對(duì)兩條生活經(jīng)驗(yàn)的理性探索

楊亞軍

摘 要：數(shù)學(xué)源于生活，但由于數(shù)學(xué)的高度抽象，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)心存恐懼.數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在學(xué)生的眼中往往高不可攀.筆者結(jié)合教材中的一道例題，結(jié)和學(xué)生平時(shí)提過的一個(gè)問題，以探索兩條生活經(jīng)驗(yàn)背后的科學(xué)依據(jù)，讓學(xué)生體會(huì)、感受如何把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，利用數(shù)學(xué)工具去解決，以此來消除學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的恐懼感，也讓學(xué)生感受那些貌似冰冷、古怪的數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)結(jié)論骨子里的熱情與魅力，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)應(yīng)用;數(shù)學(xué)的魅力

生活中，人們積累了許多行之有效的經(jīng)驗(yàn)，往往能快捷、有效地解決有關(guān)問題.下面，咱們通過兩個(gè)具體的例子，一起來體會(huì)探索生活經(jīng)驗(yàn)背后的科學(xué)依據(jù).

經(jīng)驗(yàn)1：人們要把一段圓形木料截成長方形，要使截出來的長方形木料面積最大，只需按該圓的內(nèi)接正方形截即可.這經(jīng)驗(yàn)的科學(xué)依據(jù)是什么？能用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)給出解釋嗎？

下面我們用圓代替圓形木料，上述經(jīng)驗(yàn)可表述為：圓的內(nèi)接矩形中，正方形的面積最大.以下探索這種說法的科學(xué)依據(jù).

如圖1，設(shè)矩形ABCD是的內(nèi)接矩形，的半徑為（定值）.以下探索：當(dāng)矩形ABCD是正方形時(shí)其面積最大.

如圖2，連結(jié)AC，過點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為點(diǎn)M，則，顯然點(diǎn)B到AC距離的最大值為R，此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，亦即AB=BC時(shí)，矩形ABCD的面積最大.這就是這條生活經(jīng)驗(yàn)背后的數(shù)學(xué)依據(jù).

若是注意到圓和它的內(nèi)接矩形都是軸對(duì)稱圖形，且他們有共同的對(duì)稱軸，比如圖4中的直線EF就是它們的一條公共對(duì)稱軸.我們亦可把問題轉(zhuǎn)化為：在半圓中研究矩形ABEF面積取最大值的條件.

經(jīng)驗(yàn)2：為了推進(jìn)某條公路沿線各村經(jīng)濟(jì)的的發(fā)展，政府?dāng)M在該公路沿線的某處建設(shè)一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品交易市場(chǎng).若只考慮沿線各村從村口的公路到該市場(chǎng)的路程總合最小，該市場(chǎng)位置應(yīng)建在何處？生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，該市場(chǎng)應(yīng)建在這段公路旁所有村子里最靠近“中間”的村子附近.這經(jīng)驗(yàn)的科學(xué)依據(jù)是什么？能用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)給出解釋嗎？

下面我們用直線代替該條公路，把這個(gè)問題放在數(shù)軸上研究.如圖5，我們用各村口該公路的里程數(shù)表示該村在數(shù)軸上的相對(duì)位置，設(shè)這n個(gè)村子村口該公路的里程數(shù)分別為，設(shè)交易市場(chǎng)所在位置該公路的里程數(shù)為x.

通過對(duì)這兩條生活經(jīng)驗(yàn)的探究，讓我們對(duì)這些生活經(jīng)驗(yàn)有了更深刻、理性的認(rèn)識(shí).更為重要的是：讓我們真切地體會(huì)到了數(shù)學(xué)的工具性和數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.與此同時(shí)，也體驗(yàn)了如何恰當(dāng)?shù)匾胱兞浚脭?shù)學(xué)的符號(hào)語言、用數(shù)學(xué)模型把實(shí)際問題理想化、簡單化成一個(gè)數(shù)學(xué)問題，再用數(shù)學(xué)的有關(guān)知識(shí)、方法、結(jié)論等解決該數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而解決對(duì)應(yīng)的實(shí)際問題.在這樣的實(shí)踐探索中，曾經(jīng)的那些抽象、古怪的數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)結(jié)論、數(shù)學(xué)方法變成了一個(gè)個(gè)具體、有生命力的解決問題的工具.具體到下面這些數(shù)學(xué)結(jié)論：（2α），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），它們?cè)谖覀冄芯可鲜鰡栴}時(shí)是不是很給力？我們現(xiàn)在對(duì)它們的認(rèn)識(shí)和感覺是不是也不一樣了？！

參考文獻(xiàn)

[1]《數(shù)學(xué)必修4》，嚴(yán)士健，王尚志主編，北京師范大學(xué)出版社，2017.7（2018.12）：125.

[2]張中華，淺議數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)模型能力的培養(yǎng)，《上海中學(xué)數(shù)學(xué)》，2018（11）：3-5.

（作者單位：陜西省寶雞中學(xué)）