三妙法求體積

翟愛(ài)國(guó)

在計(jì)算幾何體的體積時(shí)，有些問(wèn)題若按常規(guī)思路去解，往往解題過(guò)程繁冗或者計(jì)算量偏大，甚至無(wú)從下手.此時(shí)若能靈活巧變思維角度，捕捉問(wèn)題特征，往往能找到簡(jiǎn)明快捷的解題思路.本文將通過(guò)幾例來(lái)說(shuō)明解決體積問(wèn)題的三種方法.

一、等積轉(zhuǎn)換法

當(dāng)所給三棱錐的體積不便計(jì)算時(shí)，如能依據(jù)題設(shè)條件，細(xì)察幾何體的特征，合理地轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)和底面，往往有利于解決問(wèn)題.變換圖形是處理體積問(wèn)題最常用的策略.

例1 如圖1，在正方體ABCD-A1BlClDl中，AA1=2，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點(diǎn)，求三棱錐F-A1ED1的體積.

分析 本題求三棱錐F-A1ED1的體積.顯然，無(wú)論把該三棱錐的哪一個(gè)面當(dāng)做底面，其底面積與高都不易求，于是我們可以考慮轉(zhuǎn)化底面或頂點(diǎn)，使問(wèn)題獲解.

二、分割法

如果給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無(wú)法直接運(yùn)用時(shí)，適當(dāng)分割幾何體，化整為零，將一個(gè)不規(guī)則的幾何體轉(zhuǎn)化為幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的幾何體求體積，這是一種常用技巧.

例2 如圖2，已知正方體ABCD-A1BlCl D1的棱長(zhǎng)為“，E，F(xiàn)分別是棱AA1和CC，的中點(diǎn)，求四棱錐Al -EBFD1的體積.

分析 四棱錐的底面是菱形，所以連結(jié)對(duì)角線(xiàn)把四棱錐分割成體積相等的兩個(gè)三棱錐，故只要求出其中一個(gè)三棱錐的體積即可.

二、補(bǔ)形法

某些空間幾何體是某一個(gè)幾何體的一部分，在解題時(shí)，把這個(gè)幾何體通過(guò)“補(bǔ)形”補(bǔ)成完整的幾何體或置于一個(gè)我們更熟悉的幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的體積問(wèn)題，這是一種重要的解題策略——補(bǔ)形法.

例3 已知三棱錐P-ABC，其中PA=4，PB=PC=2，∠APB=∠APC=∠BPC=60°，求三棱錐P-ABC的體積.

分析 如圖4，取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)PD，AD，過(guò)P作PH⊥AD，垂足H，易證PH即為三棱錐PABC的高，由棱錐體積公式VP-ABC=1/3S△ABC·PH.

高PH的求解非常麻煩，有沒(méi)有更好的解法？我們可以考慮把三棱錐P-ABC補(bǔ)形成正四面體.