羊榮菡
摘 要?橢圓是圓錐曲線這一章節(jié)中的重要內(nèi)容,在解答題中我們經(jīng)常遇見與它相關(guān)的最值問題,其具有運(yùn)算量大,綜合性強(qiáng)等特點(diǎn).要解決這類問題往往將它轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域,一般利用函數(shù)單調(diào)性解,而均值不等式的應(yīng)用,對(duì)解分式函數(shù)提供了另外一個(gè)途徑.本文以教學(xué)中遇見的實(shí)例加以說明。
關(guān)鍵詞?橢圓;最值;均值不等式
中圖分類號(hào):O174.54,A 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1002-7661(2019)04-0200-02
在解析幾何解答題中經(jīng)常會(huì)遇到一類分式函數(shù)求最值問題,我們通過一道例題來探討它的一般解法。
例:已知圓,圓,動(dòng)圓P與圓M外切,與圓N內(nèi)切,記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為C。過點(diǎn)的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),求△AOB面積的最大值及此時(shí)直線l的方程。
解:由題知直線的斜率不為0,設(shè)直線為
所以面積的最大值為,此時(shí)直線的方程為。
思考1:實(shí)際課堂上,大部分學(xué)生做法有所不同,很多人不能解決問題。針對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的問題,分析整理如下:
改變直線方程的設(shè)法①可得:
②與橢圓方程聯(lián)立得
此時(shí),該如何求最值呢?先平方吧
探究一:接下來,觀察到分式的分子分母中出現(xiàn)x的齊次式,可采用分離常數(shù)
換元,令
從而,將分子中的參數(shù)t整體除到分母上(注意該參數(shù)能否為0,如果可以為0,需單獨(dú)考慮,此處,不再單獨(dú)討論)構(gòu)造出應(yīng)用均值不等式的結(jié)構(gòu)特征。
分離變量和換元再用基本不等式求解是解決二次分式的常規(guī)方法。
探究二:利用均值不等式
思考2:在解法一中也可以用均值不等式簡(jiǎn)化運(yùn)算如下:
S△AOB=× ??┃OQ┃×┃y1-y2┃
=
對(duì)分子應(yīng)用均值不等式,正好可以與分母相約,達(dá)到求得最值的目的。
“積定和最小”“和定積最大”注意:
①均值不等式成立的條件(各因式或項(xiàng)都取正值)②合理尋求各因式或項(xiàng)的積或和為定值③確定等號(hào)能夠成立。不滿足上述條件時(shí),要適當(dāng)進(jìn)行拆項(xiàng)。添項(xiàng)等變形。
參考文獻(xiàn):
[1]歐陽志輝.橢圓中的最值問題[J].中學(xué)數(shù)理化,2007(03).