淺談抽屜原理在高中數(shù)學中的應用

何立姣

摘 要：抽屜原理是有德國科學家狄利克雷發(fā)現(xiàn)的，抽屜原理在一種揭示存在性的原理。抽屜原理在很多數(shù)學問題的運用中十分便捷，對于一些幾何、代數(shù)以及數(shù)論題的解決運用也十分的頻繁。因此如何讓學生掌握并能夠熟練運用抽屜原理不僅能夠幫助學生在解決一些數(shù)學問題的時候起到極大的幫助作用，掌握這一原理還能幫助學生建立正確的對數(shù)學院里的進一步認識，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，幫助學生實現(xiàn)全方面的發(fā)展。本文筆者將對抽屜原理的理論定義以及如何運用抽屜原理進行探討。

關(guān)鍵詞：抽屜原理;高中數(shù)學;數(shù)學模型;數(shù)學應用

一、什么是抽屜原理

抽屜原理又名狄利克雷原理，也被叫做鴿籠原理。抽屜原理是組合數(shù)學中一個最基本的原理，在組合數(shù)學的發(fā)展中起到了至關(guān)重要的作用在數(shù)學的學習研究中.我們也可以把它看作是一種重要的非常規(guī)解題方法，是非常規(guī)數(shù)學解題方法的重要類型，它主要用于證明某些存在型題目及必然性題目。使用該原理的關(guān)鍵在于如何巧妙制造抽屜，即如何找出合乎問題條件的分類原則，抽屜造得好，可得出非常精妙的結(jié)論。

簡單形式：如果n+1個物體被放進n個盒子，則必有一個盒子包含兩個或者更多的物體

一般形式：如果 m（m≥2）只鴿子飛進n個籠子，則必有一個籠子，在該籠子里至少有m-1/n二只鴿子

二、抽屜原理的解題步驟

利用抽屜原理解題過程中首先要注意指明什么是元素，什么是抽屜，元素進入抽屜的規(guī)則，以及在同一個抽屜里面，所有元素具有的性質(zhì)是怎樣的。成功的構(gòu)造抽屜是用抽屜原理解題的關(guān)鍵。有的題目運用一次抽屜原理就能解決，有的則需反復運用多次;有些問題明顯能夠用抽屜原理解決，但對于有些較復雜的問題則需要經(jīng)過一番剖析轉(zhuǎn)化才能用抽屜原理解決。

抽屜原理是處理存在性問題的有力工具，它在數(shù)學中的應用十分廣泛。解題的關(guān)鍵是在制造適合的“抽屜”，而制造抽屜的辦法是靈活多變的，不能生搬硬套某個模式，需要靈活運用。一般來講應用抽屜原理進行解題時，分為三個步驟：

步驟一：確定分類的對象有m個元素;

步驟二：制定分類規(guī)則，將m個元素分到n個抽屜，并證明每個抽屜中的元素符合題意;

步驟三：應用抽屜原理證明結(jié)論成立。

三、抽屜原理在數(shù)學試題中的應用

（一）應用抽屜原理解決代數(shù)學問題

代數(shù)學中的一些問題非常的抽象或復雜，解答起來比較困難，但對于一些問題利用抽屜原理來解決會起到好的效果。

例1證明：任意給定空間中九個格點（即坐標皆為整數(shù)的點），求證它們之中必有兩點，使連接這兩點的直線段內(nèi)部含有格點。

證明：設(shè)九個給定的格點為（xi，yi，zi）i=1，2，...，9，取各點的第一坐標x1，x2，...，x9，由抽屜原則知，其中必有五個具有相同的奇偶性，不妨設(shè)它們?yōu)閤1，x2，...，x5。取相應的第二坐標y1，y2，...，y5，同理可知，其中至少有三個點具有相同的奇偶性，不妨設(shè)為y1，y2，y3，其相應的第三坐標z1，z2，z3，同理知其中至少有兩個點有相同的奇偶性，不妨設(shè)為劃，z1、z2。

于是對于兩個點A（x1，y1，z1），B（x2，Y2，z2）來說x1與x2，y1與y2，z1與z2有相同的奇偶性，（x1十x2）/2，（y1+y2）/2，（z1十z2）/2 為整數(shù)，所以[（x1十x2）/2，（y1十y2）/2，（z1+z2）/2]為格點，此格點為AB中點。

（二）應用抽屜原理解決數(shù)論問題

在初等數(shù)論中，很多問題都可以看作存在性問題，所以可以考慮利用抽屜原理進行解決。

例2證明：在1，4，7，10，13，…，100中任意選出20個數(shù)，其中至少有不同的兩組數(shù)，其和等于104。

證明：給定的數(shù)共有34個，把這些數(shù)分成如下如下18個不相交的集合：{1}，{52}，{4，100}，{7，97}，…，{49，55}，且把它看成是18個抽屜。從已知的34個數(shù)中選20 個數(shù)，即使把前兩個抽屜中的數(shù)1和52都取出，則剩余的18個數(shù)在后面的16個抽屜中至少有不同的兩個抽屜中的數(shù)全部取出，這兩個抽屜中的數(shù)互不相同，并且每個抽屜中的兩個數(shù)的和都是104，因此題目得到證明。

（三）應用抽屜原理解決幾何問題

把握了抽屜原理的本質(zhì)后，就可以將它進行變形，比如在幾何問題中，例3證明：如果在長度為a的線段上放置若干條長度之和大于a的線段，則放置的線段中必有兩條有公共點少與其中四個圓有交點。

證明：將所有的已知圓投影到正方形的一條邊AB上，周長為l的圓周，其投影是長為1/π的圓周線段，因此所有已知圓周的投影長度之和等于10/π，由于10/π>3=3AB，所以由抽屜原理知線段AB上必有一點X，至少被四條投影線段所覆蓋.即至少有四條投影線段有公共點因此，過點X且垂直于AB的直線，至少與四個已知圓有交點。例題得證。

四、抽屜原理應用的好處

（一）發(fā)展學生數(shù)學思維

學生經(jīng)歷探究抽屜原理的過程，通過猜想、推理以及驗證等活動，既能初步了解抽屜原理，還能夠應用于實際。但是抽屜原理的應用廣泛且靈活多變，用抽屜原理來解決實際問題時，有時要找到實際問題與抽屜問題之間的聯(lián)系并不容易。因此，教學時，要引導學生先判斷某個問題是否屬于用抽屜原理可以解決的范疇，如果可以，再思考如何用抽屜問題的一般模型來解決該問題。不必過于追求學生說理的嚴密性，只要能結(jié)合具體問題把大致意思說出來就可以了，允許和鼓勵學生借助實物操作等直觀方式進行大膽的猜測，然后帶領(lǐng)學生進行驗證，學會思考數(shù)學問題的方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。

（二）培養(yǎng)學生建模思想

數(shù)學建模是利用數(shù)學方法解決實際問題的一種實踐。即通過抽象、簡化、假設(shè)、引進變量等處理過程后，將實際問題用數(shù)學方式表達，建立起數(shù)學模型，然后運用數(shù)學方法解決實際問題。抽屜問題的變式很多，應用更具靈活性。但能否將具體問題和抽屜問題聯(lián)系起來，能否找到問題中的具體情境和抽屜問題的一般化模型之間的內(nèi)在關(guān)系是影響能否解決該問題的關(guān)鍵。因此，在教學時要引導學生總結(jié)規(guī)律，建立抽屜問題的一般化模型。學好并應用好抽屜原理，不僅幫助學生解決一些用該原理能解決的問題，還能夠幫助學生建立一個正確的看待數(shù)學原理的出發(fā)點。

五、結(jié)語

抽屜原理看似簡單，但因為其實質(zhì)是揭示了一種存在性，比較抽象，如果只是理解，高中生還是比較好理解，但是要讓學生對抽屜原理有實質(zhì)性的理解并能熟練運用，就有一定的難度。在實際教學中要按照正確教學步驟來處理這個教學內(nèi)容，把準教學目標、運用恰當?shù)慕虒W方法，讓學生的數(shù)學思維能在在自主學習探究過程中得到發(fā)展。

參考文獻

[1]許可.抽屜原則在數(shù)學競賽中的應用[J].四川文理學院學報，2007，6：99.

[2]姜啟源.數(shù)學模型[M].北京：高等教育出版社，2006.