淺談“數(shù)形結(jié)合”在計(jì)算教學(xué)中的運(yùn)用

葉信麗

摘 要：計(jì)算教學(xué)抽象、枯燥。教師在計(jì)算教學(xué)中可運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”，通過以形感知，理解算式意義;以形促思，探究計(jì)算算理;以形建模，掌握計(jì)算法則的方式，促使學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義的正確理解，領(lǐng)會(huì)運(yùn)算算理，使形象思維與抽象運(yùn)算完美結(jié)合。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;運(yùn)算意義;計(jì)算算理;計(jì)算法則

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2019-03-18 文章編號(hào)：1674-120X（2019）21-0066-02

數(shù)形結(jié)合不僅是一種很好的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，也是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要輔助方法。小學(xué)計(jì)算教學(xué)抽象、枯燥、乏味。在計(jì)算教學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”就是把計(jì)算教學(xué)中的運(yùn)算意義、數(shù)量關(guān)系、算理等與圖形圖像有效結(jié)合，從而使“數(shù)”和“形”相輔相成，把抽象的數(shù)學(xué)問題變得具體形象。在計(jì)算教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合，能促進(jìn)學(xué)生正確理解數(shù)的運(yùn)算意義，深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)的計(jì)算算理，使形象思維與抽象運(yùn)算完美統(tǒng)一。

一、以形感知，理解算式意義

數(shù)學(xué)算式是數(shù)學(xué)的語言，具有抽象概括的特點(diǎn)，小學(xué)生受原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的影響，往往不能正確理解它的意思。算式是計(jì)算的起點(diǎn)，如果連算式的意義都不理解，又談何正確地計(jì)算呢？所以在小學(xué)階段，結(jié)合圖形能讓學(xué)生正確理解算式表示的意義，能為正確計(jì)算鋪墊基礎(chǔ)。如筆者教學(xué)“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法 口算和筆算”一課，教學(xué)例題“每20副陸戰(zhàn)棋打一包，60副可以打幾包？”時(shí)，學(xué)生面對(duì)算式60÷20等于幾時(shí)，有的說等于3，有的說等于30。為什么會(huì)出現(xiàn)等于30的錯(cuò)誤呢？究其原因，是受到加減法數(shù)位對(duì)齊思維的負(fù)遷移，另外對(duì)算理也不理解，6÷2=3，怎么60÷20也等于3呢？對(duì)這一抽象的數(shù)學(xué)算式，學(xué)生無法用自己已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行說明，所以讓學(xué)生理解60÷20為什么等于3尤為重要。這時(shí)候，形的引入是極其必要的。

（1）喚起生活經(jīng)驗(yàn)：如果用60根小棒表示60副陸戰(zhàn)棋，60根小棒該怎么表示？根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生把60根小棒捆為6捆，小棒每10根一捆，就明白了60就是6個(gè)十。

（2）以小棒為載體，表示出60÷20的結(jié)果。如果用6捆表示60根，你能通過畫一畫、圈一圈表示出60÷20等于幾嗎？學(xué)生以20根為一份，分成3份，在直觀的小棒圖中，看到6捆÷2捆=3→6個(gè)十÷2個(gè)十=3→60÷20=3。

這里，當(dāng)學(xué)生有不同答案時(shí)，教師用小棒代替陸戰(zhàn)棋，在圈一圈中，化靜為動(dòng)，讓學(xué)生直觀地看到60里面有3個(gè)20，理解算式60÷20所表示的意義。此處圖形適時(shí)引入，清晰、形象地把算式的意義表示出來，在理解與說理的基礎(chǔ)上，答案自然就水到渠成。

（3）適時(shí)想象：教師指著一捆問：“如果這一捆是一百根呢？那算式怎么表示？”引出600÷200=3，6000÷2000=3……因?yàn)橛行“魣D的表象支撐，學(xué)生馬上明白600÷200=3就是6個(gè)百里有3個(gè)2百，6000÷2000=3就是6個(gè)千里面有3個(gè)2千。在這個(gè)過程中，因?yàn)樾“魣D形的介入，學(xué)生“分”“畫”“想”，充分調(diào)動(dòng)多種感官，用圖形的方式表示出算式，獲得豐富的直觀感知，接著又借助形，拓展了形的意義，從一個(gè)圖聯(lián)想出一連串的算式，充分發(fā)揮形的作用，拓展了思路。

二、以形促思，探究計(jì)算算理

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)起源于數(shù)，量起源于量?！鳖櫭剂x，每個(gè)數(shù)都是計(jì)數(shù)單位的累積。所以，四則運(yùn)算的本質(zhì)就是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)的運(yùn)算，不管是整數(shù)、小數(shù)，還是分?jǐn)?shù)，算理實(shí)質(zhì)是一致的。如何讓學(xué)生明白計(jì)算的本質(zhì)即算理呢？算理是隱藏在計(jì)算法則背后的道理。計(jì)算教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法，做到“知其然，然后知其所以然”。這樣才能靈活應(yīng)用，舉一反三，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。學(xué)習(xí)“小數(shù)的加法和減法”時(shí)，面對(duì)例題2.54+1.3，學(xué)生自己嘗試后，出現(xiàn)了三種不同的豎式：

面對(duì)三種不同的答案，教師并沒有馬上作出判斷，而是引導(dǎo)學(xué)生思考：在遇到數(shù)學(xué)困難時(shí)，我們是怎樣解決問題的？學(xué)生紛紛說出詢問他人、獨(dú)立思考、畫圖幫助、聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)、借助數(shù)學(xué)工具等方法。接著教師出示學(xué)習(xí)單，讓學(xué)生用多種方法去探索2.54+1.3的和是多少。學(xué)生經(jīng)過一番思考，在交流中展示了不同的探索方法。

方法一：聯(lián)系生活實(shí)際理解：

方法二：借助數(shù)學(xué)工具計(jì)數(shù)器

方法三：畫百格圖理解算理

通過方法一和方法二的展示、生生交流、教師引導(dǎo)，學(xué)生理解到生活中只有相同單位的數(shù)才能相加;小數(shù)加法中，只有相同數(shù)位的數(shù)才能相加。而百格圖的介入，讓學(xué)生直觀地看到1.3的3表示的是3個(gè)直條，即3個(gè)0.1，5表示的是5個(gè)直條，即5個(gè)0.1;明白十分位的3只能和十分位的5相加的道理，是因?yàn)樗鼈兊挠?jì)算單位相同。而4表示的是4個(gè)小方格，即4個(gè)0.01。3和4的計(jì)數(shù)單位是不一樣的，不能直接相加。在三種方法中，顯而易見，方法三是錯(cuò)誤的，只有方法二是正確的。計(jì)數(shù)器和百格圖的引入，使學(xué)生不僅明白小數(shù)加法時(shí)要相同數(shù)位對(duì)齊，而且明白數(shù)位對(duì)齊是為了讓相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加，這是隱藏在算法背后的道理。學(xué)生借助多種圖形的方式，不僅找到了答案，更重要的是直觀地理解了算理。在親身經(jīng)歷“數(shù)形結(jié)合”的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不管是用什么方法，都是為了說明一個(gè)道理：相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)才能相加減。小數(shù)加減的本質(zhì)內(nèi)涵在多種形態(tài)的圖形中被發(fā)掘出來，并形成“相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)才能相加減”的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。

三、以形建模，掌握計(jì)算法則

學(xué)生計(jì)算能力的提高，離不開熟練運(yùn)用計(jì)算法則。小學(xué)階段學(xué)生對(duì)計(jì)算法則的概括總結(jié)也離不開數(shù)與形的結(jié)合。從原生態(tài)的形到抽象意義的形，借助“形”承載“算”的意義和步驟，逐步建立數(shù)的運(yùn)算法則、規(guī)則模型。讓計(jì)算法則的概括在形與數(shù)的穿梭中逐漸建立與發(fā)展起來。計(jì)算教學(xué)中，學(xué)生是在理解算理的基礎(chǔ)上掌握運(yùn)算方法。通過道理的引領(lǐng)，讓計(jì)算法則的建立有基礎(chǔ)、有根基。

如在分?jǐn)?shù)的乘法學(xué)習(xí)中，融入折一折、畫一畫的操作，圖形的幾何直觀隱藏著計(jì)算的過程。學(xué)生經(jīng)歷了教材中例4與例5兩次的梯度探索：①動(dòng)手操作的是這張紙的幾分之幾？的是這張紙的幾分之幾？②接著直接根據(jù)乘法算式在圖中畫斜線表示計(jì)算結(jié)果，觀察算式與圖形，算法盡在圖中。隨著數(shù)字的變化，圖形已不能滿足學(xué)生計(jì)算的需要。在觀察圖形的基礎(chǔ)上，學(xué)生能找出計(jì)算的法則，對(duì)“分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母”的概括水到渠成。學(xué)生在闡述計(jì)算方法的過程中有圖可依，在直觀的充分體驗(yàn)中經(jīng)歷了動(dòng)作思維-形象思維-抽象思維的過程，而這個(gè)過程直觀的表象發(fā)揮了重要的輔助作用。

×=？用一張長(zhǎng)方形紙折一折，涂一涂，想一想，再算一算。

又如，乘法分配律歷來是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，有的教師忽視了構(gòu)建算式的結(jié)構(gòu)特征，以致學(xué)生對(duì)算式的特征感知不夠充分。筆者在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)這樣的情境：“一件上衣65元，一條褲子35元。買10套這樣的衣服，一共需要多少錢？”學(xué)生審題后，教師將具體的上衣、褲子抽象成錢數(shù)，形成如下示意圖：

65 ?65 ?65 ?65 ?65 ?65 ?65 ?65 ?65 ?65 ? ? ?65×10

35 ?35 ?35 ?35 ?35 ?35 ?35 ?35 ?35 ?35 ? ? ?35×10

學(xué)生在橫向和縱向的觀察中得出兩個(gè)不同的列式，并發(fā)現(xiàn)：65×10+35×10=（65+35）×10，這就是乘法分配律的模型。學(xué)生在讀中發(fā)現(xiàn)這兩部分是緊密關(guān)聯(lián)的。師提問：“為什么這兩個(gè)算式是相等的？你能用以前所學(xué)的知識(shí)說一說理由嗎？”學(xué)生借助乘法意義破解了“為什么”，對(duì)新的等式產(chǎn)生了初步的體驗(yàn)。單純從乘法算式意義的角度解讀算式是不夠的，學(xué)生還要發(fā)現(xiàn)這類算式的結(jié)構(gòu)特征，在列舉的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)數(shù)字特征：都有一個(gè)共同的乘數(shù)，運(yùn)用符號(hào)抽象出乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c.回顧學(xué)生原有的點(diǎn)子圖知識(shí)學(xué)習(xí)經(jīng)歷， 如“兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算”，14×2=28可以這樣口算：10×2+4×2=28。無論是哪一種方法，實(shí)質(zhì)都是應(yīng)用了乘法分配律。而長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算中的兩種計(jì)算方法：28×2=56（米），15×2=30（米），56+30=86（米）;（28+15）×2=86（米），也是乘法分配律的運(yùn)用。讓學(xué)生憑借經(jīng)驗(yàn)中的算法驗(yàn)證這種變化的合理性，這樣學(xué)生建立起的乘法分配律的模型是豐滿而深刻的。

理解算式的意義、探究計(jì)算的算理、掌握計(jì)算的法則是計(jì)算教學(xué)中的三大環(huán)節(jié)，當(dāng)然，在不同的計(jì)算課有不同的側(cè)重點(diǎn)。不管在什么環(huán)節(jié)，數(shù)形結(jié)合的巧妙運(yùn)用，都能起到事半功倍的作用，促使學(xué)生運(yùn)算能力和抽象思維水平的提高。

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