張婷 賀媛 唐俐

【摘 要】APOS理論是由美國的杜賓斯基致力于幫助學生更好的理解教學而建立的數(shù)學概念教學模式[1]。二面角是高中空間幾何中極其重要的內(nèi)容，但也是抽象的、多變的、難理解的。本文在傳統(tǒng)教學基礎上反思創(chuàng)新，將APOS理論與二面角概念巧妙融合，為二面角的教學提供、可靠、深刻的理論基礎。

【關鍵詞】APOS理論;二面角概念;二面角教學

【中圖分類號】G427 ??????【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）16-0016-02

一、APOS教學設計要素

1.活動階段設計。

這一階段主要是通過一系列“活動”讓同學獲取對概念的感性認識，活動可以是具體的、外顯性的，如操作、實驗、推理等等，外在活動一般不可缺少的環(huán)節(jié)為（1）創(chuàng)設問題情境（2）選擇學習活動的教學素材：素材一般來源于生活，這樣更加符合學生的認知水平。（3）確定活動的方式：活動方式可以多種多樣，比如實驗法，教學信息技術等。

內(nèi)在的活動可以是學習者內(nèi)部火熱理性思維過程，如觀察、思辨、猜想、判斷等。

2.過程階段設計。

在活動階段之后，需對操作對象進行比較，反思等思維操作，分為三個階段：（1）反思階段;（2）組織數(shù)學語言;（3）形成數(shù)學概念。

3.對象活動階段。

該階段又可以細化為三個小階段：（1）概括概念：通過前兩個階段的教學，分析概括出概念。（2）辨析概念：通過一題多變等教學，改變概念的非本質(zhì)特征，掌握概念特有的回歸本質(zhì)的屬性;（3）列舉正反例：通過正反例的對比，加深學習者對概念本質(zhì)的掌握[3]。

4.圖式階段設計。

本階段是對概念進行更高級別的加工和整合處理，對概念的認識進一步加強，本階段抽象概括概念的本質(zhì)屬性。

二、二面角概念片段教學設計

1.核心素養(yǎng)下的教學目標。

知識與技能目標：掌握二面角的概念，能獨立作出簡單圖形的二面角。

過程與方法目標：經(jīng)歷二面角的生成性過程;掌握由二面角轉(zhuǎn)化為平面角的轉(zhuǎn)化方法;利用類比加深二面角的平面角的定義[4]。

情感與態(tài)度目標：采用合作探究方法，促進學生合作探究意識培養(yǎng)，讓學生體會立體幾何美。

重點：二面角的平面角的定義。

難點：二面角的概念以及如何做出已知圖形的二面角。

2.基于APOS理論的二面角教學片段。

第一階段 活動（Action）階段

老師：如圖，同學們你們看這幾個圖有什么共同的屬性？

學生：都有兩個面. 并且兩個面之間都有一個夾角。

老師：不錯，你們還能想到那些生活中類似的圖形。

學生：打開的筆記本，打開的數(shù)學課本，屋頂上的太陽能……

（學生積極發(fā)言，老師多媒體展示二面角的更多例子）

活動階段設計意圖：從生活案例出發(fā)，利用情境教學，從學生認知的常規(guī)景象出發(fā)，學生在此過程中慢慢抽象出自己頭腦中的模型，對二面角有了感性認識，但此時學生還未能理解這類圖形的本質(zhì)屬性。

第二階段：過程（Process）階段

老師：觀察這上面給定的圖形的共同特點，剛我們說了圖形有兩個面，兩個面有什么關系？

學生：兩個面之間有條公共線，兩個面之間有夾角。這個角和我們之前學過的平面角相似但又不一樣，它不在同一個平面上。

老師：正方形中兩個平面之間的公共線叫棱，那么我們這里的圖形兩個平面之間的公共線叫什么？

學生：也叫棱，因為也是兩個面之間的公共線。

老師：不錯，太棒了！現(xiàn)在同學們思考下，類比點分直線，如果平面被一條直線分成兩部分，每部分稱為什么？

學生：依然是個平面，叫射平面。

老師：同學們想法很合理，但是在數(shù)學上，我們把每個面叫做半平面。

老師：類比平面角，由兩個半平面形成的角叫什么？

學生：半平面角。

老師：數(shù)學上，我們規(guī)定它叫二面角?？偨Y下剛才結論得到二面角有兩個半平面，有棱。我們下一步是總結二面角的概念。

老師：類比角的定義給二面角下定義。

學生：知道了，類比得到二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所形成的圖形叫做二面角，其中這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面。

老師根據(jù)學生歸納進行補充說明，準確給出二面角的定義，為進一步讓學生完整的、系統(tǒng)的、深刻的理解二面角，將角與二面角進行對比。

過程階段設計意圖：

在教學過程中啟發(fā)學生思辨、討論。引導學生用聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看待事物，引導學生以“舊知”類比“新知”，得出二面角的定義，凸現(xiàn)了“降維，化歸”的數(shù)學思想方法。

第三階段：對象（Object）階段

老師：觀察圖2幾個二面角，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

學生：二面角的大小不一樣。

老師：不錯，下面思考我們怎么去求解二面角的大??？

學生：平面角可以用量角器去度量，那么二面角也可以用量角器去度量。

老師：通過上圖3我們發(fā)現(xiàn)，二面角是不能用量角器去度量的，前幾節(jié)我們已經(jīng)學了空間兩個重要的角：異面直接所形成的角和直線與平面所形成的角，類比這兩個角，思考怎樣解決二面角？

學生：那么應該運用轉(zhuǎn)化的手段，把空間二面角轉(zhuǎn)化成平面角進行求解。

老師：類比平面角的頂點和邊，如何確定二面角的頂點和兩邊？

學生：頂點放在公共邊上，兩邊分別在兩組二面角的兩個平面內(nèi)。

老師：請同學畫出這個圖4中二面角的平面角。（學生自主完成）

學生：發(fā)現(xiàn)這樣可以畫好多角，且每個角的大小不同，所以二面角是不能用這些角去度量的。

老師：對，所有我們需要對條件進行限制來縮短二面角的范圍。

學生：作與棱垂直的線。

觀察發(fā)現(xiàn)，圖5這樣的二面角的平面角是等角的，但也有無數(shù)個，確定方法為以棱上任意一點為端點，在兩個平面分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所形成的角叫做二面角的平面角。

對象階段教學設計意圖：

通過思考，討論，類比，將二面角求法轉(zhuǎn)化為平面角，讓學生充分體會到了轉(zhuǎn)化的思想，掌握找二面角的方法，滲透學生分析問題能力的培養(yǎng)。

第四階段：圖式階段

老師：總結下二面角的平面角的基本特征。

學生：1.頂點在棱上

2.兩邊分別在兩個半平面內(nèi)。

3.兩邊都與二面角的棱垂直。

老師：類比直線與直線夾角范圍一樣，同學們討論下二面角的取值范圍。

學生：二面角的范圍0°到180°。

例：正方體A1B1C1D1-ABCD中，畫出二面角面C1-BD-C的平面角。

（學生自發(fā)討論，但沒有明確的解題思路）

老師：現(xiàn)在公共棱是哪一條？

學生：棱是BD，所以需要做兩個半平面C1BD和CBD都關于棱垂直的垂線。現(xiàn)在重點是找出棱上那個點O。以O為垂足往兩個半平面上做垂線，則二面角的平面角就是兩條垂線的夾角。

老師：大家發(fā)現(xiàn)C1B和C1D有何關系？CD和CB有何關系？

學生：相等，找BD的中點O，連接CO和C1O，由特殊三角形的性質(zhì)，∠C1OC即為所求二面角的平面角。

老師：很好，自己好好體會如何在空間幾何圖形中找二面角的方法。

圖式階段設計意圖：通過變式訓練，加強學生對二面角的知識理解，老師通過例1和例2的訓練，讓學生加深鞏固二面角的基本性質(zhì)和基本概念，學生在學習了整個APOS理論教學之后，頭腦中已有對二面角的圖式，能抓住概念的內(nèi)涵，整個過程生動傳神的讓學生掌握系統(tǒng)的、理論性，嚴密的幾何知識體系。

三、教學反思

將APOS理論與二面角概念教學結合起來，教學過程中注重概念的生成性和過程性。二面角是學生接觸的新的概念，通過在“平面幾何”與“立體幾何”之間架起一條思維通道。通過具體事例引入，為學生構建知識的歸納、概括過程，使教學過程與學生認知事物的一般過程相吻合，在教學過程中給學生逐步滲透降維、化歸、類比的數(shù)學思想。

參考文獻

[1]鮑建生，周超.數(shù)學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.