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      從運(yùn)籌學(xué)的角度再看高中線(xiàn)性規(guī)劃求最值問(wèn)題

      2019-09-10 20:43:27顏習(xí)位許世雄
      高考·中 2019年1期
      關(guān)鍵詞:線(xiàn)性規(guī)劃運(yùn)籌學(xué)最值

      顏習(xí)位 許世雄

      摘 要:線(xiàn)性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)相銜接的一個(gè)重要基礎(chǔ)。從大學(xué)數(shù)學(xué)中運(yùn)籌學(xué)的角度出發(fā),得出求高中線(xiàn)性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)最值問(wèn)題的一種新解法。希望能給一線(xiàn)教師和高中學(xué)生一些啟發(fā)。

      關(guān)鍵詞:線(xiàn)性規(guī)劃;最值;運(yùn)籌學(xué);解題

      文章一開(kāi)始給出運(yùn)籌學(xué)課程中的一個(gè)基本定義和兩個(gè)定理。這些定義和定理在普通運(yùn)籌學(xué)書(shū)籍中都能查找到,并且定理有詳細(xì)的證明過(guò)程,在此就不多贅述。

      最優(yōu)解:使某線(xiàn)性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值(最大值或最小值)的任一可行解,都稱(chēng)為該線(xiàn)性規(guī)劃的一個(gè)最優(yōu)解。

      定理1:線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題中的基可行解對(duì)應(yīng)于可行域的頂點(diǎn)。

      定理2:線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解存在,則一定存在基可行解是最優(yōu)解。

      綜上得出,從運(yùn)籌學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看,使得高中二維線(xiàn)性規(guī)劃中,可行域的所有頂點(diǎn)中其中一定存在一個(gè)頂點(diǎn)使得目標(biāo)函數(shù)取到最值。則通過(guò)逆向思維分析,要求解一道高中線(xiàn)性規(guī)劃的最值問(wèn)題,只需把可行域中的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出,帶入目標(biāo)函數(shù)中進(jìn)行計(jì)算,所求出來(lái)的最大值即為目標(biāo)函數(shù)的最大值,求出來(lái)的最小值即為目標(biāo)函數(shù)的最小值。若可行域中只存在一個(gè)頂點(diǎn),則該頂點(diǎn)坐標(biāo)帶入目標(biāo)函數(shù)中所求出的值一定是目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值。

      若采用上面的解題思路,則線(xiàn)性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為了求可行域頂點(diǎn)坐標(biāo)后帶入目標(biāo)函數(shù)比較大小的問(wèn)題。我們暫且把這種方法叫做“頂點(diǎn)帶入比較法”在某些題目中,相比較傳統(tǒng)的解題方法,此方法加快了不少做題速度。下面以高中線(xiàn)性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最值問(wèn)題中常見(jiàn)的兩種題型為例,用傳統(tǒng)的解題方法和文中提出的解題方法對(duì)例題進(jìn)行求解,比較兩種解題方法的優(yōu)劣。

      題型1:與直線(xiàn)的斜率有關(guān)的最值問(wèn)題

      例1實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足條件,求的最小值。

      解一:分析,k值就是可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)(-1,1)所連接直線(xiàn)的斜率值。畫(huà)出可行域與點(diǎn)(-1,1),可以看出當(dāng)取直線(xiàn)2x-y-2=0與x軸的交點(diǎn)C時(shí),直線(xiàn)斜率最小,即目標(biāo)函數(shù)最小,此時(shí),如圖1所示。

      解二:求出可行域內(nèi)的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,0)和(4,0),代入目標(biāo)函數(shù)分別求出和,因此為目標(biāo)函數(shù)最小值。

      題型2:與直線(xiàn)的截距有關(guān)的最值問(wèn)題

      例2實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足條件,求z=x+2y的最大值和最小值。

      解一:分析:目標(biāo)函數(shù)其實(shí)就是斜率為2的直線(xiàn)的縱截距的一半。畫(huà)出可行域,作斜率為,截距為的平行直線(xiàn)系,當(dāng)直線(xiàn)在可行域內(nèi)滑動(dòng)時(shí)候,當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí),縱截距最小,則縱截距的一半值也是最小的,此時(shí)z=0。當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C時(shí),縱截距最大,則目標(biāo)函數(shù)也最大,此時(shí)z=3,如圖2所示。

      解2:求出可行域內(nèi)的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)帶入目標(biāo)函數(shù)求出z的值為0,1,2,3,則z的最大值為3,最小值為0。

      總結(jié)與反思

      在線(xiàn)性規(guī)劃求最值的題目中,若可行域的頂點(diǎn)數(shù)不多,則采用文中提出的“頂點(diǎn)帶入比較法”求解可以提高解題速度,但是對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和應(yīng)用規(guī)劃能力沒(méi)有好處。若可行域的頂點(diǎn)數(shù)過(guò)多,則采用傳統(tǒng)方法解題較為恰當(dāng)。當(dāng)我們從高觀點(diǎn)下看待初高中數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),總能有意外的收獲,對(duì)我們的教學(xué)或者解題有很大幫助。因此,初高中教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)能打破常規(guī),從較高觀點(diǎn)思考問(wèn)題,從而加深對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí),來(lái)輔助自己的教學(xué)。

      作者簡(jiǎn)介

      顏習(xí)位(1976.12-),男,漢族,高中數(shù)學(xué)教師,高級(jí)教師,云南省保山市施甸二中,研究方向:數(shù)學(xué)教學(xué)。

      許世雄(1993.10-),男,漢族,在讀教育碩士,研究方向:學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué));單位:云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院。

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