通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)認(rèn)識圓周角定理及其推論

鄭容

摘? 要：教師使用《幾何畫板》中的動態(tài)功能和度量功能，通過演示，讓學(xué)生在動態(tài)環(huán)境中觀察和發(fā)現(xiàn)圓周角和圓心角的關(guān)系，即在某些數(shù)量變化的過程中讓學(xué)生觀察不變的數(shù)量關(guān)系，在演示中，教師進(jìn)行了如下操作①圓周角的頂點(diǎn)在圓周上運(yùn)動②改變弧的大?、鄹淖儓A的大小，不僅讓學(xué)生獲得最直接的觀察思考，還從更廣泛的角度去驗(yàn)證學(xué)生的猜想，幫助學(xué)生更好地理解圓周角定理及相關(guān)推論，針對該班學(xué)生基礎(chǔ)較薄弱的實(shí)際，借助《幾何畫板》讓孩子更直觀的理解圖形的生成，不僅方便而且科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，具有充分的說服力。

關(guān)鍵詞：幾何畫板，圓周角定理，探索

在初三數(shù)學(xué)中，不少學(xué)生對《圓》一章的學(xué)習(xí)感到畏懼，面對抽象變化的圖形和定理感到含糊不解，因此課堂上我們老師想到了用《幾何畫板》模擬圖形的變化，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生更好地認(rèn)識圓周角定理及其推論

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)描述

1、了解圓周角的概念，通過畫圖、觀察、度量、歸納等方式探索發(fā)現(xiàn)“一條弧所對的圓周角與圓心角之間的關(guān)系”及其相關(guān)推論

2、能根據(jù)圓心與圓周角的位置關(guān)系對同弧所對的圓周角進(jìn)行分類，理解證明圓周角定理需要分三種情況的必要性，以及證明該定理時(shí)，可以把圓心在圓周角的內(nèi)部和外部兩種情況轉(zhuǎn)化成特殊情況（圓心在角的邊上）

3、結(jié)合圓周角定理的探索與證明的過程，進(jìn)一步體會分類討論，化歸的思想方法

二、學(xué)習(xí)內(nèi)容分析

1、學(xué)生要動手畫圓周角，在動手操作中體會圓心與圓周角的三種位置關(guān)系

2、學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位，合作交流，先度量角的度數(shù)，再猜想，然后教師利用軟件在動態(tài)環(huán)境中驗(yàn)證

3、從特殊位置關(guān)系入手，再將其他一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形

4、在學(xué)習(xí)中，要讓學(xué)生充分動手，能夠以畫圖、觀察、度量、歸納等方式發(fā)現(xiàn)相關(guān)的結(jié)論

5、在學(xué)習(xí)中，注重領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中分類討論，化歸，由特殊到一般的思想

三、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)習(xí)本節(jié)課時(shí)，學(xué)生已經(jīng)具備一定的邏輯推理能力，但對于一個(gè)幾何命題要分情況證明的經(jīng)驗(yàn)還很缺乏。部分學(xué)生符合語言的運(yùn)用能力不足，學(xué)生有小組合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，課堂學(xué)習(xí)交流意識強(qiáng)

四、教學(xué)環(huán)節(jié)

環(huán)節(jié)1：學(xué)生閱讀課本，并觀察圖形，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形理解圓周角的概念1、頂點(diǎn)在圓上2、角的兩邊都和圓相交，接著學(xué)生思考并回答練習(xí)中的問題，鞏固對圓周角的理解

環(huán)節(jié)2：

1、學(xué)生畫圖，并觀察圖中∠BAC和∠BOC的位置關(guān)系，找到它們的關(guān)聯(lián)：都對著弧BC，從而誘發(fā)對兩角度數(shù)關(guān)系的思考，對兩角進(jìn)行度量，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系∠BAC=∠BOC

2、教師利用《幾何畫板》進(jìn)一步拖拽點(diǎn)A在圓周上運(yùn)動，和學(xué)生共同記下∠BCA和∠BOC變化的數(shù)據(jù)，用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證猜想

①圓周角的頂點(diǎn)在優(yōu)弧BC上運(yùn)動

②改變弧的大小

③改變圓的大小

3、把猜想用文字?jǐn)⑹鰹椋阂粭l弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

環(huán)節(jié)3：

1、學(xué)生進(jìn)一步畫圖：在圓上任意取弧BC，畫出圓心角∠BOC和圓周角∠BAC，教師同時(shí)提問：圓心與圓周角有幾種位置關(guān)系？

2、學(xué)生以小組為單位，交流并思考，得到圓心與圓周角的三種位置關(guān)系，并畫出來

①圓心圓周角的一邊上

②圓心在圓周角的內(nèi)部

③圓心在圓周角的外部

3、教師提問：如何證明一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？學(xué)生以小組為單位，結(jié)合三種位置的圖形，認(rèn)識到先情形①是特殊情況，此時(shí)如圖，A、O、B三點(diǎn)在同一條直線上，利用圓內(nèi)等腰三角形和外角性質(zhì)，證明比較簡單，討論后，請學(xué)生板書出證明過程

4、教師提問：在②③種情況下，又如何證明猜想是正確的？學(xué)生思考交流，嘗試解決問題，教師可根據(jù)學(xué)生的情況提示：將情形②③轉(zhuǎn)化為①，并共同完成證明如下

由情形①的證明可得：

∠BAD=∠BOD，∠CAD=∠COD

∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BOD+∠COD= （∠BOD+∠COD）= ∠BOC

學(xué)生再獨(dú)立完成③的證明，從而猜想是真命題，得到圓周角定理

5、教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)證明過程

①在動點(diǎn)問題中運(yùn)用分類討論

②研究數(shù)學(xué)問題可從特殊到一般，再將一般化為特殊情況，這種數(shù)學(xué)思想叫做化歸

③類比我們前面所學(xué)知識，進(jìn)一步認(rèn)識圖形中的數(shù)量關(guān)系

五、信息技術(shù)運(yùn)用

1、在環(huán)節(jié)1中，學(xué)生在⊙O中，觀察圓周角∠C，運(yùn)用《幾何畫板》的度量功能量出∠A的度數(shù)，用動畫功能使點(diǎn)C在圓周上自由的運(yùn)動，同時(shí)觀察∠C的度數(shù)可能有什么變化，學(xué)生可以很快發(fā)現(xiàn)∠A的度數(shù)在一定條件下只有有兩個(gè)可能，如41°和139°，且它們相加正好等于180°，教師再引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位討論歸納：是什么條件，可反復(fù)觀察圖形的生成，用相關(guān)的語言盡可能的描述，最后總結(jié)出：

①同弧所對的圓周角相等;

②同弦所對的圓周角相等或互補(bǔ);

③圓內(nèi)接四邊形的兩個(gè)對角的和為180°。

使用數(shù)學(xué)軟件模擬事物的變化，引起學(xué)生的興趣與積極性，并大大降低了原本數(shù)學(xué)問題探究上的難度，更重要的是，讓學(xué)生在事前獲得相關(guān)知識的情感體驗(yàn)，先學(xué)后教，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的歸納思維和推理思維，符合本班學(xué)生的認(rèn)知實(shí)際

2、環(huán)節(jié)2中，在1的基礎(chǔ)上連OB和OC，觀察圓心角∠BOC和∠A，，觀察兩角的度數(shù)變化①通過點(diǎn)A運(yùn)動改變∠A的位置，但所對的弧不變;②點(diǎn)A的位置始終不變，改變弧BC的大小，觀察兩角之間的大小關(guān)系，最后從中獲取若干組數(shù)據(jù)進(jìn)行對比歸納，學(xué)生從中學(xué)習(xí)科學(xué)研究事物變化的方法，猜想歸納，數(shù)學(xué)能力得到發(fā)展，更輕松的理解圓周角定理。

由上可以感受到老師對教材不再是照搬，而是根據(jù)學(xué)生知識的生成進(jìn)行了改造與整合，打破了先有定理再有推論的一貫教學(xué)。

在本課中，教師使用數(shù)學(xué)軟件《幾何畫板》中的動態(tài)功能和度量功能，通過演示，讓學(xué)生在動態(tài)環(huán)境中觀察和發(fā)現(xiàn)圓周角和圓心角的關(guān)系，即在某些數(shù)量變化的過程中讓學(xué)生觀察不變的數(shù)量關(guān)系，在演示中，教師進(jìn)行了如下操作①圓周角的頂點(diǎn)在圓周上運(yùn)動②改變弧的大小③改變圓的大小，不僅讓學(xué)生獲得最直接的觀察思考，還從更廣泛的角度去驗(yàn)證學(xué)生的猜想，幫助學(xué)生更好地理解圓周角定理及相關(guān)推論，針對該班學(xué)生基礎(chǔ)較薄弱的實(shí)際，借助《幾何畫板》讓孩子更直觀的理解圖形的生成，不僅方便而且科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，具有充分的說服力。