羅萬良

【摘要】在數(shù)學課堂教學中，“用數(shù)軸上的點表示無理數(shù)”這一內(nèi)容的教學，往往容易呈現(xiàn)偏差，或過于簡單，一帶而過；或過于復雜，但又不注重通過教學發(fā)展學生的思維能力。本文在課標研究基礎(chǔ)上，著眼于發(fā)展學生思維能力的角度，對這一內(nèi)容教學進行了設(shè)計，并得出教學啟示。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學；課標；無理數(shù)；思維能力

“用數(shù)軸上的點表示無理數(shù)”是北師大版初中數(shù)學教材八年級上冊《實數(shù)》一章的第六節(jié)內(nèi)容“實數(shù)”中的“議一議”。按照教材安排，這個內(nèi)容與實數(shù)概念、分類運算規(guī)律律等為同一節(jié)課。對于剛剛在第一節(jié)認識無理數(shù)、剛剛學習帶根號的無理數(shù)的學生來說，這樣的教學內(nèi)容無疑是教學難點。在聽取兩位青年教師的講課后，發(fā)現(xiàn)不少問題。他們的共同特點是：把知識教“狹窄”了——僅手把手教學生畫 ，把知識教“呆板”——只教作圖程序知識，沒有教分析方法、思維方法。如何透過這個難點培養(yǎng)學生思維能力？為此，筆者提出以下教學策略來突破難點、培養(yǎng)思維能力。

一、設(shè)計培養(yǎng)思維能力的教學序列，巧妙突破策略

1.于自主探究中發(fā)展思維能力——由形到數(shù)

①教師提出問題：直角三角形的兩直角邊分別為1、1，斜邊長是多少？這是個什么數(shù)？運用什么知識求解？發(fā)現(xiàn)什么方法？

【設(shè)計意圖】學生計算，得出。明晰的長度可以通過畫直角三角形來獲得，揭示勾股定理在這里的運用價值，初步掌握這種畫圖分析方法。

②通過以下三組探究，發(fā)現(xiàn)更多的無理數(shù)的畫法。學生獨立操作，畫草圖分析，然后交流。

第一組：從兩直角邊分別為1、2，1、3……1、10。

第二組：從兩直角邊分別為1、1，2、2，3、3……10、10。

第三組：從兩直角邊分別為1、2，2、3，3、4……9、10。

【設(shè)計意圖】第一組可以畫出的數(shù)是 （可以化為 的倍數(shù)）. 第二組可以畫出的數(shù)是 ，它們可以化為的倍數(shù)。第三組可以畫出的數(shù)是 。通過學生操作，達到四個目的：一是真切地直觀地感受到帶根號的無理數(shù)的長度；二是經(jīng)歷大量的畫草圖分析的過程，熟練地用勾股定理求出直角三角形的斜邊長，了解不同的無理數(shù)的長度 “是怎么來的”，即感受借助這種數(shù)學模型思考；三是發(fā)現(xiàn)這種數(shù)學思考模型所列出來的無理數(shù)并不齊全；四是把學習主動權(quán)還給學生，讓學生經(jīng)歷探索過程，通過切身體驗發(fā)現(xiàn)方法、獲得知識。

2.于分析數(shù)構(gòu)造形中培養(yǎng)思維能力——由數(shù)到形

任意給出一個帶根號的無理數(shù)，倒過來想，勾股定理的計算過程怎么會得出這個結(jié)果，然后再由此還原這個帶根號的無理數(shù)屬于什么形狀的直角三角形。

教師提出分析樣例：的分析過程。根據(jù)勾股定理a2+b2=c2， （）2=10.思考，哪兩個數(shù)的平方和是10呢？12+9，22+6，32+1。但要滿足，兩個數(shù)都必須是某個正整數(shù)的平方，由此想到，12+9，即12+32，此時，1和3就是直角三角形兩只角邊的長。簡要表述為：對于 我們可以思考哪兩個數(shù)的平方和等于10，通過實驗、計算，找到符合條件的兩個數(shù)，它們就是以 為斜邊的直角三角形的兩條直角邊。接下來，請學生分析至中帶根號的無理數(shù)的情況。發(fā)現(xiàn)在需要分析 這些數(shù)中，只有可以使用上面的方法。也發(fā)現(xiàn) 可以用勾股定理的變形式來思考。其他可以在此基礎(chǔ)上，借助一些簡單無理數(shù)的長度再次構(gòu)造直角三角形來實現(xiàn)。

【設(shè)計意圖】從給定的帶根號的無理數(shù)進行分析，還原該無理數(shù)代表的線段所在的直角三角形，從而把“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，用線段表示線段的長度，為在數(shù)軸上找到這個無理數(shù)的位置打下鋪墊。同時，也為分析帶根號無理數(shù)“由數(shù)化形”找到解決此類問題的一般性方法。

3.于動手畫圖中感受對應關(guān)系培養(yǎng)思維能力——數(shù)形結(jié)合

①特例的準確對應

上面，通過畫直角三角形的方法，得到一些斜邊是帶根號的無理數(shù)，如何把它們畫在數(shù)軸上呢？

方法一：畫好后，借助圓規(guī)“量”，然后在數(shù)軸上截取即可。

方法二：把直角三角形畫在數(shù)軸上，然后用圓規(guī)在數(shù)軸上畫弧，把長在直角三角形上帶根號的無理數(shù)那段長度“轉(zhuǎn)”到數(shù)軸上。

②在數(shù)軸上標注任意帶根號的無理數(shù)的大致位置

師生一起分析至中帶根號的無理數(shù)如何在數(shù)軸上大致表示出來。

教師以為例，它在與之間，即4與5之間，但靠近4。其他的都由學生來分析，并標注在數(shù)軸上。讓學生感受到實數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應性，在直觀體驗中，增強學生的數(shù)感。

【設(shè)計意圖】前面學習過在數(shù)軸上表示有理數(shù)，學生已經(jīng)知道，整數(shù)可以比較準確地在數(shù)軸上表示出來。而無理數(shù)，是否能在數(shù)軸上表示？通過第一個問題“直角三角形的兩直角邊分別為1、1，斜邊長是多少？”已經(jīng)有了初步了解，但還不是很清楚。通過畫圖教學，啟發(fā)學生：無論是無限不循環(huán)小數(shù)形式，還是帶根號形式，都不能準確表示，只能大致表示。

二、教學反思

1.以上教學序列是否符合課標要求

課標的要求是“知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應”。教材給出的畫法，課外練習只要求在數(shù)軸上找到的點。教師用書對此的教學目標沒有明確給出。在設(shè)計目的處是這樣說的：“目的在于引導學生將實數(shù)和數(shù)軸上的點建立一一對應關(guān)系。這種關(guān)系的建立，將‘數(shù)’這一代數(shù)對象賦予了‘點’這一幾何特征，實現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合。”“這里先給出一個無理數(shù)的數(shù)軸表示，然后再讓學生類似地在數(shù)軸上表示另外一個無理數(shù)。由此推想，無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點表示，從而初步獲得對‘每個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示’的感性認識”。也提到，“初中階段無法嚴格說明它們的正確性，教學時可結(jié)合具體例子讓學生感受，不要深究”?；谝陨弦螅虒W這一內(nèi)容時，不必舉出學生難以在通過作業(yè)本畫出的無理數(shù)，也不必給出太多這樣的畫圖訓練，更不必介紹如何進行嚴格說明或證明。

對照以上要求，反觀以上教學序列，可以發(fā)現(xiàn)，這樣的教學把知識教“寬廣”了——找到畫出帶根號的無理數(shù)并標到數(shù)軸的通性通法；把知識教“活”了——教作圖程序知識只是示范，更多地是從學會分析問題的方法和數(shù)學思維方法。僅從知識的量的角度去思考，這樣的教學已經(jīng)超過了課程標準的要求，但從課標的基本理念來說，借助一定的數(shù)學知識的教學，讓學生經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)來獲得數(shù)形結(jié)合的思想方法、學到解決一類問題的通性通法、發(fā)展學生高階思維能力、培養(yǎng)“四能”，這樣的教學又是符合課程標準的要求的。這樣的教學又何樂而不為呢？當然，可以視學生的實際情況，把這樣的教學放在課堂上或者放在數(shù)學興趣小組教學上。

2.得到的啟示

以上對一個教學內(nèi)容進行的分析思考，可以得到兩點啟示：

①在教學前要善于制定準確的教學難點，要想方設(shè)法尋找最佳的突破策略。以上提供其中的一個突破策略，在實際教學實施中表明，其教學效果大大激發(fā)學生的探究熱情，取得較好的學習效果。不同風格的教師一定還有更多更好的突破策略；

②備考時要吃透課程標準要求。要深度理解教材的基礎(chǔ)上，對教學內(nèi)容進行整合、拓展，讓教學過程成為發(fā)展學生思維能力的過程，使學生學會用數(shù)學的方法進行分析思考。