廖慶洪 鄧偉燦 文健 周南潤 劉念華

1) (南昌大學(xué)電子信息工程系,南昌 330031)

2) (清華大學(xué)物理系,低維量子物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100084)

3) (南昌大學(xué)高等研究院,南昌 330031)

1 引 言

超導(dǎo)量子電路作為人工設(shè)計(jì)的量子力學(xué)系統(tǒng),顯示了宏觀的量子相干性,可以用來研究量子光學(xué)和原子物理的現(xiàn)象[1].在超導(dǎo)量子電路中,超導(dǎo)傳輸線諧振器代替?zhèn)鹘y(tǒng)的光學(xué)腔,超導(dǎo)量子比特扮演自然原子的角色.超導(dǎo)量子比特作為宏觀的人工原子,其他超導(dǎo)量子器件,例如超導(dǎo)傳輸線、機(jī)械納米振子等的強(qiáng)耦合,可以實(shí)現(xiàn)一種嶄新的全固態(tài)的腔量子電動(dòng)力學(xué)(cavity quantum electrodynamics,C-QED)結(jié)構(gòu),而且這些人工的原子和光場(chǎng),具有以前微腔QED沒有的可控性和可集成化的優(yōu)點(diǎn).包含超導(dǎo)量子比特和納米機(jī)械振子的混合量子電路是另一種新興的混合量子系統(tǒng)[2].這種混合量子電路的有趣的理論研究和有實(shí)質(zhì)性進(jìn)展的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,證明了該系統(tǒng)可以作為未來量子器件,并擁有廣泛的應(yīng)用[2?4].

2010年,加州大學(xué)O'Connell等[5]發(fā)現(xiàn)機(jī)械諧振器在超低溫(超導(dǎo))條件下的振動(dòng)可以激發(fā)量子效應(yīng),產(chǎn)生單個(gè)量子(聲子).隨后,清華大學(xué)Liu等[6]根據(jù)這個(gè)實(shí)驗(yàn),研究了納米機(jī)械諧振器(nanomechanical resonator,NAMR)中的聲子阻塞效應(yīng).聲子阻塞,顧名思義,類似于光子阻塞[7],是一種純量子現(xiàn)象.這種現(xiàn)象是在非線性機(jī)械振蕩器[8]中,第一個(gè)聲子被外部驅(qū)動(dòng)場(chǎng)激發(fā),第二個(gè)聲子被第一個(gè)聲子阻擋導(dǎo)致不能傳輸.光子阻塞效應(yīng)的一項(xiàng)重要應(yīng)用是可以用于實(shí)現(xiàn)理想的單光子源[9,10],而聲子阻塞效應(yīng)同樣可以作為實(shí)現(xiàn)單聲子源的機(jī)制之一[11,12].類比于產(chǎn)生光子阻塞的兩種機(jī)制,聲子阻塞同樣地對(duì)應(yīng)兩種發(fā)生機(jī)制.聲子阻塞的實(shí)現(xiàn)有兩種主要的物理機(jī)理: 基于失諧機(jī)制的聲子反聚束需要較大的非線性來改變系統(tǒng)的能級(jí)結(jié)構(gòu),這被稱為傳統(tǒng)聲子阻塞(conventional phonon blockade,CPNB)[13?16].除了第一種物理機(jī)理外,還可以獲得強(qiáng)聲子反聚束,即利用雙聲子激發(fā)的不同路徑產(chǎn)生的破壞性干涉,即使在非線性遠(yuǎn)小于腔模的衰減率(弱非線性)的條件下也能實(shí)現(xiàn),稱為非傳統(tǒng)聲子阻塞(unconventional phonon blockade,UPNB)[16?19].

自發(fā)現(xiàn)聲子阻塞效應(yīng)起,國內(nèi)外人員對(duì)這種物理現(xiàn)象進(jìn)行了大量的研究.例如雙光力系統(tǒng)中,光子和聲子不同耦合路徑的干涉產(chǎn)生的光譜差別[20]、光學(xué)模式與機(jī)械模式之間產(chǎn)生的二階非線性相互作用導(dǎo)致的強(qiáng)聲子反聚束現(xiàn)象[21]、機(jī)械諧振器與兩能級(jí)系統(tǒng)耦合的光力系統(tǒng)的雙色二階邊帶的生成[22].多模光力系統(tǒng)[23]、有限溫度下耦合非線性微米/納米機(jī)電系統(tǒng)的諧振器的聲子反聚束效應(yīng)并與熱噪聲的關(guān)系[24]、機(jī)械振動(dòng)位移的平方耦合的聲子阻塞現(xiàn)象研究[25]、光聲阻塞現(xiàn)象[26]、俘獲多個(gè)離子的庫侖晶體中聲子阻塞研究[27]等.

最近,關(guān)于非厄米哈密頓量的系統(tǒng)特性研究得到大量關(guān)注[28?44].其中包含了量子糾纏[28]、蘭姆位移[31]、光子統(tǒng)計(jì)特性[44]等.本文研究 NAMR-量子比特系統(tǒng)中的聲子統(tǒng)計(jì)性質(zhì),其中的系統(tǒng)是由一個(gè)納米機(jī)械諧振器耦合一個(gè)超導(dǎo)量子比特(以下簡稱量子比特)組成.這里利用了非厄米哈密頓量的零本征值方法,并假設(shè)κ<0,研究了 NAMR-量子比特系統(tǒng)中的聲子統(tǒng)計(jì)特性.同時(shí)給出探測(cè)聲子阻塞或聲子統(tǒng)計(jì)特性的方法.

2 NAMR-量子比特系統(tǒng)的物理模型

圖1研究的是由一個(gè)納米機(jī)械諧振器(右邊)耦合一個(gè)量子比特(左邊)組成的物理系統(tǒng).納米機(jī)械諧振器受到一個(gè)強(qiáng)度為ε的外加場(chǎng)驅(qū)動(dòng),量子比特受到一個(gè)強(qiáng)度為?的外加場(chǎng)驅(qū)動(dòng).整個(gè)系統(tǒng)的哈密頓量為[16]

其中 ?=1,σ+和σ?是量子比特的上升和下降算符,其躍遷頻率是ω0;a和a+表示 NAMR 中聲子的湮滅和產(chǎn)生算符,其頻率是ωm;g是量子比特與NAMR的耦合強(qiáng)度; 量子比特的外加驅(qū)動(dòng)場(chǎng)振幅是?,頻率是ωq; NAMR的外加驅(qū)動(dòng)場(chǎng)振幅是ε,頻率是ωa;?是兩個(gè)外加驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的相位差.

假設(shè)兩個(gè)外加驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的頻率相同且量子比特與 NAMR 的頻率相同,即ωq=ωa=ωd和ω0=ωm,在以入射光頻率旋轉(zhuǎn)的框架中,得出哈密頓量:

這里失諧量?≡ω0?ωd=ωm?ωd.

圖1 NAMR-量子比特系統(tǒng)的物理模型圖Fig.1.Schematic diagram of the nanomechanical resonator coupled with a qubit.

3 非厄米哈密頓量作用下的聲子阻塞效應(yīng)的零本征值

3.1 聲子阻塞的條件分析

考慮機(jī)械模衰減率κ和量子比特自發(fā)輻射速率γ.所以,整個(gè)系統(tǒng)可以用非厄米哈密頓量描述為

考慮系統(tǒng)總激發(fā)數(shù)為n+1,在基矢和下,可得到非厄米哈密頓量的矩陣形式:

考慮弱驅(qū)動(dòng)的條件,即系統(tǒng)參數(shù)?,ε?|κ|.

分析(4)式中的矩陣,可得知其兩個(gè)特征值:

在弱驅(qū)動(dòng)條件下,考慮系統(tǒng)激發(fā)數(shù)為1,即n=0.而且要使得(5)式特征值取到實(shí)數(shù),則滿足條件

此時(shí),兩個(gè)特征值可以化簡為

當(dāng)?=?g時(shí),這一對(duì)特征值相等并且取得最小值0.此時(shí)可以知道特征值為零的條件為:

由圖2中的系統(tǒng)能級(jí)可知,系統(tǒng)參數(shù)條件滿足(8)式或(9)式時(shí),可出現(xiàn)聲子阻塞現(xiàn)象.

在我們的方案中,γ設(shè)為正數(shù),κ設(shè)為負(fù)數(shù).事實(shí)上,在光學(xué)腔中,腔模衰減率κC<0 已被廣泛地研究[45,46],而且已經(jīng)有實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了這個(gè)參數(shù)[47?51].本文基于此,做出了相應(yīng)的假設(shè),即聲子場(chǎng)衰減系數(shù)κ<0.實(shí)際上已有實(shí)驗(yàn)通過相干驅(qū)動(dòng)聲子技術(shù)[5,52?54]、引入聲子激光[55?57]和直接驅(qū)動(dòng)機(jī)械振子[58,59]等方式來提供機(jī)械增益.這里簡要討論直接驅(qū)動(dòng)納米機(jī)械諧振器來產(chǎn)生力學(xué)增益的可能性[60].外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)在可分辨邊帶條件下,對(duì)應(yīng)于納米機(jī)械諧振器中聲子冷卻的斯托克斯散射過程被極大抑制,給納米機(jī)械諧振器提供能量的反斯托克斯過程得到了增強(qiáng)并占主要優(yōu)勢(shì).

3.2 數(shù)值模擬方法

通過計(jì)算系統(tǒng)的主方程來研究二階關(guān)聯(lián)函數(shù).系統(tǒng)的密度矩陣為:

只需關(guān)注穩(wěn)態(tài)時(shí)的情況,即?ρ/?t=0.通過二階關(guān)聯(lián)函數(shù)g(2)(0) 來研究聲子的統(tǒng)計(jì)特性.

3.3 結(jié)果分析

下面通過計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬分析研究聲子阻塞效應(yīng),比較和分析(8)式和(9)式.系統(tǒng)中腔模的希爾伯特空間被截取到5維,以耗散率γ作為基本單位來設(shè)定其他參數(shù).圖3給出了不同條件下(g/γ=0.5,2.0,4.0)g(2)(0) 與?/γ的關(guān)系圖,可以得出出現(xiàn)聲子阻塞的特點(diǎn).

1)g/γ=0.5,當(dāng)出現(xiàn)g(2)(0) 的波谷,即g(2)(0)?1時(shí),對(duì)應(yīng)于強(qiáng)聲子反聚束現(xiàn)象.此時(shí)?/γ=0,與 (8)式相對(duì)應(yīng).

2)g/γ=2,當(dāng)出現(xiàn)g(2)(0)?1 時(shí),此時(shí)?/γ=±2,對(duì)應(yīng)于 (9) 式.也就是說,在條件g/γ=0.5 下比在條件g/γ=2 下出現(xiàn)的反聚束現(xiàn)象更強(qiáng).這是因?yàn)檫@里只取了的一個(gè)近似值.只要隨著g的增大,近似效果越明顯,反聚束效應(yīng)就會(huì)越強(qiáng),例如圖3中的g/γ=4.

圖3 在不同的 g /γ 關(guān)系下,二階關(guān)聯(lián)函數(shù) g(2)(0) 與 ?/γ的關(guān)系圖 (a) κ /γ=?1,ε /γ=0.1,?=0,ε=0 ;(b) κ /γ=?1,? /γ=0.1,ε=0,?=0Fig.3.Logarithmic plot (of base e) of the zero-delay-time second-order correlation functions g(2)(0) as a function of?/γ for different g /γ with κ /γ= ?1 : (a) ε /γ=0.1,?=0,ε=0 ; (b) ? /γ=0.1,ε=0,?=0.

3.4 與CPNB和UPNB比較

現(xiàn)在討論在非厄米特哈密頓量作用下產(chǎn)生聲子阻塞效應(yīng)在零本征值下的物理機(jī)理.

圖4描述了基于不同路徑干涉的情況下的聲子阻塞現(xiàn)象的能級(jí)情況.綠色箭頭描述的是第一條路徑藍(lán)色箭頭是第二條路徑其中分別是衰 減到衰減到的衰減率.

物理原理上分析,能級(jí)分裂決定了聲子阻塞效應(yīng)的類型是UPNB還是CPNB.對(duì)于(8)式或者(9) 式的情況,驅(qū)動(dòng)場(chǎng)頻率ωd如果等于那就滿足了單激發(fā)數(shù)共振條件,同時(shí)產(chǎn)生單聲子的可能性就大大增加.在這里,由于失諧,產(chǎn)生雙聲子的可能性并沒有像單聲子那樣大.

圖4 UPNB 能級(jí)圖Fig.4.Schematic energy-level diagram of unconventional phonon blockade.

在少聲子數(shù)近似下,系統(tǒng)的態(tài)矢量可寫作[16]:

在弱驅(qū)動(dòng)的條件下,二階關(guān)聯(lián)函數(shù)

圖5比較了CPNB,UPNB和本文方案的區(qū)別.不管是在強(qiáng)非線性還是弱非線性的限制下,本文方案都可以實(shí)現(xiàn)聲子的反聚束現(xiàn)象.實(shí)現(xiàn)該方案的物理機(jī)理和CPNB相同,都是由于失諧所造成的聲子的反聚束.實(shí)現(xiàn)CPNB的最佳條件如下:

這些最佳條件同時(shí)也分析了κ與γ之間的定量關(guān)系.這是因?yàn)閮H僅考慮了(2)式中的特征頻率,而沒有引入κ與γ.這就導(dǎo)致了在?=|g| 的條件下,不能得到 |g|=γ/2 這個(gè)條件(見圖6),而只能注意到?=|g|=0.本文方案最顯著的特點(diǎn)就是加入了κ/γ=?1這個(gè)條件.事實(shí)上,如果(9)式中的條件變?yōu)棣?0 和γ>0,那么就變成了 (13) 式,也就是說變?yōu)榱薈PNB.

圖5 本文方案與 CPNB 和 UPNB 的區(qū)別Fig.5.Different parameter range for the CPNB,the UPNB,and the present scheme.

圖6 二階關(guān)聯(lián)函數(shù) g(2)(0) 和平均聲子數(shù)的對(duì)數(shù)圖像 (a),(b) ε /γ=0.1,?=0 ; (c),(d) ? /γ=0.1,ε=0,?=0.其他參數(shù)為 κ /γ=?1.Fig.6.The logarithmic plot (of base e) of the zero-delay-time second-order correlation functions g(2)(0) and average photon numberN: (a) and (b) ε /γ=0.1,?=0 ; (c) and (d) ? /γ=0.1,ε=0,?=0.The shared parameters: κ /γ=?1.

圖7 二階關(guān)聯(lián)函數(shù) g(2)(0) (對(duì)數(shù)) 與 ? /γ 的關(guān)系圖,其中 ε /γ=0.1,?=0 (a) g /γ=0.5,κ /γ=?1 (本文方案),κ/γ=1(UPNB); (b) g /γ=5,κ /γ= ?1 (本文方案),κ /γ=1 (CPNB)Fig.7.The logarithmic plot (of base e) of the zero-delay-time second-order correlation functions g(2)(0) as a function of ? /γ.The shared parameters: ε /γ=0.1,?=0.Other parameters: (a) g /γ=0.5,κ /γ=?1 (our scheme),κ /γ=1 (UPNB); (b) g /γ=5,κ/γ=?1 (our scheme),κ /γ=1 (CPNB).

圖8 二階關(guān)聯(lián)函數(shù) g(2)(0) (對(duì)數(shù)) 與 ? /γ 的關(guān)系圖,?=0,ε=0,?=0 (a) ? /γ=0.1,g /γ=0.5,κ /γ=?1 (本文方案),κ/γ=1 (UPNB); (b) ? /γ=2,g /γ=10,κ /γ=?1 (本文方案),κ /γ=1 (CPNB)Fig.8.The logarithmic plot (of base e) of the zero-delay-time second-order correlation functions g(2)(0) as a function of ? /γ :?=0,ε=0,?=0.Other parameters: (a) ? /γ=0.1,g /γ=0.5,κ /γ=?1 (our scheme),κ /γ=1 (UPNB); (b) ? /γ=2,g/γ=10,κ /γ= ?1 (our scheme),κ /γ=1 (CPNB).

圖9 聲子統(tǒng)計(jì)特性探測(cè)模型Fig.9.The detecting model of the statistical properties of the phonons.

圖7和圖8比較了本文方案和CPNB,UPNB的不同.結(jié)果表明,在設(shè)定相應(yīng)的參數(shù)下,本文方案得出的聲子阻塞效果比其他兩種方案要好.這是因?yàn)榉嵌蛎坠茴D量的作用方式更貼合主方程.這就導(dǎo)致了在其他條件相同時(shí),本文方案會(huì)比直接使用(2)式的更精確.CPNB的觸發(fā)是由于聲子場(chǎng)頻率與驅(qū)動(dòng)場(chǎng)頻率不同步(失諧)而導(dǎo)致的,而UPNB的觸發(fā)是通過兩個(gè)不同路徑的量子干涉產(chǎn)生的.因此,當(dāng)作用方式是量子干涉時(shí),聲子的反聚束會(huì)對(duì)干涉中的相位差極其敏感,所以干涉路徑的改變會(huì)使反聚束的區(qū)域發(fā)生劇烈變化.然而,在本文方案中,驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的改變導(dǎo)致量子干涉路徑的改變并不會(huì)對(duì)反聚束的物理環(huán)境產(chǎn)生影響.所以本方案中的強(qiáng)聲子反聚束與UPNB方案的物理機(jī)理不同.

4 聲子阻塞效應(yīng)的探測(cè)

通過測(cè)量光學(xué)腔場(chǎng)的輸出光子的相關(guān)性,可以間接觀測(cè)到NAMR中的聲子阻塞現(xiàn)象.對(duì)于NAMR-量子比特系統(tǒng),我們參照了文獻(xiàn)中的測(cè)量方法[16].在最近的實(shí)驗(yàn)中,一個(gè)量子比特耦合一個(gè)NAMR以后,NAMR再耦合一個(gè)超導(dǎo)腔組成了一個(gè)三體系統(tǒng)[61].假設(shè)這個(gè)超導(dǎo)光腔通過輻射壓相互作用耦合到NAMR,就可以通過研究超導(dǎo)光腔中的光子統(tǒng)計(jì)特性,來研究NAMR中的聲子統(tǒng)計(jì)特性,從而觀察NAMR中的聲子阻塞現(xiàn)象.聲子統(tǒng)計(jì)特性探測(cè)模型見圖9.

假設(shè)超導(dǎo)腔的驅(qū)動(dòng)頻率為ωb,在以入射光頻率ωb旋轉(zhuǎn)的框架中,整個(gè)系統(tǒng)的總哈密頓量為

其中b和b+表示超導(dǎo)腔中光子湮滅和產(chǎn)生算符,超導(dǎo)腔的共振頻率為ωc;J是超導(dǎo)腔與NAMR的耦合強(qiáng)度;?c(假定為實(shí)數(shù))是超導(dǎo)腔的外加驅(qū)動(dòng)場(chǎng)振幅;?b滿足共振條件?b≡ ωc? ωb=ωm.

超導(dǎo)腔的腔模算符可以寫成量子波動(dòng)算符和穩(wěn)態(tài)平均場(chǎng)之和:b→b+α.這里α在頻率為ωb驅(qū)動(dòng)光場(chǎng)中的穩(wěn)態(tài)平均場(chǎng).在強(qiáng)驅(qū)動(dòng)的條件下,|α|?1.同樣地,可以將Hom再在旋波近似下,哈密頓量變?yōu)槠渲泄饬ο到y(tǒng)有效的耦合強(qiáng)度G=gα,同樣假定|G|?ωm,在相互作用哈密頓量的演化下,聲子場(chǎng)和腔場(chǎng)之間形成糾纏態(tài),探測(cè)腔場(chǎng)光子統(tǒng)計(jì)特性可以實(shí)現(xiàn)對(duì)聲子阻塞或聲子統(tǒng)計(jì)特性的探測(cè)[61].

5 結(jié) 論

研究了在非厄米哈密頓量作用下的NAMR-量子比特系統(tǒng)的零本征值條件下的聲子統(tǒng)計(jì)特性.充分利用了零本征值方法,通過分析和計(jì)算,得到了強(qiáng)聲子反聚束的最佳條件,同時(shí)引入二階關(guān)聯(lián)函數(shù)討論了聲子阻塞效應(yīng).通過主方程的穩(wěn)態(tài)求解,分析了各種條件對(duì)聲子阻塞的影響,結(jié)果發(fā)現(xiàn)都能很好地匹配聲子阻塞現(xiàn)象.比較了本方案與CPNB和UPNB的區(qū)別,發(fā)現(xiàn)本文方案在強(qiáng)非線性和弱非線性條件下都能實(shí)現(xiàn)強(qiáng)聲子反聚束現(xiàn)象.闡明了這種聲子阻塞的物理機(jī)理是不同于UPNB的失諧原理.最后,簡要分析了利用外加超導(dǎo)腔去間接地探測(cè)NAMR中的聲子統(tǒng)計(jì)特性的方法.本文的研究結(jié)果將在量子信息處理以及精密測(cè)量等研究領(lǐng)域具有重要的意義和應(yīng)用前景.