學(xué)生向形式化證明轉(zhuǎn)變的困難研究

邵澤玲 李志國(guó)

【摘要】高等數(shù)學(xué)思維以其精確的數(shù)學(xué)定義和嚴(yán)格的邏輯演繹證明為特點(diǎn)，數(shù)學(xué)證明已經(jīng)普遍成為中學(xué)向大學(xué)過(guò)渡期學(xué)生認(rèn)知困難的重要因素.當(dāng)前的大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，絕大部分學(xué)生對(duì)嚴(yán)格形式化的數(shù)學(xué)證明產(chǎn)生了恐懼.為幫助學(xué)生順利轉(zhuǎn)向高等數(shù)學(xué)思維，本研究在已有理論框架[1]下調(diào)查了學(xué)生在形式化證明認(rèn)知上的困難，深刻剖析造成這種困難的根源，這將對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革有重要指導(dǎo)意義和現(xiàn)實(shí)意義.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)思維;數(shù)學(xué)證明;概念使用;概念理解;過(guò)渡

一、引言

20世紀(jì)60年代的數(shù)學(xué)課程改革認(rèn)為形式化證明是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最重要的特征[2]，這種觀點(diǎn)毫無(wú)疑問(wèn)是源于對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的澄清，由此產(chǎn)生的邏輯主義、形式主義和直覺主義三大學(xué)派盡管在數(shù)學(xué)哲學(xué)起源上存在很大差異，但都在一定程度上強(qiáng)調(diào)了形式證明的重要性，正是這一點(diǎn)極大地影響和促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展.

盡管有許多的經(jīng)驗(yàn)研究已經(jīng)強(qiáng)調(diào)了學(xué)生證明的困難，但是大部分是針對(duì)中學(xué)幾何課程，研究中學(xué)生在形式化證明方面的困難，卻很少涉及大學(xué)生.在已有的框架[1]中，學(xué)生個(gè)體證明主要是從數(shù)學(xué)語(yǔ)言與符號(hào)、概念理解以及證明三個(gè)方面開始進(jìn)行原因分析，理論框架中的概念理解模式包含概念的三個(gè)方面：概念定義、概念表象和概念使用，而概念使用是指?jìng)€(gè)體在創(chuàng)造或使用例子或證明過(guò)程中對(duì)概念的運(yùn)作方式.文[3][4]中作者提出的“概念定義”和“概念表象”是概念理解的兩個(gè)方面，“概念表象”和“概念定義”相比較而言，概念表象缺乏表達(dá)數(shù)學(xué)思想的語(yǔ)言，沒有揭示出證明的邏輯結(jié)構(gòu)，而概念定義不僅給出了證明思路同時(shí)也給證明書寫提供了語(yǔ)言即詞語(yǔ)和符號(hào).

數(shù)學(xué)論證作為人的活動(dòng)需要的不僅僅是對(duì)概念定義與邏輯過(guò)程的理解，而且還需要洞悉如何進(jìn)行及為什么進(jìn)行.數(shù)學(xué)定理的建立最主要的創(chuàng)造性工作不在于證明，而在于產(chǎn)生命題的猜想.許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家對(duì)“數(shù)學(xué)最重要的方面是演繹推理”“形式證明是數(shù)學(xué)的制高點(diǎn)”的說(shuō)法產(chǎn)生懷疑.他們認(rèn)為數(shù)學(xué)有比形式體系更多的東西，實(shí)際是承認(rèn)“數(shù)學(xué)實(shí)踐”的現(xiàn)實(shí)性.著名的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家拉卡托斯[5]認(rèn)為，數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是“可以錯(cuò)誤的”，數(shù)學(xué)的發(fā)展是一個(gè)充滿“猜想、證明和反駁”的過(guò)程.他認(rèn)為數(shù)學(xué)是假設(shè)演繹性的，他肯定非形式化的數(shù)學(xué)，目的在于試圖對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、數(shù)學(xué)知識(shí)的證明、數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史和邏輯結(jié)構(gòu)給出一個(gè)清晰的描述.Davis[6]認(rèn)為數(shù)學(xué)證明可以扮演不同的角色，證明可以導(dǎo)致新的發(fā)現(xiàn)，證明可以是辯論的焦點(diǎn)，同時(shí)證明也有助于消除錯(cuò)誤.

二、方法與結(jié)果

現(xiàn)在的大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，絕大部分學(xué)生對(duì)嚴(yán)格形式化的證明產(chǎn)生了恐懼.事實(shí)上，數(shù)學(xué)證明無(wú)論是在中學(xué)還是大學(xué)對(duì)學(xué)生思維發(fā)展來(lái)說(shuō)都是一個(gè)極大的挑戰(zhàn).數(shù)學(xué)推理通常用來(lái)指某些高等數(shù)學(xué)思維過(guò)程，這種嚴(yán)格的形式化的證明是屬于高等數(shù)學(xué)思維的范疇，Tall[2]指出高等數(shù)學(xué)思維包含了由描述到定義、由確信到證明的轉(zhuǎn)變，它的一個(gè)突出特點(diǎn)就是對(duì)精確概念定義和嚴(yán)格邏輯推理的突出強(qiáng)調(diào).Selden[7]也指出高等數(shù)學(xué)思維就是“建立在正規(guī)定義上的嚴(yán)格邏輯演繹過(guò)程，而這個(gè)概念定義是無(wú)法通過(guò)我們的五官感知到的”.

研究把定義基礎(chǔ)上的演繹證明作為切入點(diǎn)，從定義產(chǎn)生證明的角度入手深入剖析學(xué)生證明困難根源.特別關(guān)注利用定義去構(gòu)造數(shù)學(xué)證明的結(jié)構(gòu)，同時(shí)關(guān)注概念定義中數(shù)學(xué)符號(hào)的使用，尤其是涉及謂詞邏輯時(shí)，要告知學(xué)生彼此間的邏輯關(guān)系，對(duì)證明有效性給出一些判斷規(guī)則等.研究中采用了問(wèn)卷調(diào)查的方式來(lái)收集數(shù)據(jù)，針對(duì)極限的定義證明法進(jìn)行問(wèn)卷，了解學(xué)生對(duì)形式化證明的領(lǐng)悟程度，所有的任務(wù)要求學(xué)生在給出解答的同時(shí)給予解釋.研究對(duì)象是86名大學(xué)一年級(jí)計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生，這些學(xué)生正在進(jìn)行為期一年的高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).

問(wèn)卷中，計(jì)算機(jī)專業(yè)的這86名學(xué)生中有76名學(xué)生只能接受直觀、非形式化的證明.盡管有9名學(xué)生嘗試使用形式語(yǔ)言，可還是從直觀的角度來(lái)描述了證明過(guò)程.學(xué)生對(duì)極限的ε-N定義證明存在諸多的困惑，仍然有18名學(xué)生不能接受這個(gè)證明，從他們的描述中可以看到學(xué)生證明中的困難.談到與中學(xué)證明的不同時(shí)，學(xué)生列舉了下述幾種情況.

情況（Ⅰ）：他們認(rèn)為和中學(xué)證明比較，極限證明更加嚴(yán)謹(jǐn)，過(guò)程更復(fù)雜，思維方式存在不同，大學(xué)證明似乎是在把簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化.

這類學(xué)生能認(rèn)識(shí)到極限證明和中學(xué)存在不同，但是他們似乎并不接受極限的這個(gè)嚴(yán)格證明，認(rèn)為很明顯的問(wèn)題不需要證明.由此看來(lái)，他們根本無(wú)法理解這樣一個(gè)過(guò)程，對(duì)極限定義的理解還僅僅是直觀化水平.

情況（Ⅱ）：中學(xué)證明往往都是借助公理、定理或公式，直接由條件推出結(jié)論，論據(jù)充分而直觀.而極限證明是按照定義，由條件湊結(jié)論，似乎是在解釋，不像證明.

這類學(xué)生意識(shí)到極限的證明是利用定義來(lái)證明的，但是他們認(rèn)為這樣純粹是湊結(jié)論，而不是真正意義上的證明.其實(shí)，這類學(xué)生并沒有從本質(zhì)上理解極限的嚴(yán)格化定義，所以沒有找到證明極限的關(guān)鍵點(diǎn)，因此，無(wú)法由定義來(lái)產(chǎn)生證明的大體結(jié)構(gòu)框架.

情況（Ⅲ）：中學(xué)證明都有確定的數(shù)值、字母或圖形.而極限證明則充滿了符號(hào)，感覺是在玩符號(hào)游戲，對(duì)ε的選取完全取決于個(gè)人意愿，放縮也具有隨意性，只要能湊出結(jié)果就可以，可信度不高.

這類學(xué)生期望在用定義給出證明的同時(shí)最好輔以其他的說(shuō)明，比如，圖形或者數(shù)值等.事實(shí)上，他們無(wú)法單純依靠概念定義來(lái)獲得概念理解，總是希望發(fā)展更豐富的概念表象來(lái)幫助其更好地理解概念定義.

情況（Ⅳ）：中學(xué)證明有理有據(jù)，具體而存在.而極限證明看不見摸不到，虛無(wú)縹緲，就是硬搬教材模式，硬套證明書寫格式，根本不理解“任意”和“存在”的邏輯關(guān)系.

這類學(xué)生的困難在于無(wú)法搞清楚量詞的邏輯關(guān)系，他們認(rèn)為只是一個(gè)格式而已，而且太抽象，根本無(wú)法在客觀世界中感知到.從本質(zhì)上來(lái)講，這類學(xué)生還是沒能從真正意義上建構(gòu)極限概念，沒有把動(dòng)態(tài)的過(guò)程凝聚為對(duì)象.

綜合這幾類情況看，情況（Ⅲ）和（Ⅳ）學(xué)生的困難在于不能理解和使用符號(hào)語(yǔ)言，邏輯關(guān)系不清，從而導(dǎo)致極限證明的困難;情況（Ⅱ）學(xué)生的困難主要原因在于概念的理解上，該類學(xué)生似乎對(duì)概念定義有了一個(gè)較清晰的理解，處在一個(gè)概念定義的水平上，但是由于概念表象的不充分，從而導(dǎo)致在概念定義和概念表象之間產(chǎn)生了不協(xié)調(diào)，也就是沒能建立更好的表象來(lái)幫助其理解嚴(yán)格化的定義，當(dāng)然也缺乏根據(jù)定義來(lái)建構(gòu)證明的框架.情況（Ⅰ）學(xué)生僅僅是從直觀水平來(lái)理解極限定義的.

這個(gè)理論框架下的分析和Morre[1]的研究是相通的，在列出學(xué)生證明困難七個(gè)原因中談道：“無(wú)法開始一個(gè)證明是造成學(xué)生證明困難的重要原因之一，也就是學(xué)生根本不會(huì)想到利用定義可以證明命題，當(dāng)然也不知道如何使用定理來(lái)獲得證明的全局結(jié)構(gòu).”

三、結(jié)論

要發(fā)展學(xué)生的高等數(shù)學(xué)思維，教師就要給學(xué)生提供發(fā)展的機(jī)會(huì)和平臺(tái)，讓學(xué)生在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中能真正理解數(shù)學(xué)，在掌握概念定義的基礎(chǔ)上能擁有豐富而充分的概念表象，同時(shí)讓數(shù)學(xué)證明成為大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要工具.

APOS理論[8]認(rèn)為如果能引導(dǎo)個(gè)體經(jīng)過(guò)思維的操作、過(guò)程和對(duì)象幾個(gè)階段后，個(gè)體一般就能在建構(gòu)、反思的基礎(chǔ)上形成認(rèn)知圖式.這個(gè)理論實(shí)際是皮亞杰的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“自反抽象”理論的一個(gè)擴(kuò)展，“自反抽象”并非是關(guān)于物質(zhì)對(duì)象的抽象，而是涉及對(duì)人類自身活動(dòng)進(jìn)行反思的結(jié)果.按照APOS理論，個(gè)體在處理數(shù)學(xué)情境時(shí)是通過(guò)使用某種心理機(jī)制形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的，然后才應(yīng)用到具體數(shù)學(xué)情境中去.

事實(shí)上，極限概念本質(zhì)上的困難主要在于它是按照未凝聚化的過(guò)程而定義的：“給我任意的一個(gè)ε，我將找到一個(gè)N使得…”，而不是一個(gè)概念即“存在一個(gè)函數(shù)f（ε）使得…”.對(duì)專家來(lái)說(shuō)，這種未凝聚化的極限定義的邏輯形式是很難理解的，更不用說(shuō)是初學(xué)者.按照APOS理論對(duì)極限概念的解釋，兩個(gè)關(guān)聯(lián)過(guò)程的圖式（x→a，f（x）→L）的重新建構(gòu)得到過(guò)程，這個(gè)過(guò)程描述為當(dāng)0<|x-a|<δ時(shí)，有|f（x）-L|<ε，下一步就是把這個(gè)過(guò)程凝聚為對(duì)象并且運(yùn)用兩個(gè)量詞圖式（對(duì)所有的ε，存在δ），我們看到這個(gè)仍然是動(dòng)態(tài)的，涉及過(guò)程，但是又和兩個(gè)關(guān)聯(lián)過(guò)程的動(dòng)態(tài)圖式不同.首先，關(guān)聯(lián)的過(guò)程本身很困難，不是每名學(xué)生能迅速建構(gòu)的;其次，有必要去很好地理解量詞，但是有證據(jù)也表明學(xué)生并不具備量詞觀念來(lái)處理形式化極限概念[9].

【參考文獻(xiàn)】

[1]Morre R C.Making the transition to formal proof[J].Educational Studies in Mathematics，1994（27）：249-266.

[2]Tall D.Advanced Mathematical Thinking[M].Dordrecht：Kluwer，1991.

[3]Vinner S.Concept definition，concept image and the notion of function[J].International Journal of Mathematics Education in Science and Technology，1983（14）：293-305.

[4]Vinner S，Dreyfus T.Images and definitions for the concept of function[J].Journal for Research in Mathematics Education，1989（20）：356-366.

[5]伊姆雷·拉卡托斯.證明與反駁—數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯[M].方剛，蘭釗，譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2007.

[6]Davis P J.The nature of proof[C]∥Proceedings of the Fifth International Congress on Mathematical Education.Boston：Birkhauser，1986.

[7]Selden A，Selden J.Perspectives on advanced Mathematical Thinking[J].Mathematical thinking and learning，2005（1）：1-13.

[8]喬連全.APOS理論：一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論[J].全球教育展望，2001（3）：16-18.

[9]Dubinsky E d，Elterman F，Gong C.The students construction of quantification[J].For the Learning of Mathematics-An International Journal of Mathematics Education，1988（8）：44-51.