小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“幾何直觀”的培養(yǎng)

彭亮 徐文彬 張平

摘要：作為“直觀想象”的重要組成部分，“幾何直觀”是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要成分?！皥D形的高”的教學(xué)，應(yīng)該以數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)引發(fā)教學(xué)的重構(gòu)，以學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)引發(fā)學(xué)習(xí)的重思，從而指向“幾何直觀”的培養(yǎng)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“幾何直觀”的培養(yǎng)需要關(guān)注關(guān)聯(lián)和想象的培養(yǎng)、運(yùn)用意識(shí)的培養(yǎng)、與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：幾何直觀圖形的高關(guān)聯(lián)想象數(shù)形結(jié)合

史寧中教授指出，數(shù)學(xué)中問(wèn)題的解決很大程度上依賴于直觀，而不是通常所認(rèn)為的證明和計(jì)算。因此，“直觀想象”成為高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一。其目的是，引導(dǎo)當(dāng)下的數(shù)學(xué)教育關(guān)注和培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力。作為“直觀想象”的重要組成部分，“幾何直觀”是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要成分。因此，研究小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“幾何直觀”的培養(yǎng)具有重要意義。

一、“幾何直觀”培養(yǎng)的一個(gè)案例

本文選取的案例是“圖形的高”的教學(xué)。

（一）教學(xué)問(wèn)題

“高”是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”的內(nèi)容之一。教材一般將其安排在三角形概念之后，作為與三角形的邊、角等同的幾何概念來(lái)學(xué)習(xí)。教師在教學(xué)中，往往是在講完三角形的相關(guān)概念之后，引出“由三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂直線段叫作三角形的高，這條對(duì)邊叫作三角形的底”。

然而，部分學(xué)生在學(xué)完三角形的高之后，會(huì)有這樣的疑問(wèn)：為什么要學(xué)習(xí)三角形的高？在他們看來(lái)，三角形的高與其邊、角不一樣：邊、角是組成三角形的必備要素，而高不是。對(duì)此，很多教師囿于教材的編排，不知道該如何處理，從而不能突出高的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

并且，部分學(xué)生在作圖的過(guò)程中，還會(huì)出現(xiàn)這樣的問(wèn)題：為什么高可以橫著？為什么高不一定是豎直的？因?yàn)樗麄冊(cè)谏钪杏鲆?jiàn)的高都是豎著的。對(duì)此，部分教師嘗試用人體的身高來(lái)解釋。如此，貌似解決了學(xué)生的疑問(wèn)，但卻與高的數(shù)學(xué)本質(zhì)相去甚遠(yuǎn)。

同時(shí)，這樣的教學(xué)也沒(méi)能充分地挖掘“高”這一數(shù)學(xué)內(nèi)容的幾何直觀內(nèi)涵，進(jìn)而錯(cuò)失了培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的契機(jī)。

（二）教學(xué)改進(jìn)

從高的本質(zhì)以及幾何直觀內(nèi)涵的角度來(lái)看，“圖形的高”的教學(xué)可以做以下改進(jìn)：

首先，呈現(xiàn)面積相等的平行四邊形和長(zhǎng)方形菜地，讓學(xué)生思考為什么兩個(gè)圖形的面積相等。學(xué)生通過(guò)圖形割補(bǔ)的辦法找到兩個(gè)圖形之間的關(guān)系。據(jù)此，提供不同的平行四邊形變式，讓學(xué)生用類似的方法找到平行四邊形對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方形。進(jìn)而，引出平行四邊形的“高”和“底”兩個(gè)對(duì)應(yīng)的概念（如圖1）。

其次，呈現(xiàn)一個(gè)平行四邊形和一個(gè)沿平行四邊形對(duì)角線切分得到的三角形，讓學(xué)生思考為什么三角形的面積是平行四邊形的一半。學(xué)生依據(jù)上述方法找到兩個(gè)圖形之間的關(guān)系，從而得出三角形的高和底（如圖2）。進(jìn)而，以不同的三角形變式，強(qiáng)化三角形的高和底的概念。

最后，呈現(xiàn)一個(gè)平行四邊形和一個(gè)沿過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的一條直線（非對(duì)角線）切分得到的梯形，讓學(xué)生思考為什么梯形的面積是平行四邊形的一半。學(xué)生依據(jù)上述方法找到兩個(gè)圖形之間的關(guān)系，從而得出梯形的高和上底、下底（如圖3）。

（三）設(shè)計(jì)意圖

1.以數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)引發(fā)教學(xué)的重構(gòu)。

就“圖形的高”而言，當(dāng)下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)都將其與具體圖形的認(rèn)識(shí)放在一起，即將其作為圖形的一部分來(lái)認(rèn)識(shí)。但是，“高”與圖形的其他部分的不同之處在于，其不是圖形原有的，也就是說(shuō)，沒(méi)有“高”也能夠組成一個(gè)圖形，并不影響圖形的本質(zhì)屬性。因此，才會(huì)出現(xiàn)學(xué)生產(chǎn)生“為什么要學(xué)習(xí)高”的疑問(wèn)的情況。實(shí)際上，從數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)上看，“高”與圖形的面積密切相關(guān)，是在求解圖形面積的過(guò)程中產(chǎn)生的。上述“圖形的高”的教學(xué)設(shè)計(jì)便是基于數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的教學(xué)重構(gòu)，在每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中以不斷重復(fù)的方式來(lái)指向“高”的本質(zhì)。

2.以學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)引發(fā)學(xué)習(xí)的重思。

課堂教學(xué)要符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并有所提升或明晰。一般來(lái)說(shuō)，認(rèn)知結(jié)構(gòu)關(guān)涉知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)兩個(gè)層面。就“圖形的高”的教學(xué)而言，從知識(shí)結(jié)構(gòu)層面來(lái)說(shuō)，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形以及梯形等平面圖形，并對(duì)“邊”“角”“周長(zhǎng)”“面積”等幾何概念有所了解;從認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)層面來(lái)說(shuō)，學(xué)生已經(jīng)具備了初步的“發(fā)現(xiàn)—操作—驗(yàn)證—?dú)w納”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和空間想象能力，能夠?qū)D形進(jìn)行初步的轉(zhuǎn)化和聯(lián)系。然而，在實(shí)際教學(xué)中，一些教師往往聚焦于學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)引出新知的學(xué)習(xí)。雖然這種方式能夠喚醒學(xué)生的已有知識(shí)，將舊知和新知建立聯(lián)系，但是，這種聯(lián)系可能對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升有所阻滯。上述“圖形的高”的教學(xué)設(shè)計(jì)，沒(méi)有從三角形的高引入，而是從平行四邊形的高引入，其用意就是讓學(xué)生能夠使用已有的知識(shí)和初步的圖形轉(zhuǎn)化能力，發(fā)現(xiàn)平行四邊形和長(zhǎng)方形之間的關(guān)系，進(jìn)而感受到“高”的產(chǎn)生;隨后，逐步加大圖形之間轉(zhuǎn)化的難度，其目的就是對(duì)學(xué)生被喚醒的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力進(jìn)行鞏固和強(qiáng)化。因此，在這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)下，學(xué)生不僅僅是利用已有的圖形知識(shí)來(lái)學(xué)習(xí)新的圖形知識(shí)，更能提升已有或明晰模糊的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)。

3.指向“幾何直觀”的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)素養(yǎng)通常是在富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題的探索和解決過(guò)程中逐漸養(yǎng)成的，而不是在單純的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中獲得提升的。引導(dǎo)學(xué)生基于自身認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，或可視為培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效路徑。上述“圖形的高”的教學(xué)設(shè)計(jì)，就對(duì)學(xué)生“幾何直觀”的培養(yǎng)有所助推。比如，讓學(xué)生只借助圖形的高想象與之面積相等的圖形，以及通過(guò)圖形變換尋找圖形之間的關(guān)系，這些都是“幾何直觀”培養(yǎng)的體現(xiàn)。具體而言，幾何直觀作為一種能力，其核心并非只是通過(guò)直觀明晰圖形的特征，更為關(guān)鍵的是借助幾何直觀學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，甚至解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。據(jù)此，讓學(xué)生通過(guò)高來(lái)想象和尋找與給定圖形相等面積的圖形，即抓住“高”這一關(guān)鍵要素來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，解決相關(guān)問(wèn)題。這比只是在圖形中找出高更能體現(xiàn)“高”這一要素在解決問(wèn)題中的作用，從而真正地切中幾何直觀的要義。

二、“幾何直觀”培養(yǎng)的注意事項(xiàng)

基于上述案例，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“幾何直觀”的培養(yǎng)需要關(guān)注以下幾個(gè)方面：

（一）關(guān)聯(lián)和想象的培養(yǎng)

“幾何直觀”中“直觀”的要義在于關(guān)聯(lián)與想象。因而，在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)在圖形之間、圖形要素之間尋找關(guān)系，產(chǎn)生關(guān)聯(lián)與想象。這是培養(yǎng)學(xué)生“幾何直觀”的前提。比如，教學(xué)“圖形的高”，如果分別在學(xué)習(xí)完三角形、平行四邊形、梯形等圖形后，介紹一下它們的高，讓學(xué)生學(xué)會(huì)找出或畫出它們的高，那么“高”這一要素與圖形之間的關(guān)系就被割裂了。在學(xué)習(xí)之后，學(xué)生會(huì)自然地問(wèn);“為什么要學(xué)習(xí)高？”因?yàn)樵趯W(xué)生的認(rèn)知中，圖形的高與圖形沒(méi)有任何關(guān)系。而上述“圖形的高”的教學(xué)設(shè)計(jì)，則通過(guò)面積將圖形的高與圖形建立起關(guān)系，一方面解決了學(xué)生對(duì)“高”的困惑，另一方面有意識(shí)地培養(yǎng)了學(xué)生關(guān)聯(lián)和想象的能力。我們可以預(yù)想到，在后續(xù)的幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生一定會(huì)將高與面積聯(lián)系起來(lái)，且通過(guò)高將不同圖形聯(lián)系起來(lái)，從而更好地學(xué)習(xí)知識(shí)，解決問(wèn)題。

（二）運(yùn)用意識(shí)的培養(yǎng)

史寧中教授說(shuō)，并非畫出幾何圖形就可以稱為借助幾何直觀，而是需要借助幾何圖形發(fā)現(xiàn)所研究圖形的本質(zhì)、關(guān)系或規(guī)律。因此，在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀學(xué)習(xí)相關(guān)的“圖形與幾何”內(nèi)容，從而讓學(xué)生感受到幾何直觀的價(jià)值。比如，上述“圖形的高”的教學(xué)設(shè)計(jì)，從一開(kāi)始的平行四邊形的高到最后的梯形的高的學(xué)習(xí)，通過(guò)圖形的變換，尋找面積相等的長(zhǎng)方形，從而找到不同圖形的高貫穿其中。如此，學(xué)生習(xí)得或感知這種方法之后，可以在類似的情境中遷移運(yùn)用，從而強(qiáng)化這一解決問(wèn)題的直觀方法。

再如，教學(xué)《長(zhǎng)方形、正方形的認(rèn)識(shí)》一課，一位教師通過(guò)圖形分類的方式（如下頁(yè)圖4），引導(dǎo)學(xué)生探究長(zhǎng)方形和正方形的特征。這一做法將圖形分類與幾何直觀很好地融合在了一起，幫助學(xué)生在不同圖形之間感受可能存在的關(guān)系，進(jìn)而為發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形和正方形的特征做好鋪墊。這里，如果直接讓學(xué)生通過(guò)觀察或感知來(lái)探究長(zhǎng)方形和正方形的特征，可能就錯(cuò)失了讓學(xué)生運(yùn)用幾何直觀的機(jī)會(huì)。而這是培養(yǎng)學(xué)生“幾何直觀”的基礎(chǔ)。

（三）與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系

幾何直觀作為一種能力，它的價(jià)值和意義并不局限于“圖形與幾何”領(lǐng)域。一些數(shù)學(xué)概念的理解、一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都需借助于幾何直觀。

就數(shù)學(xué)概念的理解而言，幾何直觀具有很重要的作用。比如，北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“小數(shù)的意義”內(nèi)容這樣編排：通過(guò)將正方形看成“1”，分別十等分后涂色和一百等分后涂色的方式，幫助學(xué)生理解十分位、百分位的位值概念以及數(shù)位之間的進(jìn)位關(guān)系;通過(guò)圖形（如圖5），引導(dǎo)學(xué)生感知小數(shù)中不同位值的大小關(guān)系。通過(guò)上述圖形，還可以幫助學(xué)生理解1.6和1.60等在意義上的差別。

就數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而言，幾何直觀可能具有更重要的作用。解決小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，線段圖是幾何直觀中最為常見(jiàn)的形式，通過(guò)線段圖可以清晰地展現(xiàn)題目中已知量和未知量之間的關(guān)系。此外，在教學(xué)中，教師也可以設(shè)置一些通過(guò)圖形巧妙解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的例子，讓學(xué)生感受幾何直觀的優(yōu)點(diǎn)。比如“烏有國(guó)毒酒事件”問(wèn)題：

烏有國(guó)王要舉行酒會(huì)，但為酒會(huì)準(zhǔn)備的500桶酒中有一桶被下了毒。酒會(huì)48小時(shí)后就要舉行，國(guó)王決定用囚犯來(lái)試毒，不介意死多少個(gè)囚犯，只要能在酒會(huì)前找到毒酒。已知毒酒喝下去后會(huì)在23—24小時(shí)之間發(fā)作，請(qǐng)問(wèn)最少需要多少個(gè)囚犯，才能保證在酒會(huì)舉行前找到毒酒？

這一問(wèn)題如果用文字表述的方式來(lái)解決，會(huì)很冗長(zhǎng)，而且很難理解。倘若以幾何直觀的方式來(lái)解決，則較為簡(jiǎn)潔、清晰明了：把500桶酒擺成大約22行、23列，一個(gè)囚犯每隔一小時(shí)喝一行，另一個(gè)囚犯每隔一小時(shí)喝一列，然后通過(guò)兩個(gè)囚犯毒發(fā)的時(shí)間，就可找到第一個(gè)囚犯喝的是哪一行，第二個(gè)囚犯喝的是哪一列，由此即可確定哪一桶是毒酒。這就是兩個(gè)數(shù)字（數(shù)對(duì)）確定平面中任意一點(diǎn)位置的運(yùn)用。如此，學(xué)生才會(huì)感受到利用幾何直觀解決問(wèn)題的便利，進(jìn)而有意識(shí)地學(xué)習(xí)和運(yùn)用幾何直觀，從而形成幾何直觀的能力。

*本文系江蘇省社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目“互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代下基礎(chǔ)教育教師教學(xué)觀念的轉(zhuǎn)變與實(shí)踐研究”（編號(hào)：18JYC001）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 章勤瓊.讓數(shù)學(xué)具有“畫面感”——例說(shuō)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用幾何直觀的可能路徑[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)（數(shù)學(xué)），2017（9）.