。

金蟬除法即“剝皮除法”，參見該條[11]316。

剝皮除法亦稱“扒皮除法”“金蟬除法”等，運算時所遵循的法則是：被除數(shù)含幾倍除數(shù)就立商幾，并從被除數(shù)中減去該商數(shù)倍的除數(shù)[11]46。

金蟬脫殼是湊倍乘除的原始名稱。吳敬稱為“乘除易會算訣”。徐心魯、程大位稱“金蟬脫殼”?！敖鹣s脫殼”多用一倍、二倍，唯吳敬除法用五倍[11]316-317。

乘除易會算訣即金蟬脫殼，吳敬稱“乘除易會算訣”，參見“金蟬脫殼”條[11]67。

湊倍乘法亦稱“金蟬脫殼法”“迭皮乘（法）”“加減乘法”“倍數(shù)乘法”“加乘法”等，屬簡捷乘法之一種[11]104-106。

湊倍除法亦稱剝皮除法，扒皮除法，金蟬脫殼、大扒皮等，是我國古代民間的一種簡易除法，運算中使用一、二、五倍為基本倍數(shù)，把除法改為基本倍數(shù)的變通加減法[11]107-109。

根據(jù)表3，《世界珠算通典》稱“金蟬乘法”即“金蟬脫殼”，亦稱“湊倍乘法”“迭皮乘法”等等，是一種簡捷的乘法運算。又說金蟬脫殼是湊倍乘除的原始名稱，意為這既能表示乘法運算，也包含除法運算。還稱金蟬除法即剝皮除法，亦稱湊倍除法，但與“金蟬脫殼”的解釋又前后不一?？梢娫撧o書對各術(shù)語的解釋比較混亂。

綜上，上述珠算辭書或著作對“金蟬脫殼”及其相關(guān)術(shù)語的解釋不盡相同，對其來源、演變等也沒有統(tǒng)一說法，作為珠算中比較重要的術(shù)語，有必要厘清“金蟬脫殼”的含義，并追溯其源流及演變。

一 古算術(shù)語“金蟬脫殼”的來源及含義

（一）“金蟬脫殼”一詞的出現(xiàn)及來源

一般認為，“金蟬脫殼”這一術(shù)語最早見于徐心魯訂正的《盤珠算法》（1573）[12]。但其實周述學(xué)《神道大編歷宗算會》（以下簡稱《歷宗算會》）（1558）卷一中就載有“金蟬脫殼法”，又名“連環(huán)算法”[13]586，卷十五有歌訣稱[13]827：

連環(huán)算法

乘法除雙還倍數(shù)，須知去一要添原，歸除滿法①過身一，實②無折半當身五。

這種方法最早見于《九章算法比類大全》（1450）（以下簡稱《九章比類》），名為“乘除易會算訣”，歌訣的前四句與《歷宗算會》中的完全相同，后四句云“不用九歸并小九，只將二十字為先，乘除加減皆從此，萬兩黃金不與傳”[14]?！毒耪卤阮悺泛蟾絻蓜t例題并解析，與《歷宗算會》中前兩則例解相似，可見“金蟬脫殼”在此之前或許名為“乘除易會算訣”，包含乘和除兩類算法，不用口訣，均使用更為簡單的加減運算完成。

另外，早在明代高儒《百川書志》（1540）卷十一中就載有“《金蟬脫殼縱橫算法》一卷，不知作者”[15]，但沒有具體內(nèi)容。至于該術(shù)語最早出現(xiàn)于哪種算書，目前不好判斷。據(jù)李兆華介紹，現(xiàn)存殘本《九章正明算法》中有“金蟬脫殼4題”，該本為明萬歷十年（1582）北京重刊本，《算經(jīng)源流》所記嘉靖己亥（1539）或為初刊年代[16]。那么，“金蟬脫殼”用作算學(xué)術(shù)語或許最早出現(xiàn)于15世紀末16世紀初。

（二）“金蟬脫殼”的含義

《九章比類》和《歷宗算會》所載金蟬脫殼法是指乘除運算不再使用九歸或九九口訣，用加或減法代替，乘法運算中，使用乘數(shù)及其二倍數(shù)進行運算，被乘數(shù)中減2，得數(shù)加乘數(shù)的二倍數(shù);被乘數(shù)中減1，得數(shù)加乘數(shù)。除法運算中，使用除數(shù)及其半數(shù)進行運算，被除數(shù)中減去除數(shù)，商數(shù)加1;被除數(shù)中減去除數(shù)的一半，商數(shù)加5。其中，不同數(shù)值的運算要注意積數(shù)或商數(shù)的定位問題。這應(yīng)該就是“金蟬脫殼”最初的含義。

《盤珠算法》對“金蟬脫殼”的解釋與之不同，原文如下[17]1146：

金蟬脫殼訣法

蠢子清曰：……分物在位，人數(shù)在，只管一進一除，此一位進除殆盡，又從次位進除之，……直進除到末位俱盡，方才是數(shù)科量呼喝數(shù)目是也。二人分物，進一除二，三人分，進一除三……

根據(jù)其解釋，此處的金蟬脫殼僅是指除法運算，只使用除數(shù)本身進行運算，商數(shù)加1則從被除數(shù)中減去除數(shù)一次。之后載有“二字奇法” [17]1147：

二字奇法

詩曰：二字賽歸除，玄中妙更奇，賢愚從此學(xué)，盡在一時知。

止用進退二法，凡用（八）[分]③物，進一隔位而除之;凡用見總，退一隔位而加之，易明之見也。

“詩曰”中說“二字賽歸除”，可知是在講除法，但“詩曰”之后是對乘除運算的定位說明，除法運算時，商1放置于被除數(shù)之前，隔一位從被除數(shù)中減去除數(shù);乘法運算時，從被乘數(shù)末位減1，之后隔一位加上乘數(shù)。其“金蟬脫殼訣法”同于“實如法而一”④，含義與《歷宗算會》等書中的不同。程大位《算法纂要》（1598）“雜法”條中提道：“按金蟬脫殼及二字算等法，用倍、折、進、除” [18]。華印椿認為程氏所說的“二字算”當是《盤珠算法》中的“二字奇法”[6]，但后者并沒有用到倍、折運算。

柯尚遷《數(shù)學(xué)通軌》（1578）中沒有“金蟬脫殼”一詞，目錄中有“金蟬法”[19]1168，分為“金蟬乘法義”“金蟬歸除義”[19]1182兩種算法進行介紹，與《九章比類》《歷宗算會》中的含義相似，不同之處在于，“金蟬乘法義”使用后乘法，《九章比類》和《歷宗算會》則使用前乘法。此外，《數(shù)學(xué)通軌》金蟬除法的說明中有“進二除倍，添一還原”，這與其前文“置一原法，又置一個半法”以及其后所載例解不相符。

程大位《算法統(tǒng)宗》（1592）卷十七“雜法”中有“金蟬脫殼，又名乘除易會算訣”[20]，分別介紹了“因乘”法和“九歸并除”法歌訣（圖1）及例題，乘法含義與《九章比類》等書中的相同，但歌訣更簡便，且對定位問題有說明。除法則與《九章比類》等書中的不同，歌訣為“加雙下除倍，加一下除原，倍一挨身除，余皆隔位遷”，使用除數(shù)及其二倍數(shù)進行運算，商數(shù)加2，被除數(shù)中減去除數(shù)之二倍數(shù);商數(shù)加1，被除數(shù)中減去除數(shù);除數(shù)之二倍數(shù)的首位是1時，商數(shù)挨著被除數(shù)放置，否則商數(shù)與被除數(shù)相隔一位。華印椿認為程大位誤解“九歸并除歌”[6]，程氏闡述金蟬除說：“隔一位除也，只用一原法，而無倍折數(shù)”，華先生認為隔一位除者不限于原法，凡是倍數(shù)不進位時，都應(yīng)當隔位除。但這幾句是對“二句字訣”（圖1）歌訣“有除隔位進，無除挨身進”的說明，并非對“九歸并除法”的說明。而程氏所載“二句字訣”與《盤珠算法》中“二字奇法”相似，只用原除數(shù)進行運算，不使用除數(shù)之倍、折數(shù)。此后，《算海說詳》（1659）[21]、《數(shù)度衍》（1661）[22]、《算牖》（1811）[23]768所載“金蟬脫殼”均與《算法統(tǒng)宗》中的含義大致相同。

潘逢禧《算學(xué)發(fā)蒙》（1882）稱“金蟬脫殼法即飛歸飛乘法，俗名蠢子數(shù)。皆以加減代乘除。雖布算稍嫌重疊，淺明易曉，極便童蒙，特附于此。”[24]后面分別介紹了“飛乘歌訣”和“飛歸歌訣”，與《算法統(tǒng)宗》所載也基本相同。但是這里難免會給后世學(xué)者造成誤解和困擾，因為在此之前就有“飛歸”算法，如楊輝《算法通變本末》“習算綱目”條中有“穿除，又名飛歸，不過就本位商數(shù)除而已”[25]，王文素《算學(xué)寶鑒》中亦有“飛歸口訣”，與《算學(xué)發(fā)蒙》中的“飛歸”完全是兩類算法。不過潘氏對“金蟬脫殼法”的評價比較中肯，此方法雖然稍微煩瑣，但是淺顯易懂，便于初學(xué)者和知識淺陋者理解和掌握。

綜上，“金蟬脫殼”一詞并非首見于《盤珠算法》，《九章正明算法》《百川書志》《歷宗算會》等書中就有記載，此方法首載于《九章比類》，名曰“乘除易會算訣”，或許是根據(jù)該算法的特點又取名為“金蟬脫殼”法。除了《盤珠算法》中所載“金蟬脫殼”法是以加減代除法運算，且只用原除數(shù)進行運算，與“實如法而一”相同?！敖鹣s脫殼”在數(shù)學(xué)中的本意是指用加減法代替乘除運算，即包含乘、除兩種算法。其中，乘法一般是使用乘數(shù)及其二倍數(shù)進行運算，被乘數(shù)中減1，得數(shù)加乘數(shù)一次，被乘數(shù)中減2，得數(shù)加乘數(shù)之二倍數(shù)一次，有的得數(shù)置于被乘數(shù)之前，有的置于被乘數(shù)之后。除法最開始是使用除數(shù)及其半數(shù)進行計算，即商數(shù)加1，被除數(shù)中減去除數(shù)一次，商數(shù)加5，被除數(shù)中減去除數(shù)之半數(shù)一次。后來又出現(xiàn)了使用除數(shù)及其二倍數(shù)進行運算的金蟬除法，即商數(shù)加1，被除數(shù)中減去除數(shù)一次，商數(shù)加2，被除數(shù)中減去除數(shù)之二倍數(shù)一次，不同算書中對商數(shù)的擺放位置有不同說明。這類算法的主要特點是不使用九九或歸除口訣，易學(xué)易會，但計算過程繁復(fù)，不能說是一種快速的運算方法。

二 古算術(shù)語“金蟬脫殼”的演變

（一）“金蟬脫殼”術(shù)語的演變

除了“乘除易會算訣”，“金蟬脫殼”法還有其他名稱，如《歷宗算會》中稱“金蟬脫殼”法為“連環(huán)算法”，《數(shù)度衍》稱“乘除捷法，即金蟬脫殼法”。

梅文鼎《歷算全書》（1723）“古算衍略”記載了“歸除捷法”，口訣曰：“多上空加一，依前除莫疑，少前隨上五，折半數(shù)除之，無除隨上一，化下照前除”[26]，不使用九歸口訣，利用除數(shù)及其半數(shù)進行運算，根據(jù)不同情形對商數(shù)的位置進行了詳細說明，可知也是“金蟬脫殼”法。《算牖》在“金蟬脫殼”之后介紹了“酌定梅氏歸除捷法”[23]768-769，除去“歸除捷法”中間兩句，只記前后四句歌訣，但所舉例題采用商除法進行運算，與歌訣和說明不相符。無獨有偶，羅士琳《比例匯通》（1818）卷一載有“西洋總訣”，口訣為“多隔上一，以前數(shù)除之;無隨身一，以前數(shù)除之;少前多后隨身五，以后數(shù)除之;法一身多隔上五，以后數(shù)除之”[27]，隨后解釋說“此即如金蟬脫殼，加雙下除倍，加一下除原……”，但其后例解所介紹的并非類于金蟬脫殼法，而是商除法，看來也是混淆了兩種方法。

此外，華印椿《珠算速計法》介紹了“趙氏新口訣除法”[28]，其中“簡除”法，與梅氏“歸除捷法”歌訣基本相同，也是金蟬脫殼法。施伯珩《商業(yè)應(yīng)用珠筆算合璧》記載了“加減代乘除法”[29]，稱“以加減代乘除法者，所謂金蟬脫殼法是也”，所載歌訣與《算法統(tǒng)宗》中的大體相同。

可見，由于種種原因，很多算書不再直接將“金蟬脫殼”作為該算法的名稱，而出現(xiàn)了很多別名。還有的算書，直接混淆了“金蟬脫殼”法和商除法。

（二）“金蟬脫殼”含義的演變

除了術(shù)語的變化，有的數(shù)學(xué)家則在“金蟬脫殼”法的基礎(chǔ)上發(fā)明了新的算法，含義也隨之發(fā)生了變化。如《數(shù)度衍》中所載“乘除新法”[22]：

歸除訣曰：進一空除原，進二空除倍，進二隨除倍，進五空除半，進五隨除半。

因乘訣曰：除一空加原，除二空加倍，除二隨加倍，除五空加半，除五隨加半。

每句口訣后有對應(yīng)說明，用以明確商數(shù)和積數(shù)的擺放位置。計算時同樣不使用口訣，不論乘除法，均使用乘數(shù)（或除數(shù)）及其二倍數(shù)和半數(shù)進行運算，可以說是綜合了《九章比類》和《算法統(tǒng)宗》中的算法，對“金蟬脫殼”法進行了擴展。

再后來出現(xiàn)的剝皮乘除法、湊倍乘除法、扒皮法等可以說是“金蟬脫殼”法的進一步發(fā)展。如《珠算教程》將“剝皮乘法”[30]86-90作為珠算的基本乘法之一進行介紹，也稱之為“湊倍乘法”。此書總結(jié)了這種方法的三句口訣，即“一、二、三，加幾遍;四、五、六，改作半;七、八、九，當十算”，也可簡稱為“單、雙、半”倍數(shù)法，針對不同情形，靈活使用乘數(shù)及其半數(shù)、二倍數(shù)進行運算。具體地說，若被乘數(shù)某位是1（或2、3），被乘數(shù)中減去1（或2、3），從其右位起加一（或二、三）次乘數(shù)，類似于“去一添原”;若被乘數(shù)某位是5，則被乘數(shù)中減去5，從其本位起加乘數(shù)之半數(shù);若被乘數(shù)某位是6（或4），則被乘數(shù)中減去6（或4），從其本位起加乘數(shù)之半數(shù)，再從其右一位起加（或減去）一個乘數(shù);若被乘數(shù)某位是7（或8、9），則從被乘數(shù)中減去7（或8、9），從本位起加一次乘數(shù)，再從其右一位起減去三（或兩、一）次乘數(shù)。其中，需要用到加或減兩次乘數(shù)時，也可直接使用乘數(shù)之二倍數(shù)進行運算。因此，書中還介紹了心算二、五倍法。

此書也介紹了珠算的基本除法之一：“剝皮除法”[30]141-151，也叫“累減法”或“倍數(shù)法”，根據(jù)商數(shù)放置位置的不同又分成隔位剝皮除法和不隔位（挨位）剝皮除法兩類算法，實則方法相同。如隔位剝皮除法的口訣可大致歸納為：“大數(shù)空加幾，隔位減幾除;小半隨進幾，隔位減幾除;夠半隨進五，不隔減半除;數(shù)近下加除，加到夠減時，左位上商數(shù)，不隔減除數(shù)”。具體地說，當被除數(shù)大于或等于除數(shù)，則在被除數(shù)之左隔一位上商1，后在商之右隔一位上減去除數(shù);若相同位數(shù)相比，被除數(shù)不足除數(shù)的一半，則在被除數(shù)之左挨位商1，再于商之右隔一位上減去除數(shù);若相同位數(shù)相比，被除數(shù)小于除數(shù)，但達到除數(shù)的一半，則在被除數(shù)之左挨位上商5，再于商之右挨位減除數(shù)之半數(shù);若相同位數(shù)相比，被除數(shù)雖小于除數(shù)，但與之接近，則在被除數(shù)之第二位起加上一個除數(shù)，再于被除數(shù)之左挨位商9，最后在商之右位減去除數(shù)……雖然也是使用除數(shù)及其半數(shù)、二倍數(shù)進行運算，但可采用的算法類型有“直減”“湊倍減”“湊十減”三種，規(guī)則較多，增加了初步估商的難度。針對此類除法，《世界珠算通典》中還介紹了“小扒皮”“大扒皮”“商一法”“商二法”“商五法”“商九法”等等，運算規(guī)則更多。

總之，在金蟬脫殼法的發(fā)展過程中，出現(xiàn)了越來越多不同的術(shù)語來表示這種算法，有的算法的含義也相應(yīng)發(fā)生了變化，從而發(fā)展出了新的算法。如湊倍乘除法、剝皮乘除法、扒皮法等都是由“金蟬脫殼”法發(fā)展而來，雖然仍使用乘數(shù)（或除數(shù)）及其半數(shù)（或五倍數(shù)）和二倍數(shù)進行運算，但運算規(guī)則增多，相較于金蟬脫殼法復(fù)雜得多，理解起來也比之困難。運算中若遇被乘數(shù)或被除數(shù)某位數(shù)字較大，則需湊五、湊倍或湊十算，因此需靈活掌握計算方法。特別是除法運算時，初步估商的難度增大，出錯的概率也更大。

三 結(jié) 語

上面考察了一些珠算辭典或著作對“金蟬脫殼”及其相關(guān)術(shù)語的解釋，通過對古代數(shù)學(xué)著作中有關(guān)“金蟬脫殼”及其相關(guān)術(shù)語的分析，我們發(fā)現(xiàn)有些解釋存在不少問題，不符合歷史事實。特別是有些珠算辭典對“金蟬脫殼”等術(shù)語的介紹，沒能充分體現(xiàn)出“金蟬脫殼”的含義及特點，還混淆了金蟬脫殼和湊倍乘除、剝皮乘除法等術(shù)語的含義，沒有正確表述金蟬脫殼法與其相關(guān)算法的區(qū)別。

總的來說，“金蟬脫殼”是以加減代替乘除運算的一種簡易算法，由“實如法而一”發(fā)展而來，含義與之相似，不同的是使用乘數(shù)（或除數(shù)）及其半數(shù)或二倍數(shù)進行運算。后來發(fā)展到使用乘數(shù)（或除數(shù)）及其半數(shù)（或五倍數(shù)）和二倍數(shù)進行運算，但都是直加、直減，比較簡便且容易理解和掌握?，F(xiàn)在由之發(fā)展起來的湊倍乘除等算法，需要針對被乘數(shù)或被除數(shù)的不同情況，而選擇采用直加（減）、湊倍加（減）或湊十加（減）等法則進行計算，運算規(guī)則增多但也不失為一種簡算法。它們的共同特點是，除了計算乘數(shù)（或除數(shù)）之倍數(shù)時可能會用到九九口訣，運算過程中不使用口訣，只用到加減法。

注釋

① 中國古代在計算除法時，用“法”指除數(shù)，后來也被用于乘法運算，指乘數(shù)。

② 中國古代在計算除法時，用“實”指被平分的數(shù)，即被除數(shù)，后來也被用于乘法運算，指被乘數(shù)。

③ 原文作“八”，今校改為“分”。

④ “實如法而一”是中國古代除法術(shù)語，本義是實中有一個法，就得一。言外之意是實中有幾個法就得到幾。

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