談數(shù)學(xué)建模時(shí)的問題分析步驟

錢志良

摘 要： 數(shù)學(xué)建模問題經(jīng)常由各領(lǐng)域的應(yīng)用者提出，因而既不可能明確提出該用什么方法，又不會(huì)給出恰到好處的條件，甚至問題本身就是含糊不清的，因此做好問題分析顯得至關(guān)重要.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)建模 問題分析 步驟說明

1.數(shù)學(xué)建模問題與“應(yīng)用題”的區(qū)別

數(shù)學(xué)建模問題與初中、高中碰到的“應(yīng)用題”的區(qū)別：

“應(yīng)用題”通常有不多不少、恰到好處的條件和數(shù)據(jù)，方法基本限制在某章或某門課程，往往有唯一正確的答案.

數(shù)學(xué)建模問題經(jīng)常是由各領(lǐng)域的應(yīng)用者提出的，因而既不可能明確提出該用什么方法，又不會(huì)給出恰到好處的條件（可能有多余的條件，也可能缺少必要的條件和數(shù)據(jù)），經(jīng)常出現(xiàn)的情形是問題本身就是含糊不清的；建模沒有唯一正確的答案，模型無所謂“對(duì)”與“錯(cuò)”，評(píng)價(jià)模型優(yōu)劣的唯一標(biāo)準(zhǔn)是實(shí)踐檢驗(yàn)，因此建立數(shù)學(xué)模型時(shí)做好問題分析顯得至關(guān)重要.

2.問題分析步驟

問題分析步驟可分為：明確問題、分析條件和數(shù)據(jù).

例如：一家化妝品公司的經(jīng)理就關(guān)于應(yīng)該雇多少推銷員的問題征詢你的意見，定性地講，推銷員多了會(huì)增加管理費(fèi)用，而推銷員少了會(huì)失去可能的顧客.所以一定會(huì)有一個(gè)最優(yōu)推銷員個(gè)數(shù)，這里推銷員指那些到各地把公司產(chǎn)品兜銷給其他商號(hào)的人.

2.1問題描述、問題分析

首先必須清楚幾個(gè)問題，如公司的生產(chǎn)限度怎么樣？經(jīng)營目的是什么？是爭取最高利潤嗎？或者在獲得足夠多利潤的同時(shí)爭取最大市場份額？還是其他什么目的？一種較好的方法是對(duì)各種不同規(guī)模的推銷隊(duì)伍的效果做出描述，而把最后決定留給經(jīng)理部.

另外決定推銷隊(duì)伍的效果，就必須知道：（1）怎樣從他們的銷售隊(duì)伍中獲取最大收益；（2）不同規(guī)模的銷售隊(duì)伍會(huì)有什么影響.

經(jīng)過分析，原來的問題已經(jīng)被改為上面兩個(gè)問題，這樣，我們就跨出了第一步，即基本明確了工作目標(biāo).

但上面兩個(gè)問題仍需進(jìn)一步細(xì)致分析：如不同推銷員能力不同，推銷地域也可能不同，顧客可分為“現(xiàn)有的”和“可能的”兩類，前者需要穩(wěn)定，后者需要轉(zhuǎn)變，所花時(shí)間各不相同，并且各商號(hào)的訂貨量或潛在訂貨量也是需考慮的重要因素.

通過以上分析，畫出問題的層次結(jié)構(gòu)圖，看出問題全貌.

了解問題的整體框架，可以對(duì)整個(gè)模型做出初步設(shè)計(jì)，需要做什么工作？可以用什么數(shù)學(xué)工具？問題有什么特點(diǎn)或限制條件？工作的重點(diǎn)、難點(diǎn)和要點(diǎn)是什么？每項(xiàng)工作的先行和后繼工作是什么？有沒有可以并行的工作？

2.2數(shù)據(jù)、資料的收集

分析問題的結(jié)構(gòu)后，需要什么數(shù)據(jù)就可以心中有數(shù)了，收集數(shù)據(jù)的工作可列入工作計(jì)劃，要對(duì)推銷員進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)，記錄得到完整的確定概率的數(shù)據(jù)、地域情況的數(shù)據(jù)、資料，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析某些變量的作用.

3.建立數(shù)學(xué)模型

由最小二乘法建立系統(tǒng)的回歸方程——數(shù)學(xué)模型。

當(dāng)輸入為x，輸出為y時(shí)，多項(xiàng)式擬合曲線相應(yīng)于x的估值為：

=b+bx+bx+…+bx（i=1，2，…，n）

要使多項(xiàng)式估值與觀測值y之差（殘差）的平方和之值為最小，

得下列正規(guī)方程組：

=2∑（

b

+b

x

+b

x+…

+b

x

-y）=0

=2∑（

b

+b

x

+b

x+…

+b

x

-y）

x=0

… …

=2∑（

b

+b

x

+b

x+…

+b

x

-y）

x=0

由上式可求出回歸系數(shù)b，b，…，b.