袁國(guó)慶

摘要：文章從教學(xué)中存在的若干低效現(xiàn)象入手，分析其原因，并通過理論研究，提出“固基礎(chǔ)·重思維·悟思想”三段式復(fù)習(xí)課課堂教學(xué)模式的建構(gòu)。

關(guān)鍵詞：高三數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);固基礎(chǔ);重思維;悟思想

一、研究緣起

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》提出，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。教育部印發(fā)的新高中課程方案和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)科育人功能，首次提出學(xué)科核心素養(yǎng)。其中，數(shù)學(xué)學(xué)科確定了高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個(gè)要素：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析?；跀?shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)除了傳授知識(shí)（包括數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理）之外，更要促使學(xué)生形成數(shù)學(xué)邏輯思維，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決現(xiàn)實(shí)問題，積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

浙江省高考命題以能力立意，將知識(shí)、能力和素養(yǎng)融為一體，既考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握程度，又考查其對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平，特別是考查數(shù)學(xué)思維能力和繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，體現(xiàn)了新課程的理念。從近幾年的高考試卷來看，試題注重通性、通法，淡化技巧，對(duì)學(xué)生的思維能力、

數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了較高的要求。面對(duì)這些試題，很多學(xué)生缺少有效的解決辦法，甚至很難上手。

《標(biāo)準(zhǔn)》已經(jīng)明確提出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教育要以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)為目標(biāo)。反觀我們的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)實(shí)際情況，卻存在著低層次的、低效的教學(xué)現(xiàn)象，導(dǎo)致這些現(xiàn)象出現(xiàn)的主要責(zé)任應(yīng)該由教師來承擔(dān)。

1.就題講題，思維過程被忽視

先講后練、先練再講是高三復(fù)習(xí)課的主旋律。一些教師在上復(fù)習(xí)課的時(shí)候往往是一題接著一題講，一講到底，始終以自我的解題思路為中心，以展現(xiàn)完整解答過程為終極目標(biāo)。殊不知，數(shù)學(xué)作為一門培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的學(xué)科，它的學(xué)習(xí)難度相對(duì)較大，解題過程中思路的由來、思維的形成才是學(xué)生真正需要的。這種就題講題、重解題結(jié)果而輕思維過程的教學(xué)顯然是低效的。

2.缺少歸類，思維品質(zhì)欠提高

雖然解題訓(xùn)練對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力是必不可少的，但是一些教師視題海戰(zhàn)為法寶，反復(fù)操練而缺少歸類與反思，實(shí)在難以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。這種低效的教學(xué)方式對(duì)高三學(xué)生緊張而有限的復(fù)習(xí)時(shí)間來講實(shí)在是一種浪費(fèi)。

針對(duì)以上現(xiàn)象，筆者認(rèn)為在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中要十分注重?cái)?shù)學(xué)思維的過程，切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高課堂教學(xué)的有效性，真正提高分析問題與解決問題的能力。

二、研究建構(gòu)

單墫教授說過，學(xué)數(shù)學(xué)如同下圍棋，必須實(shí)踐（做習(xí)題），必須和較高水平的人切磋（做有一定難度的題），棋力（數(shù)學(xué)水平）才有長(zhǎng)進(jìn)。此外，還需揣摩成局（學(xué)習(xí)定理的證明或著名問題的解法），領(lǐng)會(huì)其精髓（深刻的數(shù)學(xué)思想）。顯然，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的關(guān)鍵在于思維的提高和思想的領(lǐng)悟。

吳剛平教授在《教學(xué)方式變革的知識(shí)觀基礎(chǔ)》講座中提到：知識(shí)觀的核心是將知識(shí)分類，將學(xué)生的學(xué)習(xí)方式分類，可以將知識(shí)分類成“記中學(xué)”——理解、記憶、再現(xiàn)、判斷;“做中學(xué)”——解釋、推理、運(yùn)用、操作、拓展;“悟中學(xué)”——體驗(yàn)、反思、取舍、定向、創(chuàng)造。

基于以上觀點(diǎn)，筆者認(rèn)為一堂高效的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)該以學(xué)生的思維活動(dòng)為載體，即學(xué)生通過教師精心設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)行思考，在此基礎(chǔ)上圍繞學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)來開展過程教學(xué)，讓學(xué)生在課堂上經(jīng)歷思維啟動(dòng)、思維碰撞、思維提升的過程。筆者把這個(gè)過程總結(jié)為“固基礎(chǔ)·重思維·悟思想”三段式復(fù)習(xí)模式。

1.固基礎(chǔ)——思維啟動(dòng)

針對(duì)我校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱的實(shí)際情況，把打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作為第一要義。此部分主要以基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的復(fù)習(xí)和鞏固為主，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)做好鋪墊工作，一般用時(shí)控制在10分鐘以內(nèi)。通常選用兩種模式進(jìn)行。

模式1：知識(shí)陳述型。例如，在復(fù)習(xí)“三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)”時(shí)，由于涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，教師可以選用填表的形式或是學(xué)生集體回答、教師板書的形式完成。

模式2：?jiǎn)栴}解決型。例如，在復(fù)習(xí)“正弦定理和余弦定理”時(shí)，由于公式較少，教師可以設(shè)置若干練習(xí)，讓學(xué)生通過解題回顧并整理所涉及的知識(shí)、技能等，達(dá)到復(fù)習(xí)和鞏固的目的。

2.重過程——思維碰撞

此部分主要為例題、練習(xí)、變式教學(xué)等具體操作，為思維碰撞階段，占據(jù)課堂的大部分時(shí)間。在教學(xué)過程中，多采用啟發(fā)式教學(xué)、變式教學(xué)（一題多變、一題多解、一法多用）等，鼓勵(lì)學(xué)生合作交流。教師要通過問題的科學(xué)設(shè)計(jì)，給予學(xué)生足夠的時(shí)間和空間去思考和討論。值得注意的是，學(xué)生的思維過程需要先獨(dú)立體驗(yàn)后相互分享，教師需要做好的是引導(dǎo)和總結(jié)。

（1）引導(dǎo)學(xué)生思考。

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為，解題活動(dòng)并非一個(gè)機(jī)械地執(zhí)行事先確定好的程序的過程，而是一個(gè)需要對(duì)之進(jìn)行不斷調(diào)整的過程，解題過程中的反思尤為重要。

在“重過程”的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)給予學(xué)生獨(dú)立思考問題、解決問題的條件和機(jī)會(huì)。當(dāng)一種方法、一個(gè)方面不能解決問題時(shí)，應(yīng)該主動(dòng)讓思維向另一種方法、另一個(gè)方面跨越，對(duì)已知信息進(jìn)行多方向、多角度的聯(lián)想，努力通過自己的思考來解決問題。例如，在解題后，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)與歸納，如題目特點(diǎn)與方法的適用性、解題過程的成效與得失、汲取的經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)等，尋找發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的最佳方案;也可以從思維策略的高度對(duì)學(xué)習(xí)或解題過程進(jìn)行總結(jié)，對(duì)問題進(jìn)行推廣與深化。

（2）組織學(xué)生交流。

沒有激烈爭(zhēng)辯的課堂注定黯然失色。如果能實(shí)現(xiàn)學(xué)生在課堂上主動(dòng)交流觀點(diǎn)，甚至產(chǎn)生較大程度和范圍的思維碰撞，這樣對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)而言必定是簡(jiǎn)單而深刻的。

一位哲學(xué)家說過，你有一個(gè)蘋果，我有一個(gè)蘋果，彼此交換以后還是一個(gè)蘋果;你有一個(gè)思想，我有一個(gè)思想，彼此交換以后，每個(gè)人就有兩個(gè)甚至兩個(gè)以上的思想。高三的復(fù)習(xí)課，教師尤其要舍得花時(shí)間讓學(xué)生“說出來”，數(shù)學(xué)課堂的生命火花一旦被點(diǎn)燃，學(xué)生的思緒就會(huì)被點(diǎn)燃，有時(shí)候甚至?xí)岢鲆恍└呱畹囊娊猓鹑鄬W(xué)生的共鳴，激發(fā)全班學(xué)生的熱情，這樣的課堂既有深度，又有活力，這也是“交流對(duì)話”的魅力所在。在教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生提出不同的觀點(diǎn)，暴露出知識(shí)上的欠缺和思維上的不足，促進(jìn)學(xué)生心靈火花上的碰撞，讓教師的復(fù)習(xí)教學(xué)變得更有針對(duì)性和有效性，為課堂增添一些驚喜和活力。

3.悟思想——思維提升

此部分主要為小結(jié)部分，是領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法、獲取數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要環(huán)節(jié)。一般是在解決一個(gè)問題后或一堂課結(jié)束前，教師與學(xué)生共同對(duì)本節(jié)課的知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀進(jìn)行全面總結(jié)，是幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想、提高學(xué)生思維品質(zhì)的絕佳機(jī)會(huì)。在學(xué)生自我提煉與歸納知識(shí)、技能和方法，感悟知識(shí)蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想的同時(shí)，教師必須要有意識(shí)、有目的地概括本章節(jié)（本課時(shí)）所涉及的數(shù)學(xué)思想，以更全面、更系統(tǒng)的觀點(diǎn)來分析數(shù)學(xué)知識(shí)、解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)飛躍到理性認(rèn)識(shí)，產(chǎn)生質(zhì)的提升。

需要注意的是，數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟不是無水之源、無本之木，它滲透在前面思維啟動(dòng)、思維碰撞的過程中，在教師的引領(lǐng)或?qū)W生的自我反思構(gòu)建下水到渠成。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)除了在過程中滲透、解題后的及時(shí)體會(huì)與反思之外，更要通過課堂小結(jié)進(jìn)行反思感悟的方式開展。總結(jié)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，方式上有知識(shí)性回顧小結(jié)、前后呼應(yīng)式小結(jié)、交流反饋式小結(jié)、自主評(píng)價(jià)式小結(jié)等，具體結(jié)合教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生學(xué)習(xí)情況等進(jìn)行選用。

三、教學(xué)實(shí)例

筆者以“解三角形中的最值問題”為例，談?wù)劸唧w的操作過程。

本課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)是掌握三角形中求最值問題的一般方法，通過具體的例題和變式教學(xué)訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，感悟其中的函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想。

階段1：固基礎(chǔ)（思維啟動(dòng)）。

【設(shè)計(jì)意圖】（1）求三角形中最值問題建立在學(xué)生掌握正弦定理、余弦定理公式及其應(yīng)用的基礎(chǔ)之上，因此有必要首先復(fù)習(xí)這兩個(gè)公式。選用“問題解決型”模式，通過問題1使學(xué)生在問題的解決過程中復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，為本節(jié)課后面的學(xué)習(xí)做好鋪墊工作。（2）通過追問引入最值問題，實(shí)現(xiàn)思維啟動(dòng)。問題1是一個(gè)確定型的問題，其實(shí)質(zhì)就是解方程問題，突然減少其中一個(gè)條件后，成為了一個(gè)不確定型問題，那么不確定型問題求取值范圍又應(yīng)該如何處理呢？自然而然地促使學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)思考、思維聯(lián)想，努力尋找解題思路，達(dá)到思維啟動(dòng)的目的。

階段2：重思維（思維碰撞）。

【設(shè)計(jì)意圖】去掉一個(gè)條件后，此三角形已經(jīng)不再確定，學(xué)生在思維上會(huì)有沖突，教師除了必要的引導(dǎo)之外，要給予學(xué)生足夠的時(shí)間去思考，尋找方法。從問題結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā)，容易想到利用余弦定理將問題轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系來處理。另外，若從條件的結(jié)構(gòu)出發(fā)，可以用正弦定理將其轉(zhuǎn)化為角的問題來處理。轉(zhuǎn)化為邊的方法是把a(bǔ)b或a+b看成是一個(gè)整體，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一個(gè)“單元”問題，再利用基本不等式或是函數(shù)來處理;轉(zhuǎn)化為角的方法是通過正弦定理將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)在閉區(qū)間上的取值范圍問題。教師要鼓勵(lì)學(xué)生從不同的方向去思考，對(duì)已知信息進(jìn)行多角度的聯(lián)想，努力通過自己的思考來解決問題，要?jiǎng)?chuàng)造條件讓學(xué)生各抒己見，展示思維過程，促進(jìn)學(xué)生思維的交流與碰撞，最終達(dá)成共識(shí)，形成解法。需要注意的是，教師必須要清楚地指出指導(dǎo)這兩種方法背后的數(shù)學(xué)思想——函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想。

追問1：如何求a+b的取值范圍？

【設(shè)計(jì)意圖】問題2與追問1之間只有一點(diǎn)區(qū)別，一個(gè)是求最大值，一個(gè)是求取值范圍，目的是讓學(xué)生區(qū)別剛才用的兩種方法。余弦定理 轉(zhuǎn)化成邊基本不等式 得到一個(gè)最大或最小值;正弦定理 轉(zhuǎn)化成角 函數(shù)一得到取值范圍。感受在三角形問題中轉(zhuǎn)化成角來處理問題的優(yōu)越性，體會(huì)函數(shù)與方程思想的重要性。

追問2：如何求2a+b的取值范圍？

【設(shè)計(jì)意圖】追問2是在追問1的基礎(chǔ)上稍作改變，再次讓學(xué)生感受在三角形問題中轉(zhuǎn)化成角來處理問題的優(yōu)越性，體會(huì)函數(shù)與方程思想的重要性。得到類似問題的一般解法，并將類似問題進(jìn)行有效推廣，如求2a+b。（這里的教學(xué)只需要解釋到位就行，沒有必要一一講解。）

追問3：把問題2中的條件進(jìn)行以下改變，如何求ab，a+b的最大值？

【設(shè)計(jì)意圖】通過變式，使學(xué)生明白高考題就是在問題2的基礎(chǔ)上演變而來的，將這一條件進(jìn)行等價(jià)改變，其本質(zhì)是一樣的。通過歸類，讓學(xué)生總結(jié)出此類問題的本質(zhì)都是已知三角形的一個(gè)角和一條邊長(zhǎng)，求另外兩條邊a+ 2b等類似問題的最值。通過一題多變、一法多用等變式教學(xué)，逐步形成處理此類問題的一般數(shù)學(xué)思想和方法。

追問4：在問題2的條件下，如何求BC邊上的中線AM的最大值？

【設(shè)計(jì)意圖】追問4有一定難度，是建立在之前的思維、方法、思想基礎(chǔ)之上的，解題的關(guān)鍵是將中線AM轉(zhuǎn)化為邊b，c的組合形式，進(jìn)而化歸為上面所學(xué)的問題求解。在教學(xué)中教師鼓勵(lì)學(xué)生小組合作交流，思考如何利用所學(xué)知識(shí)來解決問題。同時(shí)要給予學(xué)生足夠的時(shí)間和空間來思考和討論，必要時(shí)教師要給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，借此滲透轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生感受轉(zhuǎn)化與化歸思想在具體解題中的重要指導(dǎo)意義。

階段3：悟思想（品質(zhì)提升）。

回顧本節(jié)課所學(xué)，你學(xué)到了什么？小組討論，小組學(xué)生代表發(fā)言，教師進(jìn)行必要的補(bǔ)充和說明。

【設(shè)計(jì)意圖】這里采用自主評(píng)價(jià)式小結(jié)，在教師的組織下進(jìn)行小組合作，結(jié)合本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容與同學(xué)分享自身的體驗(yàn)。通過再次回顧本節(jié)課所學(xué)，一起感悟函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，站在更高的角度來審視數(shù)學(xué)問題，努力實(shí)現(xiàn)做一題、學(xué)一法、會(huì)一類、通一片的效果。自主評(píng)價(jià)式小結(jié)是在教師的組織下同學(xué)之間平等的對(duì)話過程，體現(xiàn)了以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的新課程理念。但是，這種方式能否有效開展是建立在教師長(zhǎng)期的引導(dǎo)與培養(yǎng)下的。在初次嘗試時(shí)，學(xué)生往往只會(huì)模仿教師進(jìn)行簡(jiǎn)單的知識(shí)內(nèi)容的整理，或者很泛泛的談幾句等，只有教師不斷地給學(xué)生搭建這樣的平臺(tái)，不斷地鼓勵(lì)他們、引導(dǎo)他們，久而久之，學(xué)生才會(huì)由簡(jiǎn)單模仿到有自己的觀點(diǎn)和自己的表達(dá)方式。

四、實(shí)踐反思

（1）“固基礎(chǔ)·重思維·悟思想”三段式高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)模式，注重學(xué)生的思維變化。在這種模式下，體現(xiàn)了以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的新課程理念，一切從學(xué)生的思維需要出發(fā)，給予學(xué)生足夠的思考、實(shí)踐的時(shí)間和空間，鼓勵(lì)學(xué)生勇于發(fā)表自己的見解，有利于思維的有效訓(xùn)練，可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)。

（2）“固基礎(chǔ)·重思維·悟思想”三段式高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)模式是粗線條的，很多復(fù)習(xí)課都可以套用。要想收到良好的教學(xué)效果，關(guān)鍵在于學(xué)生的主體參與度，要求教師高屋建瓴、精心設(shè)計(jì)，站在能力立意、素養(yǎng)立意的高度來開展教學(xué)。

（3）如何提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的有效性是一個(gè)永恒的課題。復(fù)習(xí)課教學(xué)模式也可以是多種多樣的，既沒有可以適用于各種情況的教學(xué)模式，又沒有所謂最好的教學(xué)模式。教師必須從教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生實(shí)際、自身特點(diǎn)等諸多方面來綜合考慮，靈活地進(jìn)行處理，這樣才能真正實(shí)現(xiàn)高效的課堂教學(xué)。

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