從“雞兔同籠”到行列式管窺數(shù)學(xué)基本特點(diǎn)和思想方法

陳定中

【摘要】“雞兔同籠”是中國(guó)古代著名趣題之一，對(duì)啟迪數(shù)學(xué)思維、感知數(shù)學(xué)思想方法具有經(jīng)典價(jià)值;行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論、微積分學(xué)中，都有著重要的應(yīng)用.本文通過(guò)分析“雞兔同籠”問(wèn)題求解、引入方程組方法，再延伸到用行列式求解方程組;對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的思想方法及其基本特點(diǎn)進(jìn)行探究，以期為數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)者和教育者理解數(shù)學(xué)有所幫助.

【關(guān)鍵詞】雞兔同籠;行列式;數(shù)學(xué)

一、“雞兔同籠”到行列式

（一）“雞兔同籠”問(wèn)題及算術(shù)求解

1.大約在1 500年前，《孫子算經(jīng)》中記載了個(gè)有趣的問(wèn)題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭;從下面數(shù)，有94只腳.求籠中各有幾只雞和兔？

2.算術(shù)求解

方法一：假設(shè)替代籠子里面全是雞或全是兔（即用雞代替兔或用兔代替雞）.分別是：雞的只數(shù)為（94-35×2）÷（4-2）=23（只），或兔的只數(shù)為（35×4-94）÷（4-2）=12（只）.

方法二：畫(huà)頭配腳畫(huà)35個(gè)圓圈表示35個(gè)頭，為每個(gè)動(dòng)物畫(huà)兩只腿，35只動(dòng)物用完70只腳，還少用了94-70=24只腳.把少用的這24只腳要用完，就得給其中的12只動(dòng)物各加2只腳，這12只就是兔子，另外的23只就是雞.

方法三：列表枚舉通過(guò)填表厘清雞兔的只數(shù)和腳的數(shù)量之間的關(guān)系.

從列表可以看出：94只腳對(duì)應(yīng)的是12只兔子和23只雞.

除上述解法外，還有諸如北京特級(jí)教師周沛根的特異功能法，南京師范大學(xué)單墫的“半兔”法、金雞獨(dú)立法等等，其本質(zhì)都是假設(shè)轉(zhuǎn)化.不同的轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了不同的解決思路.

（二）“雞兔同籠”問(wèn)題的方程組解法

算術(shù)一旦進(jìn)入代數(shù)領(lǐng)域，問(wèn)題隨即發(fā)生了質(zhì)的變化.技巧性讓位給求解的普遍性.同樣的“雞兔同籠”問(wèn)題，采用代數(shù)的關(guān)鍵即字母代替數(shù)，設(shè)雞為x只，兔子為y只，很容易列出

x+y=35，2x+4y=94.（1）

這就是二元一次（線性）方程組，也即“雞兔同籠”問(wèn)題的代數(shù)表示，目標(biāo)是求出x和y.通過(guò)解方程組（1）得到：雞（x）是23只，兔（y）是12只.把（1）式普遍化，貫徹?cái)?shù)學(xué)符號(hào)化，可再寫(xiě)出

a11x+a12y=b1，a21x+a22y=b2.

（2）

于是，問(wèn)題的提法變?yōu)椋阂阎禂?shù)a11，a12，a21，a22以及b1和b2，解出x和y.采用消元法，易得

x=b1a22-b2a12a11a22-a12a21，y=b2a11-b1a21a11a22-a12a21.（3）

（三）“雞兔同籠”問(wèn)題方程組的行列式解法

由（3）式的運(yùn)算規(guī)律性和對(duì)稱性，抽出方程組中元（未知數(shù)）的系數(shù)引入了二階行列式.

deta11a12a21a22=a11a22-a12a21.（4）

我們可以推廣到n元情況.

二、“雞兔同籠”到行列式展現(xiàn)的數(shù)學(xué)基本特點(diǎn)

（一）形象到抽象

抽取事物的本質(zhì)屬性，舍棄其非本質(zhì)屬性的思維過(guò)程就是抽象.“雞兔同籠”問(wèn)題取材于生產(chǎn)實(shí)踐，是具體的、現(xiàn)實(shí)的、有意義的、極具趣味性和挑戰(zhàn)性.從算術(shù)方法到方程組再到行列式求解過(guò)程中，引入元（x，y）的方程組，丟掉元而僅考慮系數(shù)的行列式;是一個(gè)從形象逐級(jí)到抽象的過(guò)程.而數(shù)感的建立、符號(hào)化語(yǔ)言的運(yùn)用，使得數(shù)學(xué)語(yǔ)言越來(lái)越精煉、簡(jiǎn)潔，使得數(shù)學(xué)成為一門(mén)精確的科學(xué).形象具體是數(shù)學(xué)的起源，抽象概括是數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)之一.正如華羅庚所說(shuō)：“數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是抽象.”

從具體實(shí)踐出發(fā)，形象較低層次的思想方法經(jīng)過(guò)抽象和概括，上升為抽象較高層次的思想方法，從而實(shí)現(xiàn)解決現(xiàn)實(shí)中和其他學(xué)科中的一些普遍的問(wèn)題.達(dá)成了較高層次的抽象思維則對(duì)較低層次的形象具體實(shí)踐的指導(dǎo)意義，從而來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)自身的運(yùn)用價(jià)值.

（二）特殊到普遍

從已知的事實(shí)出發(fā)，進(jìn)行邏輯的推理、證明和計(jì)算，這是數(shù)學(xué)的基本思維方式.在“雞兔同籠”問(wèn)題求解過(guò)程中，從假設(shè)替代法到列表枚舉法、思維從無(wú)序到有序，從具體小數(shù)據(jù)的算術(shù)求解、到抽象的大數(shù)據(jù)一般性方程（組）求解，從具體問(wèn)題的算術(shù)求解到普遍性問(wèn)題方程求解;體現(xiàn)了從特殊問(wèn)題求解到一般普遍性問(wèn)題規(guī)律探討的過(guò)程.

人類實(shí)踐中涉及問(wèn)題都要回歸數(shù)學(xué)，從這個(gè)意義上講數(shù)學(xué)解決的是具體的、特殊的一個(gè)個(gè)問(wèn)題.數(shù)學(xué)作為一種思維的工具，為解決任何問(wèn)題提供了普遍性的思維方法;作為最基本的最有哲理的學(xué)科，它是一種普遍性的科學(xué)語(yǔ)言，任何一門(mén)科學(xué)只有使用了數(shù)學(xué)，才稱其為一門(mén)科學(xué).從這個(gè)意義上講數(shù)學(xué)又是普遍思維、普遍方法、普遍工具的科學(xué).

（三）數(shù)學(xué)符號(hào)化

“雞兔同籠”問(wèn)題從算術(shù)解答到方程組解答，到引入行列式解答的過(guò)程中;整個(gè)分析，解題過(guò)程，都涉及代數(shù)假設(shè)，用字母代替未知數(shù)，與已知數(shù)參與運(yùn)算，把題中的文字語(yǔ)言表述的已知條件，翻譯成用符號(hào)化語(yǔ)言表述的方程，以及把字母看成已知數(shù)，并進(jìn)行運(yùn)算，進(jìn)而達(dá)到求解的目的.這種用符號(hào)化的語(yǔ)言描述數(shù)學(xué)的內(nèi)容，以符號(hào)的濃縮形式來(lái)表達(dá)大量的信息，是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要的形式.正如英國(guó)著名數(shù)學(xué)家羅素說(shuō)過(guò)：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯.”這都是數(shù)學(xué)符號(hào)化的體現(xiàn).

數(shù)學(xué)符號(hào)化能概括出數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律，給數(shù)學(xué)理論的表述和論證帶來(lái)的極大方便，同時(shí)用簡(jiǎn)潔明了的字母公式表示，便于記憶，便于運(yùn)用，符號(hào)化同時(shí)有助于思維的發(fā)展.如果說(shuō)數(shù)學(xué)是思維的體操，那么，數(shù)學(xué)符號(hào)的組合譜成了“體操進(jìn)行曲”.

數(shù)學(xué)符號(hào)化的思想培養(yǎng)應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程中，既要要理解和掌握數(shù)學(xué)符號(hào)的內(nèi)涵和思想，又要養(yǎng)成問(wèn)題符號(hào)化表達(dá)、運(yùn)算、推理的習(xí)慣.

（四）最優(yōu)化思想