李婧巖 李曉虹 程叢電

摘 要：提出一種復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)教學(xué)改革方案.方案通過(guò)加深理解一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)與多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的共性與聯(lián)系出發(fā)，改革復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)教學(xué)，提高教學(xué)水平.一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式與鏈?zhǔn)椒▌t是學(xué)好復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵，加深對(duì)二者共性與聯(lián)系的認(rèn)識(shí)有利于教與學(xué).

關(guān)鍵詞：復(fù)合函數(shù)；求導(dǎo)； 鏈?zhǔn)椒▌t；教改

[中圖分類號(hào)]G640 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

A Consideration on The Teaching of Derivatives of Complex Functions

LI JingYana ，LI XiaoHongb，CHENG CongDiana

（a.School of Mathematics and System Science；b.College of Educational Science， Shenyang Normal University，Shenyang 110034，China）

Abstract：The derivation formula of composite functions and the chain rule on the derivation of multivariate composite functions are the key to learn the derivation of composite functions well and deepening the understanding of their commonness and connection is beneficial to teaching. This paper tries to show their commonness and connection， and further proposes a teaching reform plan. Finally， the effects of the proposed reform plan are explained.

Key words：composite functions； derivation； chain rule； teaching reform

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則是高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn).一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式與鏈?zhǔn)椒▌t具有很強(qiáng)的共性，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式是鏈?zhǔn)椒▌t的特例，由后者可以推出前者；鏈?zhǔn)椒▌t是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式的推廣與發(fā)展.本文從加深理解一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)與多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的共性與聯(lián)系出發(fā)，提出教改方案.

1 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式與鏈?zhǔn)椒▌t的共性

1.1 基礎(chǔ)知識(shí)

一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式 設(shè)u=φ（x）在x0可導(dǎo)，y=f（u）在點(diǎn)u0=φ（x0）可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)f（φ（x））在點(diǎn)x0可導(dǎo)，且

f（φ（x0））′=f′（u0）φ′（x0）=f′（φ（x0））φ′（x0）.（1）

鏈?zhǔn)椒▌t 若函數(shù)x=φ（s，t），y=ψ（s，t）在點(diǎn)（s0，t0）可微，函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）=（φ（s0，t0），ψ（s0，t0））可微，則復(fù)合函數(shù)z=f（φ（s，t），ψ（s，t））在點(diǎn)（s0，t0）可微，且它們關(guān)于s和t的偏導(dǎo)數(shù)分別為

1.2 鏈?zhǔn)椒▌t是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式的發(fā)展與推廣

設(shè)z=f（x，y），x=x（t），y=y（t），且它們具有良好的分析性，則關(guān)于函數(shù)z（t）=f（x（t），y（t）），有

顯然，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式（1）到式（3），再由式（3）到式（2）是一個(gè)自然的演化過(guò)程，說(shuō)明鏈?zhǔn)椒▌t是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式的發(fā)展與推廣.

1.3 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式是鏈?zhǔn)椒▌t的特例

設(shè)z=f（x（s），y（s））在鏈?zhǔn)椒▌t式（2）中，令φ（s，t）=x（s），ψ（s，t），則xt=0，yt=0，xs=x′（s），fs=y′（s），于是由式（2）可得z′=fx·x′（s）+fy·y′（s），這便是式（3）.又設(shè)z=f（y（s）），并令x（s）=0，g（x（s），y（s））=x（s）+f（y（s）），則有z=f（y（s））=g（x（s），y（s）），且gx=1，fy=f′（y），x′（s）=0，故由式（3）可得z′（s）=gx·x′（s）+fy·y′（s）=f′（y（s））·y′（s）；再令y=z，φ（s）=y（s），x=s，則有y′（x）=f′（φ（x））·φ′（x），這便是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式（1）.

式（2）可以推出式（3），式（3）可以推出式（1），說(shuō)明復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式是鏈?zhǔn)椒▌t的特例.

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式與鏈?zhǔn)椒▌t有著密切的聯(lián)系與共性.在教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)共性與聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，可以減少因相關(guān)公式過(guò)多產(chǎn)生混淆而出現(xiàn)的運(yùn)算錯(cuò)誤，又能夠提高學(xué)生處理復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題的靈活性與熟練程度.

2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)教學(xué)改革方案

環(huán)節(jié)1 增加z=f（x，y），x=x（t），y=y（t）類函數(shù)求導(dǎo)例題，為后面講授公式（3）做適當(dāng)?shù)匿亯|.

例1 設(shè)函數(shù)z=1+x1+y，而x=sint，y=cost，求dzdt.

解 易知，y=1-x2，而z=1+x1+1-x2，故

dzdt=d（1+x）dt·11+1-x2+d11+1-x2dt ·（1+x）=1+sint+cost（1+cost）2.

解題略去了復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)z=f（x（s），y（s））這種類型函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，初步接觸多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題，認(rèn)識(shí)到用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式解這類問(wèn)題的難度，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的興趣，產(chǎn)生簡(jiǎn)化z=f（x（s），y（s））這樣函數(shù)求導(dǎo)過(guò)程的想法.

環(huán)節(jié)2 在講授完偏導(dǎo)數(shù)與多元函數(shù)微分內(nèi)容后，增加偏導(dǎo)數(shù)在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中的應(yīng)用，證明公式（3）.

例2 用公式（3）重解例1.

解 此復(fù)合函數(shù)以t為自變量，x，y為中間變量.易知

zx=11+cost，zy=-1+sint（1+cost）2， dxdt=cost，dydt=-sint，

由公式（3）可以得到 dzdt=1+sint+cost（1+cost）2.

證明公式（3）可較明確地展示出一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式與鏈?zhǔn)椒▌t的共性.通過(guò)例題的講授，可使學(xué)生加深對(duì)導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，并認(rèn)識(shí)到利用這種聯(lián)系，即運(yùn)用公式（3）進(jìn)行求導(dǎo)可降低運(yùn)算難度，從而為學(xué)習(xí)鏈?zhǔn)椒▌t搭建橋梁.

環(huán)節(jié)3 講授鏈?zhǔn)椒▌t，說(shuō)明公式（1）和公式（3）都是公式（2）的特例，并用運(yùn)用公式（2）重解例題.

例3 用公式（2）重解例1.

解 這時(shí)，xt=dxdt，yt=dydt，zt=dzdt，所以，

dzdt=zt=zx·dzdt+zy·dzdt =cost1+cost-（-sint）·（1+sint）（1+cost）2 =1+sint+cost（1+cost）2.

補(bǔ)加環(huán)節(jié)1和環(huán)節(jié)2為講授多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)做了充分地鋪墊，講授鏈?zhǔn)椒▌t既可以降低講授難度，又可以使學(xué)生更好地掌握該公式.例3進(jìn)一步表現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，利用這種內(nèi)在聯(lián)系可以簡(jiǎn)化復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)過(guò)程，潛在地說(shuō)明復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式：即公式（1）與公式（3）都是公式（2）的特例，從而可使學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)運(yùn)用適當(dāng)?shù)墓?，增?qiáng)運(yùn)用公式的熟練程度與靈活性.

3 總結(jié)

對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)教學(xué)進(jìn)行改革，添加三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，既可以加深學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，又可使學(xué)生遞進(jìn)式地學(xué)習(xí)鏈?zhǔn)椒▌t，從而化解這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，提高學(xué)生運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式與鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算的能力.充分重視對(duì)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)與多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的共性與聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，能降低學(xué)生掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的難度，提高學(xué)生運(yùn)算能力.

編輯：吳楠