于紅燕

【摘要】數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要，數(shù)學(xué)概念獲得的兩種方式各有其優(yōu)缺點(diǎn).美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基等人結(jié)合概念獲得方式的優(yōu)點(diǎn)和數(shù)學(xué)概念形成的思維過程，提出了基于APOS的數(shù)學(xué)概念教學(xué)理論.本文探討APOS理論四個(gè)階段的具體操作，并結(jié)合實(shí)踐提出數(shù)學(xué)概念教學(xué)的若干操作性建議和一點(diǎn)思考.

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué)；APOS理論；教學(xué)設(shè)計(jì)

一、關(guān)于概念教學(xué)

大量教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)容易出錯(cuò)或沒有思路，其主要原因在于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念理解不夠深入，而高中數(shù)學(xué)內(nèi)容里大量的公式、定理、推論、結(jié)論等都是以數(shù)學(xué)概念為基礎(chǔ)的.因此，教師要特別重視高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心——概念教學(xué).

數(shù)學(xué)概念反映著事物本質(zhì)屬性的思維形式，是一類內(nèi)在的、固有的屬性，而不是表面的屬性.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念意味著學(xué)習(xí)掌握一類事物共同的本質(zhì)屬性，即能夠辨別概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)的屬性，能夠概括出其定義，能夠給出概念的肯定和否定例證，能由抽象到具體.從心理學(xué)上說，概念的獲得有兩種基本形式，即概念的形成和概念的同化，其中概念的形成在我們生活中使用較廣，對思維過程尤為重要.

美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基等人，提出數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的APOS理論，這一理論既注重學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，又注重學(xué)生的心理建構(gòu)，對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)有著積極作用.

二、對APOS理論四階段的理解

（一）活動(dòng)階段

學(xué)生通過自己操作體驗(yàn)建立直觀感受和抽象概念之間的聯(lián)系，教師利用學(xué)生熟悉的生活實(shí)例創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生通過觀察、討論、實(shí)驗(yàn)、分析得出實(shí)例之間的共同特征，從教學(xué)活動(dòng)中思考問題，經(jīng)歷從生活中抽象數(shù)學(xué)概念，認(rèn)識到“數(shù)學(xué)來自于生活”.

（二）過程階段

學(xué)生在頭腦中對之前活動(dòng)進(jìn)行反思，獲得概念的認(rèn)識，認(rèn)識事物的屬性特征，對認(rèn)知到的事物的屬性特征進(jìn)行反思、提煉、內(nèi)化，得出概念的名稱和符號的書寫，使學(xué)生在頭腦中形成初步嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念.

（三）對象階段

學(xué)生得到抽象的概念后，教師要從概念的辨析、正例、反例及概念的不同形式出發(fā)設(shè)計(jì)問題，教師引導(dǎo)學(xué)生充分理解概念的實(shí)質(zhì)、內(nèi)涵和外延，使概念更加精確化，成為一個(gè)具體的對象，這樣學(xué)生對概念有了理性的認(rèn)識.

（四）圖式階段

通過活動(dòng)階段、過程階段、對象階段，學(xué)生對概念有了深刻的認(rèn)識，教師通過設(shè)置例題、習(xí)題，讓學(xué)生從具體解題中體會(huì)、挖掘這一概念與其他概念的深層次關(guān)系，進(jìn)一步體會(huì)概念的實(shí)質(zhì)，從內(nèi)在的特征認(rèn)識概念，使學(xué)生在頭腦中形成概念的清晰的圖式.

三、反思與探討

（一）創(chuàng)新數(shù)學(xué)活動(dòng)，為概念學(xué)習(xí)提供活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

在概念教學(xué)中，許多教師一般按照教科書的編排，直接告訴學(xué)生數(shù)學(xué)概念，直接授予學(xué)生形式化、符號化的定義，很少考慮學(xué)生的認(rèn)知能力與學(xué)生的思維規(guī)律.不利于學(xué)生對概念的理解和掌握.APOS理論則強(qiáng)調(diào)在學(xué)習(xí)抽象概念前的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的準(zhǔn)備與積累，將教材編排的內(nèi)容看成教學(xué)素材，是教學(xué)的依據(jù)，創(chuàng)造性地使用教材，對教材進(jìn)行合理的加工處理，結(jié)合學(xué)生的思維特點(diǎn)設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)一定的活動(dòng)情境，讓學(xué)生積極探索、自主思考，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中感悟，在體驗(yàn)和感悟中建構(gòu)概念，為深刻地理解概念積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（二）留有充足時(shí)間，為概念的抽象提供時(shí)間保證

APOS理論強(qiáng)調(diào)概念的學(xué)習(xí)是一個(gè)螺旋式上升的過程，從活動(dòng)階段到過程階段，需要學(xué)生提煉出活動(dòng)中的問題，在大腦中反思和抽象，這個(gè)過程在短時(shí)間內(nèi)很難完成.因此，在概念教學(xué)時(shí)，教師不能只是趕進(jìn)度，催促學(xué)生抽象概念或者直接說出概念，而讓教學(xué)活動(dòng)流于形式.與此相反，教師要給學(xué)生留足活動(dòng)時(shí)間，讓學(xué)生反思，回味活動(dòng)過程，多次嘗試抽象數(shù)學(xué)概念，教師通過問題啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從具體上升到抽象.

（三）兼顧正例反例，為圖式的形成做好鋪墊

圖式這個(gè)詞源于心理學(xué)，它是一種廣義的概念，是認(rèn)知活動(dòng)的基本構(gòu)件，是經(jīng)過組織的知識，其形成是一個(gè)復(fù)雜的過程，是學(xué)生的一種動(dòng)態(tài)的建構(gòu)和再建構(gòu)活動(dòng)，通常學(xué)生最初形成的圖式是比較泛化的，需要安排一定的活動(dòng)來促進(jìn)圖式的形成.有研究表明，促進(jìn)圖式形成的關(guān)鍵是選擇和安排好圖式的正例，而促進(jìn)圖式改進(jìn)的關(guān)鍵是選擇和安排好圖式的反例.由此，教師在概念教學(xué)時(shí)常常用正例和反例來加強(qiáng)學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的理解.

（四）認(rèn)識學(xué)習(xí)過程，為概念教學(xué)確立相應(yīng)策略

在APOS理論中，四個(gè)階段是循序漸進(jìn)、螺旋式上升的過程.教師在概念教學(xué)中，按照“A—P—O—S”這個(gè)順序去研究學(xué)生學(xué)習(xí)的方式和規(guī)律，分析學(xué)生對概念心理建構(gòu)的程度以及學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中在哪個(gè)階段出現(xiàn)了困難，設(shè)計(jì)出相應(yīng)的教學(xué)策略，從而使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì)得到深刻認(rèn)識.

（五）值得探討的問題

APOS理論提出了一個(gè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的連續(xù)的過程.教師在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，四個(gè)階段分得不是很開，是不是有時(shí)候未必完全按照APOS理論線性地單向進(jìn)行？在活動(dòng)階段到過程階段要留給學(xué)生充足的時(shí)間，高中數(shù)學(xué)教學(xué)課時(shí)有限，如何把握時(shí)間這個(gè)度？APOS理論是基于建構(gòu)主義理論而提出的，那么是不是所有的數(shù)學(xué)概念都需要建構(gòu)？

許多從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)的教師都清楚，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，而APOS理論可以給予很好的指導(dǎo).APOS理論結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科本身特點(diǎn)、心理學(xué)、教育學(xué)理論，將數(shù)學(xué)概念的教學(xué)分為四個(gè)階段，使學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗(yàn)和創(chuàng)造，達(dá)到認(rèn)識數(shù)學(xué)概念思想和本質(zhì)的目的.

【參考文獻(xiàn)】

[1]徐曉燕.基于APOS理論下的概念教學(xué)設(shè)計(jì)——以“平面直角坐標(biāo)系”的教學(xué)為例[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2011（11）：21-22.

[2]羅新兵，王光生.中學(xué)數(shù)學(xué)教材研究與教學(xué)設(shè)計(jì)[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2011（5）：120-121.