角度制與弧度制

孫洋

在初中數(shù)學(xué)中，我們對(duì)角的度量，采用的是角度制.到了高中，課本上又介紹了一種新的度量角的方法——弧度制.弧度制，顧名思義，用弧長(zhǎng)來(lái)度量角的方法，我們用弧長(zhǎng)與半徑的比來(lái)刻畫圓心角的大小，

引入弧度制有何意義呢？

談到弧度制，我們首先要了解三角學(xué).公元前約300年古巴比倫時(shí)期開始到公元640年古希臘數(shù)學(xué)落幕是三角學(xué)的萌芽時(shí)期，在那一時(shí)期，由于天文學(xué)的需要，三角學(xué)受到學(xué)者們的重視，它是天文學(xué)的一部分，其主要任務(wù)是計(jì)算圓的問題.從公元640年古希臘數(shù)學(xué)落幕后到15世紀(jì)文藝復(fù)興開始前是三角學(xué)的傳播時(shí)期，三角學(xué)逐漸從天文學(xué)里脫離出來(lái)，成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，但這段時(shí)期的三角學(xué)與古希臘時(shí)期的三角學(xué)沒有本質(zhì)上的區(qū)別，從文藝復(fù)興開始至今為三角學(xué)的確立時(shí)期.印度數(shù)學(xué)家利提克斯將正弦、余弦、正切、余切、正割和余割定義成直角三角形邊長(zhǎng)的比，這樣三角學(xué)就不必再依附于網(wǎng)而僅在一個(gè)直角三角形中存在.

隨著微積分的出現(xiàn)，三角學(xué)的重點(diǎn)逐漸由計(jì)算變成函數(shù)方法.而嚴(yán)格的弧度制是由大數(shù)學(xué)家歐拉提出的，并逐漸被大家接受和廣泛使用.也就是說，在研究三角學(xué)的過程中，人們確實(shí)是先使用了角度制，后來(lái)又引入了弧度制，并且隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，弧度制逐漸替代了角度制成為度量角的單位制度.可是，原因義是什么呢？

角度制，是將一個(gè)周角360等分，取一份為1°，將1°的角60等分，取一份為1'，將1'的角60等分，取一份為1".所以，角度制的進(jìn)制是六十進(jìn)制.在古巴比倫和古希臘時(shí)期，人們已經(jīng)普遍習(xí)慣了這種角的度量制.古巴比倫人為了研究圓內(nèi)三角問題的方便，他們甚至將弧長(zhǎng)和半徑也使用六十進(jìn)制表示，并且編制了各種弦表以方便計(jì)算.但是對(duì)長(zhǎng)度的度量，人們更習(xí)慣用十進(jìn)制來(lái)表示，這就造成了進(jìn)制的不統(tǒng)一，使得在三角函數(shù)的計(jì)算過程中計(jì)算和查表變得很不方便.而引入弧度制，進(jìn)制的不統(tǒng)一就得到了自然的解決.作為函數(shù)，弧度制還使得函數(shù)的白變量和應(yīng)變量的形式統(tǒng)一成長(zhǎng)度的比值.自變量角，使用弧長(zhǎng)與半徑的比，應(yīng)變量三角函數(shù)，使用了直角三角形兩邊的比.當(dāng)然，弧度制被廣泛接受，更是受到微積分的推動(dòng).在微積分的很多公式中，角的度量使用弧度制會(huì)比使用角度制來(lái)得更加直觀和方便，當(dāng)然，這部分內(nèi)容，同學(xué)們只有到了高等數(shù)學(xué)中才能真正的有所體會(huì).這也是為什么我們的同學(xué)不能深刻體會(huì)弧度制優(yōu)越性的原因.

了解了上面的歷史知識(shí)，我們應(yīng)該發(fā)現(xiàn)，使用弧度制替代角度制來(lái)度量角是很重要的.弧度制直接溝通了弧長(zhǎng)和圓心角之間的關(guān)系，大家熟悉以后也會(huì)發(fā)現(xiàn)在解決一些弧長(zhǎng)的問題時(shí)使用弧度制很方便.比如：若扇形的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，但是弧長(zhǎng)不變，則弧所對(duì)的圓心角變?yōu)樵瓉?lái)的弧所對(duì)的圓心角的幾倍？這個(gè)題目，因?yàn)槿鄙倬唧w的扇形半徑與弧長(zhǎng)，所以無(wú)法算出前后兩個(gè)圓心角的大小.如果使用角度制，可以利用公式l=n/180兀r得到圓心角n與半徑r成反比，得到答案1/3，不過公式里面還有系數(shù)π/180;如果使用弧度制公式l=ar，直接得到網(wǎng)心角α與半徑r成反比，得到答案1/3.從這里可以看出，弧度制簡(jiǎn)化了公式的形式.

我們?cè)賮?lái)看下面這個(gè)例子：已知扇形的周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)它的半徑和圓心角為多少的時(shí)候，扇形的面積最大？如果利用角度制，半徑r和圓心角n之間滿足20=2r+n/180兀r，目標(biāo)函數(shù)扇形面積S=n/360兀r2，如果消去r，則得到關(guān)于n的函數(shù)S=n/360?！ぃ?600/3600+nπ）2=36000/n2+720+3602/n≤25，當(dāng)且僅當(dāng)nπ2=3602/n，即n=360/π時(shí)取等號(hào);如果消去n，則得到關(guān)于半徑r的函數(shù)s=1/360·360（10 -r）/πr·=r（10-r）≤25，當(dāng)且僅當(dāng)r=10-r，即r=5時(shí)取等號(hào).后者運(yùn)算量稍小，但是公式的化簡(jiǎn)方面還是有些困難的.

那我們?cè)僭囋嚴(yán)没《戎七\(yùn)算，半徑r與網(wǎng)心角α之間滿足2r+ αr=20，目標(biāo)函數(shù)扇形面積s=1/2αr2，如果消去r，得到關(guān)于圓心角α的函數(shù)s=1/2α·（20/α+2）2=200/α+4+4/α≤25，當(dāng)且僅當(dāng)α=4/，即α=2時(shí)取等號(hào);又如果消去α，得到關(guān)于半徑r的函數(shù)S=1/2·20-2r/r·r2= r（10-r）≤25，當(dāng)且僅當(dāng)r=10-r，即r=5時(shí)取等號(hào).

哪種表示方法好，一目了然.