楊孝斌 黃晚桃 吳才鑫 羅紅梅
【摘 要】研究者通過(guò)對(duì)貴州水族文化生活中數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究,將其開(kāi)發(fā)為數(shù)學(xué)課程資源,編撰成數(shù)學(xué)教學(xué)案例并加以實(shí)踐。教師在教學(xué)軸對(duì)稱(chēng)、平方差公式、等比數(shù)列等知識(shí)點(diǎn)時(shí)引用相關(guān)案例,激發(fā)了各學(xué)段學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,促進(jìn)了數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升。
【關(guān)鍵詞】民族數(shù)學(xué)文化;水族;課程資源;開(kāi)發(fā);數(shù)學(xué)情境教學(xué)
一、水族數(shù)學(xué)文化概述
對(duì)水族人民生活中有關(guān)問(wèn)題的考察和研究表明,水族人民生產(chǎn)生活中的許多現(xiàn)象,如語(yǔ)言文字中的數(shù)字符號(hào),生產(chǎn)實(shí)踐中的計(jì)數(shù)習(xí)慣,社會(huì)生活中的習(xí)俗,建筑中的幾何圖案,各種長(zhǎng)度、面積、角度的計(jì)算,水族地區(qū)廣泛使用的度量衡,水族的天文歷法,乃至水族服飾、銀飾、銅鼓、器具、竹編等傳統(tǒng)手工藝制品和常見(jiàn)的生活用品等,都蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化知識(shí),承載著豐富的幾何紋樣、幾何變換等數(shù)學(xué)元素。凡此種種,都與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系。
在對(duì)水族數(shù)學(xué)文化研究的基礎(chǔ)上,出于課程與教學(xué)論研究的需要,我們進(jìn)一步將水族數(shù)學(xué)文化知識(shí)開(kāi)發(fā)為數(shù)學(xué)課程資源,編撰成數(shù)學(xué)教學(xué)案例,并在各學(xué)段的數(shù)學(xué)課堂中加以實(shí)踐。實(shí)踐表明,水族數(shù)學(xué)文化課程資源及其教學(xué)案例的運(yùn)用,可以激發(fā)各學(xué)段學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升。
二、基于“情境—問(wèn)題”數(shù)學(xué)教學(xué)模式的水族數(shù)學(xué)文化教學(xué)案例開(kāi)發(fā)
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出,課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際,有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索;教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ);在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí),重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn),使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程[1]。為此,數(shù)學(xué)教師在教學(xué)時(shí)要結(jié)合學(xué)生實(shí)際,從學(xué)生熟悉的實(shí)際生活中開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)課程資源,精心地、科學(xué)地創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境,讓學(xué)生在自己熟悉的生活情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。
20世紀(jì)80年代以來(lái),貴州師范大學(xué)呂傳漢、汪秉彝兩位教授對(duì)民族數(shù)學(xué)文化和跨文化數(shù)學(xué)教育進(jìn)行研究,并在此基礎(chǔ)上提出“情境—問(wèn)題”數(shù)學(xué)教學(xué)模式,在我國(guó)西南地區(qū)乃至全國(guó)進(jìn)行了長(zhǎng)年的教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究?!扒榫场獑?wèn)題”數(shù)學(xué)教學(xué)基本模式[2-4]如圖1所示。以此教學(xué)模式的相關(guān)理論和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)為指導(dǎo),我們可以在搜集、挖掘、整理水族數(shù)學(xué)文化資源的基礎(chǔ)上,嘗試開(kāi)發(fā)水族數(shù)學(xué)文化教學(xué)案例,并引入水族地區(qū)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。
圖1 “情境—問(wèn)題”數(shù)學(xué)教學(xué)基本模式
下面分別選取小學(xué)數(shù)學(xué)、初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)的一個(gè)知識(shí)點(diǎn),以水族數(shù)學(xué)文化資源作為教學(xué)情境,開(kāi)展水族數(shù)學(xué)文化引入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的案例設(shè)計(jì)與實(shí)踐探索。
案例1 水族服飾圖案與圖形變換的認(rèn)識(shí)
【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)(人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè))
【數(shù)學(xué)情境】水族服飾因其圖案精美、顏色絢麗而受到大家的青睞。圖2依次是水族的男士上衣、女士背帶、女士圍腰、花帽頂部的繡花圖案。
圖2 水族服飾中的對(duì)稱(chēng)
【提出問(wèn)題】
①(教師用多媒體呈現(xiàn)圖2)同學(xué)們?cè)谏钪幸?jiàn)過(guò)這些圖案嗎?
②(教師用多媒體動(dòng)畫(huà)演示,呈現(xiàn)添加的線(xiàn)條)你認(rèn)為老師為什么要在每個(gè)圖案中添加一些線(xiàn)條?你能說(shuō)說(shuō)這些圖案有什么共同特點(diǎn)嗎?
③ 我們需要給具有這種特點(diǎn)的圖案取一個(gè)名稱(chēng),你覺(jué)得可以怎樣???你還可以給圖中添加的線(xiàn)條取一個(gè)名字嗎?
④ 想一想,我們身邊還有哪些事物也具有這樣的特點(diǎn)?
【問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖】
① 吸引學(xué)生的注意力,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。對(duì)于展示的圖案,大多數(shù)水族學(xué)生應(yīng)該見(jiàn)過(guò)。
② 將學(xué)生的注意力和數(shù)學(xué)思維活動(dòng)引向本節(jié)課的主題——軸對(duì)稱(chēng)。學(xué)生可以清楚地看到每個(gè)圖案都可以被添加的線(xiàn)條一分為二,分得的兩部分具有對(duì)稱(chēng)性。
③ 在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生嘗試說(shuō)出軸對(duì)稱(chēng)圖形的名稱(chēng),并進(jìn)一步認(rèn)識(shí)對(duì)稱(chēng)軸。
④ 教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生尋找生活中的軸對(duì)稱(chēng)圖形,讓學(xué)生體驗(yàn)生活中處處有數(shù)學(xué),進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)、熱愛(ài)生活的情感。
【案例評(píng)析】
小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)“圖形的運(yùn)動(dòng)”(包括軸對(duì)稱(chēng)、平移等)的學(xué)習(xí)重在了解、體驗(yàn)、感知,并不需要給“軸對(duì)稱(chēng)圖形”“對(duì)稱(chēng)軸”等概念下嚴(yán)格的定義。教材中的例子與水族學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、生活實(shí)際相去甚遠(yuǎn)。數(shù)學(xué)教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況,因地制宜選取數(shù)學(xué)教學(xué)素材,使數(shù)學(xué)教學(xué)更貼近學(xué)生的生活實(shí)際。上述數(shù)學(xué)情境的設(shè)計(jì)正是從水族學(xué)生常見(jiàn)的服飾圖案入手,開(kāi)展“軸對(duì)稱(chēng)”內(nèi)容的學(xué)習(xí)。教學(xué)實(shí)踐表明,這樣的情境引入很容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,教學(xué)效果良好。
類(lèi)似的問(wèn)題還有很多,比如在“圓的認(rèn)識(shí)”部分,教材中的例子是天壇、摩天輪等。少數(shù)民族地區(qū)的學(xué)生大多沒(méi)見(jiàn)過(guò)此類(lèi)事物,不利于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。但在學(xué)生的生活環(huán)境中,到處都有圓的身影。以水族為例,水族人民在生活中隨處可見(jiàn)各種圓形的木桶、圓形的簸箕,等等。而且,水族人民很早就知道為了制造半徑為R的木桶,需要做好若干木塊,使木塊寬度的總和大致等于3.15×2R,然后把這些做好的木塊凹面向下并列排在一起,剛好成一個(gè)無(wú)縫隙的圓桶[5]。
案例2 水族背帶與平方差公式的發(fā)現(xiàn)
【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式(人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè))
【數(shù)學(xué)情境】水族衣服、背帶、繡花鞋以及孩童花帽等,在水族的生活中形成了一道靚麗的風(fēng)景線(xiàn),其中也蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)知識(shí)。圖3是水族一款背帶的圖案[6]。
圖3 水族背帶圖案圖4 學(xué)生作圖
【提出問(wèn)題】
① 請(qǐng)觀察圖3,作出它的幾何圖形。(學(xué)生通過(guò)觀察,可以作出如圖4所示的圖形,它由中心重合且對(duì)應(yīng)邊互相平行的兩個(gè)正方形構(gòu)成。)
② 假設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,正方形EFGH的邊長(zhǎng)為b,兩個(gè)正方形的面積分別是多少?它們的面積之差是多少?
③ 這兩個(gè)正方形的面積之差還可以怎樣計(jì)算?
④ 四邊形ABFE、BCGF、CDHG、DAEH分別是什么圖形?它們的面積可以怎樣計(jì)算?
⑤ 四邊形ABFE、BCGF、CDHG、DAEH的面積分別是多少?它們的面積之和是多少?
⑥ 四個(gè)等腰梯形的面積之和與兩個(gè)正方形的面積之差有什么關(guān)系?
⑦ 由問(wèn)題⑥,你能得到什么樣的等式關(guān)系?這個(gè)結(jié)果說(shuō)明了什么?
⑧ 如圖5所示,如果兩個(gè)正方形的中心不重合,這個(gè)結(jié)論還成立嗎?
圖5 中心不重合的正方形
【問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖】
① 讓學(xué)生經(jīng)歷從生活情境中抽象出幾何圖形的過(guò)程;
② 引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算兩個(gè)正方形的面積之差;
③ 引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算四個(gè)等腰梯形的面積之和,從而用新的方法求出兩個(gè)正方形的面積之差,體會(huì)算法多樣化的思想;
④ 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);
⑤ 變式訓(xùn)練,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考問(wèn)題的本質(zhì)。
【案例評(píng)析】
本案例從水族學(xué)生熟悉的圖形出發(fā),為平方差公式找到了一個(gè)直觀的幾何模型。通過(guò)這個(gè)模型,學(xué)生可以得到關(guān)于平方差公式證明的一個(gè)很好的方法。在水族學(xué)生占多數(shù)的學(xué)校里講授平方差公式的證明時(shí),教師不妨按此方法教學(xué),讓學(xué)生在自己熟悉的文化中感受數(shù)學(xué)知識(shí)。從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā),讓學(xué)生在熟悉的生活情境中開(kāi)始一堂課的學(xué)習(xí),能有效地吸引學(xué)生的注意力。這樣不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,而且能讓他們感受到數(shù)學(xué)其實(shí)就在自己的身邊。
案例3 水族婦女手袋圖案與等比數(shù)列、數(shù)列極限的學(xué)習(xí)
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列[人教版高中數(shù)學(xué)必修5(B版)]
【數(shù)學(xué)情境】圖6為水族婦女手袋圖案。
圖6 水族婦女手袋圖案
【提出問(wèn)題】
① 請(qǐng)觀察圖6,作出它的抽象幾何圖形。(學(xué)生通過(guò)觀察,可以作出如圖7所示的圖形。)
圖7 水族婦女手袋圖案示意圖
② 假設(shè)大正方形的面積為1,從外到內(nèi)第二個(gè)、第三個(gè)、第四個(gè)正方形的面積分別是多少?
③ 這些數(shù)構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列嗎?
④ 這些數(shù)有什么規(guī)律可循?你可以給這樣的數(shù)列下一個(gè)定義嗎?
⑤ 按照這個(gè)規(guī)律繼續(xù)作圖,猜猜第六個(gè)正方形的面積應(yīng)該是多少?你可以寫(xiě)出公式嗎?
⑥ 設(shè)最外面的正方形的面積為a1,從外到內(nèi)第二個(gè)正方形的面積是第一個(gè)正方形的q倍,第三個(gè)正方形的面積是第二個(gè)正方形的q倍……以此類(lèi)推,第n個(gè)正方形的面積是多少?
⑦ 換一個(gè)角度,假設(shè)大正方形的面積為1,從外到內(nèi)第一圈四個(gè)直角三角形的面積之和是多少?第二圈四個(gè)直角三角形的面積之和是多少?第三圈呢?第n圈呢?隨著n的增大,第n圈四個(gè)直角三角形的面積之和是如何變化的?
⑧ 如果按照這個(gè)規(guī)律作圖,將每一圈的四個(gè)直角三角形的面積分別表示出來(lái),再相加,你估計(jì)它們的面積之和是多少?這個(gè)結(jié)果說(shuō)明了什么?
【問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖】
① 讓學(xué)生經(jīng)歷從生活情境中抽象出幾何圖形的過(guò)程;
② 引導(dǎo)學(xué)生逐步總結(jié)出等比數(shù)列的定義,并引導(dǎo)學(xué)生尋找等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;
③ 引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)列的極限;
④ 引導(dǎo)學(xué)生感受無(wú)窮遞減等比數(shù)列(公比q<1,q≠0)前n項(xiàng)和的極限。
【案例評(píng)析】
等差數(shù)列、等比數(shù)列及其相關(guān)知識(shí)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,數(shù)列求和、數(shù)列極限是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)知識(shí)。長(zhǎng)期以來(lái),部分教師沿用課本上的材料或著名數(shù)學(xué)家的趣聞?shì)W事,如高斯小時(shí)候的故事、國(guó)際象棋發(fā)明者的故事、窮人向富人借錢(qián)的故事等,作為數(shù)列部分的數(shù)學(xué)情境。當(dāng)然,這些情境有其存在的合理性和教學(xué)價(jià)值。
本案例從水族數(shù)學(xué)文化資源出發(fā),為等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及數(shù)列極限等有關(guān)知識(shí)的教學(xué)找到了一個(gè)較好的例子。以這個(gè)例子作為問(wèn)題情境,設(shè)置相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,通過(guò)不斷地啟發(fā)與暗示,同樣可以引出等比數(shù)列的定義,引導(dǎo)學(xué)生探究等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;設(shè)置問(wèn)題⑦和問(wèn)題⑧是為學(xué)生將來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)列極限以及無(wú)窮遞減等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限等問(wèn)題做準(zhǔn)備。(注:?jiǎn)栴}⑦和問(wèn)題⑧不宜在初學(xué)等比數(shù)列時(shí)展示給學(xué)生)
此外,對(duì)水族聚居地區(qū)的學(xué)生而言,水族婦女手袋的圖案是他們熟悉的圖案,更容易引起學(xué)生的共鳴。教師將水族婦女手袋的圖案作為數(shù)學(xué)問(wèn)題情境引入課堂,可以發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。我們還可以進(jìn)一步要求學(xué)生研究下面的圖案(如圖8所示),分別得到如下結(jié)果:
圖8 幾何直觀與數(shù)列極限[7]
左圖:12+14+18+116+…=1
右圖:34+316+364+…=1
三、民族數(shù)學(xué)文化課程資源開(kāi)發(fā)與利用的“三結(jié)合”模式
從上述案例及討論可發(fā)現(xiàn),以“民族數(shù)學(xué)文化情境”作為民族地區(qū)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維起點(diǎn),使數(shù)學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)貼近民族地區(qū)學(xué)生的生活實(shí)際,增強(qiáng)民族地區(qū)數(shù)學(xué)教育的文化適應(yīng)性,讓已經(jīng)存在于民族地區(qū)學(xué)生頭腦中非正規(guī)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)體驗(yàn)上升發(fā)展為科學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)論,可以讓學(xué)生從中感受到民族文化的數(shù)學(xué)魅力,增強(qiáng)民族自豪感和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心,體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。
要實(shí)現(xiàn)上述設(shè)想,達(dá)到以民族文化情境引導(dǎo)數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的目的,教師需要充分挖掘民族數(shù)學(xué)文化資源,進(jìn)一步與數(shù)學(xué)課程有關(guān)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合,創(chuàng)設(shè)具有民族數(shù)學(xué)文化的教學(xué)情境。通過(guò)十年的努力,凱里學(xué)院“民族數(shù)學(xué)文化與教育研究”形成了“搜集與挖掘民族數(shù)學(xué)文化、開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)課程資源、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐”三結(jié)合模式[8](簡(jiǎn)稱(chēng)“三結(jié)合”模式,如圖9所示)。
圖9 民族數(shù)學(xué)文化課程資源開(kāi)發(fā)與利用模式圖
“三結(jié)合”模式以學(xué)生熟悉的民族文化為素材創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境,有利于學(xué)生形成民族認(rèn)同感,有利于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)方法、掌握數(shù)學(xué)知識(shí),是有效實(shí)施民族地區(qū)數(shù)學(xué)文化課程資源開(kāi)發(fā)與利用,進(jìn)而促進(jìn)當(dāng)前少數(shù)民族地區(qū)數(shù)學(xué)教育的一種方法。
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