指向批判性思維的數(shù)學命題思路新探

陳云

摘?要：批判性思維是創(chuàng)新能力的動力和基礎，是信息化時代公民需要具備的重要能力。在當前核心素養(yǎng)導向的課程改革背景下，如何改變命題方式，在日常的教學評價中更多地體現(xiàn)學生的“隱性素養(yǎng)”，成為一線教師努力的方向，而批判性思維也逐漸成為很多教師命題時關注的一個方面。從關注學生批判性思維的角度，探討命題的思路：代入真實情境，指向“批判性閱讀”;提供復雜信息，指向“批判性思考”;設置開放問題，指向“批判性表達”。

關鍵詞：批判性思維?命題?閱讀?思考?表達

批判性思維是創(chuàng)新能力的動力和基礎，是信息化時代公民需要具備的重要能力。在當前核心素養(yǎng)導向的課程改革背景下，如何改變命題方式（傳統(tǒng)的命題方式更多地考查“顯性知識”），在日常的教學評價中更多地體現(xiàn)學生的“隱性素養(yǎng)”，成為一線教師努力的方向，而批判性思維也逐漸成為很多教師命題時關注的一個方面。本文從關注學生批判性思維的角度，探討指向?qū)W生批判性閱讀能力、批判性思考能力、批判性表達能力的數(shù)學命題思路，期望能給大家?guī)韱l(fā)。

一、代入真實情境，指向“批判性閱讀”

批判性閱讀是一種在理智上主動參與和作者（命題者）的內(nèi)在對話的閱讀模式。不少學生在閱讀問題時，常常缺乏批判的態(tài)度，不僅會忽視問題背景中提供的數(shù)學信息，還會有所歪曲、誤讀。而教師或家長常把這些錯誤歸結為“馬虎”。其實不然，這是學生批判性閱讀能力欠缺的表現(xiàn)。具有較強批判性閱讀能力的人會意識到，閱讀的本質(zhì)是去理解一種與自己不同的立場，即命題者甚或是問題情境中人物、事物的立場，因此會積極地去發(fā)現(xiàn)問題中的關鍵詞，聯(lián)系問題中解釋性的論證、支持性的例證，溝通類似的經(jīng)驗、含義。這樣的閱讀更能準確地把握數(shù)學問題的結構性特征，進而對其加以準確而公允的解釋和評估。

那么，什么樣的題目有利于考查和提升學生的批判性閱讀能力呢？如果題目提供給學生的是簡單的、直指知識的、“非此即彼”的、唯一真相的數(shù)學信息，學生就有可能一目十行地掃過，然后憑借記憶挖掘出自己認為有用的知識或曾經(jīng)做過的類似題目，對問題做出直覺的判斷和解答，也就不會衍生出屬于自己的獨特觀點和個性表達。但如果題目提供的是一種情境式的描述，需要學生用數(shù)學的眼光去定位、用數(shù)學的思維去獲取，學生必然會在閱讀過程中帶上批判性，不斷反思自己的認知過程。

例如，為了強化“分子、分母同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變”的正確認知，避免學生產(chǎn)生“分子、分母同時加或減去同一個數(shù)，分數(shù)大小不變”的錯誤定式，在相關的練習中常見如下填空題：

將25的分子增加10，要使分數(shù)的大小不變，分母要增加（??）。

很顯然，這樣的填空題直指所要測試的數(shù)學知識，學生只需按照常規(guī)步驟就能完成解答，因而學生的批判性閱讀能力并不能夠得到提升。對此，我們可將同樣的問題代入情境：

在一次夏令營活動中，老師對第一組同學說：我讓輔導員送餅干來了，你們組5位同學，每人可以分25袋餅干。結果輔導員聽錯了，多送了10袋餅干。如果每位同學分到的餅干數(shù)量不變，應增加至（??）位同學。

面對這樣的情境，學生在讀題時就會“強迫”自己將掌握的數(shù)學知識和技能遷移到生活環(huán)境中，建立起現(xiàn)實問題與數(shù)學之間的聯(lián)系，然后邊讀邊思考：已經(jīng)知道了“每人可以分25袋餅干”，為什么還要說明“你們組5位同學”？“多送了10袋餅干”是什么量發(fā)生了變化？發(fā)生了怎樣的變化？“增加至幾位同學”與“增加了幾位同學”這兩種表達又有什么不同？……這些質(zhì)疑表明學生進入了對問題展開“定位、獲取、理解和反思”的批判性閱讀中。學生在這樣一種閱讀方式的帶動下，會對問題情境中的信息把握得更加到位。久而久之，自然就會產(chǎn)生與問題進行對話的能力。

二、提供復雜信息，指向“批判性思考”

要進行批判性思考，必須進入一定的心理狀態(tài)，這種心理狀態(tài)包括客觀、謹慎，以及挑戰(zhàn)他人觀點的意愿（這可能是其中最困難的）和將自己深信不疑的信念置于仔細檢視之下的意愿。換言之，必須像科學家一樣思考問題。我們希望出現(xiàn)這樣一種情況：當學生思考一個問題時，不拘泥于當前問題中的內(nèi)容材料，還會不自覺地借助與這道題知識內(nèi)涵相關的其他知識信息，來印證并支持自己想表達的觀點。當學生這樣做的時候，解題就已經(jīng)不再是“看一道題”這個單一的動作，而是把一道題和一類知識或者相關的更多題目連接起來，就像穿梭于信息的海洋中，發(fā)現(xiàn)線索、分析線索、連接線索，一筆一畫地編織信息網(wǎng)。這一系列的過程能促進學生的思維更加立體，學生也會在其中發(fā)現(xiàn)更大的樂趣。

那么，什么樣的題目更有利于誘發(fā)學生的批判性思考呢？以下幾點需要特別注意：（1）需要謹慎地得出結論;（2）需要收集和檢視可能獲得的數(shù)學信息或答案的證據(jù);（3）需要根據(jù)數(shù)據(jù)分析各種假設，考慮各種可能出現(xiàn)的替代解釋;（4）需要找到相關的理論或合理的解釋，并充分認識答案的適切性。

例如，在“圓柱、圓錐的體積”的練習中，最基礎的題型是：

一個圓柱和一個圓錐體積相等，底面積之比是2∶3，則它們的高的比是（??）。

學生運用基本算法和公式就可以完成解這道題目的解，這樣的思考過程體現(xiàn)的思維層級是比較低的。同樣的題目，我們不妨給它“充點氣”：

小明和小華正在實驗室做實驗，小明選擇了一個底面積為4平方厘米、高為12厘米的圓柱形容器，小華選擇了一個底面積為9平方厘米、高為14厘米的圓錐形容器。他們分別往容器中注入同樣多的水（如圖1、圖2，兩個容器都未裝滿），此時兩種容器中水面的高度有怎樣的關系？

對于這樣擁有復雜信息的題目，學生首先要思考：這道題目與什么數(shù)學知識相關聯(lián)？圓柱、圓錐的體積、底面積、高之間有哪些基本的關系式？同時，學生還要謹慎地對待所獲取的各類數(shù)學信息：“圓柱形容器的高為12厘米”“圓錐形容器的高為14厘米”“圓錐底面積為9平方厘米”這些信息有價值嗎？能否成為獲取答案的有用信息？此時，相比閱讀信息，學生更需要通過思考來分辨、過濾接收到的信息，辨別命題者給出的信息是否可以為自己所用，有沒有其他隱含的信息。帶著這樣的思考，學生要對后面的信息進行整合：“兩個容器都未裝滿”，這表明原有的高與解題時需要的水面高度沒有關系;同時表明水面面積才是我們所需要算的圓錐的底面積。由此，對獲取的信息做出合理取舍。緊接著，學生需要進一步思考：“注入同樣多的水”代表什么？是的，體積相等。至此，就可以對現(xiàn)有信息做全面的關系溝通，提煉出相關的數(shù)學模型：圓柱、圓錐體積相等，底面積關系為2∶3，求高的關系。

這樣的題目，引領學生經(jīng)歷“尋找—選擇—解釋—整合—評估”的全過程。學生需要不斷地思考自己獲取的信息，反思自己的想法，在復雜的情境下建立并使用模型，從而有效提升批判性思考能力。

三、設置開放問題，指向“批判性表達”

相比于閱讀與思考，表達才是我們解決問題的最終呈現(xiàn)，也因此顯得更加重要。以什么樣的方式來表達，能反映答題者是如何控制自己的思想和心智的，是如何把判斷建立在客觀證據(jù)而不是主觀感覺上的。因此，命制的問題還應指向?qū)W生的批判性表達。

批判性表達應包含這樣幾個步驟：（1）與原題中的信息產(chǎn)生對話，包括提煉重要信息和突破已有信息的限制;（2）對問題的本質(zhì)進行系統(tǒng)歸類，憑借初始的感覺定位問題;（3）對上一步的解答過程做進一步的分析和闡釋，尋求理由支撐;（4）有發(fā)展性的傾向，能在問題解決的同時獲得自己獨特的見解。

例如，“路程、時間和速度的關系”的練習中，有這樣一道題目：

甲、乙兩地相距400千米，汽車從甲地到乙地，3小時行駛了全程的35，照這樣計算，再行駛幾小時才能到達乙地？

我們可以做如下改編：

暑假里，小明一家出去旅游，路上有如下的對話。爸爸：我們8點出發(fā)的，現(xiàn)在幾點了？媽媽：已經(jīng)11點了。小明：開這么久了？這是有多長的路??？爸爸：遠著呢！全程有400千米哦！小明：??？這么遠？那我們還要幾個小時才能到呢？媽媽：別著急，我們已經(jīng)走完35了。

（1）請你從以上對話中提煉出一個數(shù)學問題。

（2）下面的算式中，能解答你的問題的有（??）

A.1÷35÷3-3

B.400÷400×35÷3-3

C.1-35÷35÷3

D.400×1-35÷400×35÷3

（3）如果你是小明，如何更快地判斷出剩下的路程所需的時間？用你喜歡的方式記錄下你的判斷過程和結果。

一道題目的解答方式可以是多元的，比起列一道算式，我們更希望學生經(jīng)歷從提出問題到解決問題的全過程。改編后的題目，呈現(xiàn)的是生活中的一段對話，需要學生自己去提煉數(shù)學問題，與原有的信息產(chǎn)生對話，并做出取舍、整

合，這是批判性表達的第一步。接著，對于問題的多元信息，學生需要進行歸類：有的是“分率”信息，有的是“具體數(shù)量”信息，這就決定了這一問題可以按照“分率問題”“具體數(shù)量問題”兩種類型來解答。于是，第（2）問讓學生選擇能解答這道題的算式，從不同角度對問題做出闡釋，這是批判性表達的第二步。最后，問題要求學生回到生活中，以生活中常見的便捷方式判斷出剩下的路程所需的時間：3小時行駛了35，剩下的25自然就需要2小時。學生可以自由地用自己喜歡的方式闡述自己獨特的見解，這是批判性表達的第三步。

從“批判性閱讀”到“批判性思考”，再到“批判性表達”，是所有學習活動的邏輯發(fā)展鏈條。像這樣層層遞進地追尋命題的指向和方法，學生便能深度進入問題內(nèi)部，最終得出經(jīng)過心靈過濾的“獨立評論”。數(shù)學學習于此順利發(fā)生，數(shù)學素養(yǎng)于此內(nèi)化于心。

參考文獻：

[1] 彭漪漣，馬欽榮.邏輯學大辭典[Z].上海：上海辭書出版社，2004.

[2] 陳六一，劉曉萍.指向核心素養(yǎng)的小學數(shù)學命題探究——基于PISA數(shù)學測試的啟示[J].教育與教學研究，2017（8）.