趙賢　胡小偉

摘 要：多模態(tài)邏輯是關(guān)于“包含多種模態(tài)的邏輯”的研究，它的系統(tǒng)內(nèi)包含兩種或兩種以上模態(tài)算子.并且算子間不可歸約。多模態(tài)邏輯旨在為研究多種類型的模態(tài)提供統(tǒng)一的形式框架，其基礎(chǔ)理論是模態(tài)邏輯理論體系的重要組成部分。多模態(tài)算子及其表述、多模態(tài)邏輯的研究視角、多模態(tài)邏輯系統(tǒng)的分離性以及多模態(tài)邏輯的語義選擇是多模態(tài)邏輯基礎(chǔ)理論研究的基本問題，上述問題的澄清與解決將有助于多模態(tài)邏輯理論的進一步發(fā)展。

關(guān)鍵詞：多模態(tài);模態(tài)算子;公理模式;分離性;語義

中圖分類號：B8105

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1005-6378（2019）02-0038-05

DOI：10.3969，/j.issn.1005-6378.2019.02.006

真勢的、時態(tài)的、道義的、認(rèn)識論的、動態(tài)的……模態(tài)的存在導(dǎo)致了不同模態(tài)邏輯理論的產(chǎn)生，這一直是20世紀(jì)50年代末至今模態(tài)邏輯學(xué)家研究的主題。但是，這些不同模態(tài)邏輯系統(tǒng)的研究和發(fā)展都是相對獨立的，即對于不同類型模態(tài)的研究都是相對獨立的，除了少數(shù)人的工作之外，很少有人在一個邏輯框架（系統(tǒng)）內(nèi)同時對幾種不同模態(tài)進行研究。20世紀(jì)70年代，著名計算機科學(xué)家、數(shù)理邏輯學(xué)家、圖靈獎得主斯科特（Scott D）指出：“我所認(rèn)為的模態(tài)邏輯研究中出現(xiàn)的最大的錯誤之一就是僅僅關(guān)注于包含一個模態(tài)的系統(tǒng)的研究。想要獲得關(guān)于道義邏輯或認(rèn)知邏輯一些哲學(xué)意義上的成果的唯一途徑就是將它們的算子與時態(tài)算子相結(jié)合（否則如何制定變化原則），或與真值算子相結(jié)合（否則如何區(qū)分相對和絕對），或者與類似歷史或物理必然性的算子相結(jié)合（否則如何將理性人與具體的環(huán)境相結(jié)合），等等”[1]。斯科特強調(diào)對不同類型模態(tài)算子在同一邏輯系統(tǒng)中的交互作用進行研究，即多模態(tài)邏輯的研究。

多模態(tài)邏輯是關(guān)于“包含多種模態(tài)的邏輯”的研究，它的系統(tǒng)內(nèi)包含兩種或兩種以上模態(tài)算子，并且算子間不可歸約。多模態(tài)邏輯旨在為研究多種類型的模態(tài)提供統(tǒng)一的形式框架，其基礎(chǔ)理論是模態(tài)邏輯理論體系的重要組成部分。本文將從語形和語義兩個方面對多模態(tài)邏輯基礎(chǔ)理論研究中的若干基本問題進行討論。

一、多模態(tài)算子及其表述問題

多模態(tài)邏輯研究的主要任務(wù)是從方法論層面構(gòu)建多模態(tài)邏輯的一般系統(tǒng)，并研究一般系統(tǒng)的可靠性、完全性、可判定性等基本性質(zhì)，從而為構(gòu)建具體的多模態(tài)邏輯系統(tǒng)提供指導(dǎo)。構(gòu)建多模態(tài)邏輯一般系統(tǒng)面臨的首要問題是給出一套多模態(tài)形式語言，這套語言可以對多種模態(tài)進行表述。一般認(rèn)為，多模態(tài)語言是在一階邏輯語言的基礎(chǔ)上通過添加任意模態(tài)算子（集）得到的。因此，在對多模態(tài)邏輯研究的過程中，將采用單模態(tài)邏輯的做法，用算子表示模態(tài)，從嚴(yán)格語形的角度來分析多模態(tài)算子及其表述問題。

嚴(yán)格語形的角度即從多模態(tài)語言的層面進行分析，而不考察模態(tài)本身的哲學(xué)意味。模態(tài)算子是一種非真值函項算子，即包含任意模態(tài)算子O的模態(tài)命題Op的真值不能簡單地從p的真值來估算。多模態(tài)邏輯是包含多種算子的邏輯系統(tǒng)，這也就是說，多模態(tài)邏輯是單模態(tài)邏輯通過添加更多算子得到的一種擴展。多模態(tài)語言的初始符號、公式形成規(guī)則及一些基本定義是在單模態(tài)語言的基礎(chǔ)上添加能夠表述多種模態(tài)的算子集以及模態(tài)算子的若干形式運算得到的，如“合成”“并”運算等。

從形式化角度來看，對多模態(tài)算子進行表述的方法主要有兩種。一種表述方法是直接表述，在這種表述方法中，所有算子的形成直接由模態(tài)概念的性質(zhì)決定。在多模態(tài)語言中，模態(tài)算子代表的就是其對應(yīng)模態(tài)的性質(zhì)，因此可以使用單模態(tài)邏輯中常用的符號。如用口和◇表示真勢邏輯中的“必然”和“可能”算子，用O、P、I表示道義邏輯（也稱規(guī)范邏輯、義務(wù)邏輯[2]）中的“義務(wù)”“允許”和“禁止”算子，用K、B表示認(rèn)知邏輯中的“知道”和“相信”算子，用F、G、P、H表示時態(tài)邏輯中的算子等。這種表述方法可以根據(jù)模態(tài)概念的性質(zhì)直接定義算子的性質(zhì)，因此比較符合人們的直觀，使用這種表述方式也可使人們從直觀上理解模態(tài)算子間的交互作用。

另一種表述方法是間接表述，在這種表述方法中用模態(tài)參數(shù)表述模態(tài)算子。這種表述方法較為抽象，主要參考了動態(tài)邏輯中模態(tài)算子的表述方法。其中，任意模態(tài)算子被記作[a]、，其中a不再表示程序，而表示模態(tài)參數(shù)或模態(tài)維度。用模態(tài)參數(shù)對模態(tài)算子采取統(tǒng)一的表述，各種類型的（多）模態(tài)邏輯系統(tǒng)有統(tǒng)一的模態(tài)表述符號，使用這種表述方式得到的結(jié)論更為普遍和簡潔，其缺點就是較為抽象，不符合直觀。

在多模態(tài)邏輯基礎(chǔ)理論的研究中，多模態(tài)算子的上述兩種表述方法都會使用。在說明具體的多模態(tài)邏輯系統(tǒng)的性質(zhì)特征時，會使用第一種表述方法。為了使多模態(tài)邏輯的一般結(jié)論更具普遍性，在構(gòu)建一般的多模態(tài)邏輯系統(tǒng)及給出相關(guān)結(jié)論時會更多使用第二種表述方法。

二、多模態(tài)邏輯的研究視角問題

托馬斯（Thomason R H）指出，經(jīng)驗表明，在一般情況下，性質(zhì)不同的概念的一個匯集不僅僅是與這些概念相關(guān)的理論的一個簡單的疊加[3]206。多模態(tài)邏輯中包含多種模態(tài)，基于不同的模態(tài)可以構(gòu)建不同的單模態(tài)邏輯，但是，多模態(tài)邏輯不是多個單模態(tài)邏輯的簡單疊加。不同的模態(tài)在同一邏輯系統(tǒng)中發(fā)生交互作用后，會使得這一系統(tǒng)具有新的性質(zhì)。多模態(tài)邏輯研究的核心問題之一就是考察不同模態(tài)在同一系統(tǒng)內(nèi)的相互作用關(guān)系。

例如，在認(rèn)知邏輯系統(tǒng)中，知道算子和信念算子之間的交互作用滿足以下原則：

如果i知道p，那么i相信p。①

這一原則在認(rèn)知邏輯中較為常見，它涉及知道算子和信念算子之間的交互作用關(guān)系。除了這一原則外，知道算子、信念算子以及道義算子之間的交互作用關(guān)系還可能滿足如下原則：

（1）如果i知道i知道p，那么，i知道p。

（2）如果i知道j不知道p，那么，i知道p。②

（3）如果i相信p，那么，i知道i相信p。③

（4）如果i相信p，那么，i相信i知道p。④

（o）i不會既相信p又相信非p。

（6）如果i不知道p是被禁止的，那么，i相信p是被允許的。

（7）如果i相信p但p是假的，那么，i將會繼續(xù)相信p只要他不知道p是假的。⑤

（8）如果i知道p是必然的，那么，i相信p不可能是被禁止的。

在多模態(tài)邏輯中存在很多這種類型的交互作用原則，其中模態(tài)算子間的交互作用原則依賴于具體模態(tài)的內(nèi)涵，因而它們看起來是直觀有效的。而這些交互作用原則也將成為包含上述種類模態(tài)算子的多模態(tài)邏輯系統(tǒng)的初始公式（公理）。此外，還可以研究一些具體情境下的不同模態(tài)算子之間的交互作用關(guān)系。例如，下述交互作用原則可以用來描述一組具有認(rèn)知能力的理性人之間良好的溝通關(guān)系：

如果John知道p，那么，Picrrc也知道。①

如果Mary相信p，那么，John也相信p。②

傳統(tǒng)單模態(tài)邏輯系統(tǒng)的構(gòu)建方式是圍繞著一些具體的特征公理，如白返性公理、傳遞性公理等構(gòu)建具體的模態(tài)邏輯系統(tǒng)，多模態(tài)邏輯一般系統(tǒng)的構(gòu)建方式與之類似?；谀B(tài)間的交互作用原則的直觀有效性，對其進行形式刻畫，即可作為模態(tài)交互作用公理從而成為構(gòu)建多模態(tài)邏輯系統(tǒng)的特征公理，這是構(gòu)建新的多模態(tài)邏輯形式系統(tǒng)的關(guān)鍵。模態(tài)交互作用公理通過聯(lián)合不同的模態(tài)算子，從而描述不同的模態(tài)交互作用之后形成的新性質(zhì)和新特征。對模態(tài)算子間的交互作用原則進行形式刻面，即定義模態(tài)交互作用公理，這是多模態(tài)邏輯基礎(chǔ)理論研究的一個重要視角。

基于前文提到的模態(tài)算子的第一種表述方法，上述知識算子與信念算子的交互作用原則可以表述為：

（1）K_iK_jp—K_ip

（2）K_i—.Kjp-K_ip

（3）Bip—KiBip

（4）Bip—BiKip

（5）—（Bip∧Bi-p）

（6）—Kilp—BiPp

（7）（Bip∧-）一O（一Ki一p—Bip）③

（8）Ki口p—Bi一◇lp

從模態(tài)交互作用公理的視角研究多模態(tài)邏輯一個重要的問題就是模態(tài)交互作用公理的選擇及刻畫。模態(tài)交互作用公理的主要來源是模態(tài)交互作用原則的形式化。應(yīng)該考慮什么類型的模態(tài)交互作用原則，能夠考慮什么類型的模態(tài)交互原則，這類模態(tài)交互作用原則對模態(tài)間交互作用情況的描述能力如何等，上述問題都是選擇、刻畫模態(tài)交互作用公理時應(yīng)該考慮的問題，也是多模態(tài)邏輯研究的一個較為基本的問題。基于多模態(tài)邏輯基礎(chǔ)理論研究的主要任務(wù)是為研究各種類型的模態(tài)定義一般的形式框架，目前，多模態(tài)邏輯基礎(chǔ)理論研究的一般思路是，選擇相對廣泛的模態(tài)交互作用公理（模式），基于上述公理（模式）構(gòu)建多模態(tài)邏輯一般系統(tǒng)，進而對該系統(tǒng)的完全性、對應(yīng)性、可判定性等元邏輯問題進行研究。

三、多模態(tài)邏輯系統(tǒng)的分離性問題

在多模態(tài)邏輯的公理化系統(tǒng)中，不同的模態(tài)算子有不同的演繹方式，即與不同模態(tài)算子相關(guān)的（單）模態(tài)系統(tǒng)（子系統(tǒng)）是不同的。例如，有的多模態(tài)系統(tǒng)同時包含T類型的模態(tài)算子口1，S4類型的模態(tài)算子口。，以及KD類型的算子集（口13，…，口n3）等。從一般意義上考察多模態(tài)系統(tǒng)的公理化，則面臨下述問題：在何種程度上一個多模態(tài)系統(tǒng)可以被看作是多個（單）模態(tài)系統(tǒng)的疊加？或者，已知多模態(tài)公理化系統(tǒng)L及其語言中的任意算子0，如何得到與0相關(guān)的子公理化系統(tǒng)？這一問題即多模態(tài)邏輯系統(tǒng)的可分離性問題。

多模態(tài)邏輯系統(tǒng)的可分離性問題主要關(guān)注多模態(tài)公理化系統(tǒng)及其子系統(tǒng)之間的關(guān)系問題。不同類型的多模態(tài)邏輯系統(tǒng)對這一問題的回答不同。根據(jù)多模態(tài)系統(tǒng)內(nèi)模態(tài)算子、公理及規(guī)則的組合方式，多模態(tài)系統(tǒng)可分為包含交互作用的系統(tǒng)和不包含交互作用的系統(tǒng)。多模態(tài)邏輯基礎(chǔ)理論研究將分別考察這兩類公理化系統(tǒng)的可分離性問題。

首先，需要嚴(yán)格定義區(qū)分包含或不包含交互作用系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)。如果模態(tài)交互作用公理涉及不同的模態(tài)算子O1，…，0n，那么系統(tǒng)的定理及推理規(guī)則都會有所涉及;如果該公理化系統(tǒng)包含（或不包含）涉及不同類型模態(tài)算子交互作用的公理或推理規(guī)則，則被稱為包含（或不包含）交互作用的多模態(tài)公理化系統(tǒng)。

其次，根據(jù)多模態(tài)公理化系統(tǒng)的性質(zhì)及公理化可分離性的定義，通過歸納證明不包含交互作用的多模態(tài)公理化系統(tǒng)是可分離的。對于包含交互作用的多模態(tài)公理化系統(tǒng)而言，不同模態(tài)算子的演繹方式會因其算子間的交互作用發(fā)生變化，而導(dǎo)致包含交互作用的多模態(tài)公理化系統(tǒng)不可分離[4]。

最后，在多模態(tài)邏輯系統(tǒng)的可靠性和完全性結(jié)論的基礎(chǔ)上，定義一個具體的標(biāo)準(zhǔn)去判定一個具體的多模態(tài)公理化系統(tǒng)是否可分離。對多模態(tài)邏輯系統(tǒng)的可分離性進行研究，是進一步精確分析多模態(tài)系統(tǒng)的一般性質(zhì)、多模態(tài)系統(tǒng)與其子系統(tǒng)之間的關(guān)系，研究多模態(tài)邏輯相關(guān)結(jié)論的“漸增參考（ cumulativity）”問題的重要基礎(chǔ)，是研究多模態(tài)邏輯基礎(chǔ)理論的重要方面。

四、多模態(tài)邏輯的語義選擇問題

多模態(tài)邏輯基礎(chǔ)理論研究的另外一個重要問題就是語義選擇問題。什么類型的模型可以用來解釋多模態(tài)邏輯，這種類型的模型是否對于解釋各種類型的模態(tài)具有普遍適用性，這是多模態(tài)邏輯的語義選擇問題。

在克里普克語義學(xué)中，模態(tài)算子按照以下方式加以定義。用U表示可能世界的集合，用R表示可及關(guān)系：如果一個命題p在可能世界x中是必然真的，那么，在與x世界具有R關(guān)系的所有可及世界中，p是真的。一個較為自然的想法就是將這種語義學(xué)推廣到多模態(tài)邏輯中。假設(shè)一個模態(tài)算子對應(yīng)一個可及關(guān)系，由此能夠得到多關(guān)系結(jié)構(gòu){U，{R1，…，Rn}}，其中U表示可能世界集，R1，…，Rn表示不同模態(tài)算子對應(yīng)的可及關(guān)系。多關(guān)系結(jié)構(gòu)可看作是通常意義上的克里普克語義結(jié)構(gòu)在多模態(tài)邏輯中的“自然”擴展。這種類型的語義被稱為多關(guān)系語義，一般選擇這種語義對多模態(tài)邏輯進行解釋。

多關(guān)系語義是比較符合直覺的語義，它的模型為M=，其中U是可能世界的集合，R是在U之上的二元關(guān)系的集合，即{R1，…，Rn），V是在U之上的一個賦值。在一定意義上，多關(guān)系語義的模型是“典范的”，并且具有比較深層次的代數(shù)結(jié)構(gòu)。在多關(guān)系語義中，由任意模態(tài)參數(shù)Q形成的模態(tài)算子[a]和的真值條件可在模型M中通過公式（M，X）}（a）a（=）（ヨy∈U）（xRay∧（M，y）Fa）和（M，x）F [ala㈢（v y∈U）（xRay一（M，y）}a）定義，其中R。是與模態(tài)參數(shù)a相關(guān)聯(lián)的二元關(guān)系，a是任意合式公式，x，y∈U。

多模態(tài)邏輯中涉及到模態(tài)算子的運算，從語義層面看，模態(tài)算子的運算實際上是模態(tài)算子所對應(yīng)的二元關(guān)系的運算。模態(tài)算子和二元關(guān)系的聯(lián)系是多方面的。首先，模態(tài)算子之上的運算與其所對應(yīng)的二元關(guān)系之上的運算相“對應(yīng)”，即這兩個層面的形式運算是相對應(yīng)的。其次，一般來說，由特定的模態(tài)算子交互作用公理所構(gòu)建的多模態(tài)邏輯系統(tǒng)的完全性問題，與該模態(tài)交互作用公理所對應(yīng)的框架的二元關(guān)系性質(zhì)相對應(yīng)①。最后，上述完全性問題就會產(chǎn)生對應(yīng)性問題和系統(tǒng)的決定性問題，與之對應(yīng)的就是上述二元關(guān)系的一階性質(zhì)所對應(yīng)的這些問題。因此，對于多模態(tài)邏輯系統(tǒng)的語義研究，很自然地就會轉(zhuǎn)向?qū)Χ嚓P(guān)系語義中二元關(guān)系運算的研究。需要注意的是：正是因為從單模態(tài)邏輯到多模態(tài)邏輯研究的擴展，導(dǎo)致了對二元關(guān)系的運算進行深入地研究。事實上，這種研究開拓了模態(tài)邏輯和克里普克語義學(xué)之間很多新的聯(lián)系，并且由此可以給出一些更為簡潔的完全性和對應(yīng)性理論的結(jié)論。

多關(guān)系語義憑借其直觀的特性和相對廣泛的適用性在多模態(tài)邏輯研究中發(fā)揮重要作用，但是，多關(guān)系語義仍存在一定的局限性，它不適用于某些類型模態(tài)的解釋。比如，多關(guān)系語義無法給時態(tài)一個滿意的解釋，時態(tài)算子以及時態(tài)算子和其它類型算子的聯(lián)合可能需要更為復(fù)雜的語義結(jié)構(gòu)去解釋。此外，在一些具體的系統(tǒng)內(nèi)，如時態(tài)邏輯系統(tǒng)[5]和認(rèn)知邏輯系統(tǒng)[6]內(nèi)，也出現(xiàn)了一些多關(guān)系語義的替代品。如（ U1，…，Ux，R1，…，Ra）類型的結(jié)構(gòu)②，其中U表示可能世界集，Ri表示在Ui之上的二元關(guān)系。除此之外，還有更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)[3]222。從邏輯的角度來看，一個需要研究的問題是這些不同語義之間的關(guān)系。已知一個給定語義下的模型M，以及其它語義下的模型M'，若M和M可以驗證同一個公式（即這一公式在這兩種模型上都是有效的），那么，這兩種語義之間是否具有等同關(guān)系。不同語義對應(yīng)的不同類型的模型分別適合什么樣的多模態(tài)邏輯系統(tǒng)，這是多模態(tài)邏輯基礎(chǔ)理論的語義研究中需要考慮的另外一個重要問題。

多關(guān)系語義對多模態(tài)邏輯而言可能不是最好的選擇方案，但是作為一個可參考的語義解釋，它仍舊能夠為多種類型的模態(tài)及其聯(lián)合提供解釋。因此，它具有相對廣泛的適用性。與此同時，探索其它類型語義，通過綜合比較多種語義進行進一步的研究，即不同類型的模型之間是否存在等價關(guān)系、不同類型語義的適用性問題等，這也是多模態(tài)邏輯基礎(chǔ)理論研究的一個重要方面。

結(jié) 語

綜上所述，在一般情況下，與多模態(tài)邏輯研究相關(guān)的語形和語義問題又可以分為下述兩種類型：

（1）在何種情況下，單模態(tài)邏輯的某些方法和結(jié)論可以直接推廣到多模態(tài)邏輯中？

（2）什么樣的問題是只有在多模態(tài)邏輯情況下才會出現(xiàn)的？

問題（1）已經(jīng)涵蓋了多模態(tài)邏輯研究大部分的問題。實際上，模態(tài)邏輯現(xiàn)在發(fā)展的技術(shù)水平相對而言已經(jīng)很高，但是，要想在很短的時間內(nèi)把在單模態(tài)邏輯中獲得的一些方法和結(jié)論推廣到多模態(tài)邏輯中還是有一定困難的，這需要長時間的研究和構(gòu)建。但是，這一工作是不可避免的，這涉及到邏輯系統(tǒng)的完全性問題，可判定性問題，模型論以及對應(yīng)性問題等結(jié)論的推廣。因此，非常有可能的是，如（1）關(guān)注的那樣，多模態(tài)邏輯具有許多類似于單模態(tài)邏輯的方法和結(jié)論。通過抽象概括單模態(tài)邏輯一些標(biāo)準(zhǔn)的方法，可以有效地得出多模態(tài)邏輯系統(tǒng)的一些完全性、對應(yīng)性、可判定性結(jié)論等。

問題（2）更加具有開放性。正如上文已經(jīng)提到，在多模態(tài)邏輯中有許多問題是先驗的，這主要包括：上文提到的模態(tài)算子的交互作用問題;模態(tài)算子的形式運算和實際運算問題（如果采用參數(shù)概念的話，就是模態(tài)參數(shù)之上的形式運算和實際運算）;多模態(tài)邏輯與二元關(guān)系理論的關(guān)系;包含不同模態(tài)算子的子系統(tǒng)的相關(guān)語形語義問題;多模態(tài)邏輯系統(tǒng)的多種語義解釋問題等。

多模態(tài)算子及其表述、多模態(tài)邏輯的研究視角、多模態(tài)邏輯系統(tǒng)的分離性以及多模態(tài)邏輯的語義選擇等問題是目前多模態(tài)邏輯基礎(chǔ)理論研究的基本問題。多模態(tài)邏輯是模態(tài)邏輯基礎(chǔ)理論的重要組成部分，研究多模態(tài)邏輯基礎(chǔ)理論有助于構(gòu)建全面、完整的模態(tài)邏輯理論體系。同時，研究多模態(tài)邏輯有助于進一步發(fā)揮其方法論功能，促進其在理論計算機科學(xué)、人工智能、博弈論、多主體認(rèn)知等領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用[7]。

[參考文獻]

[1] SCOTT D.Advice on Modal Logic[Ml.//Philosophical Problems inLogic：Some Reeent Developments，Dordrecht：Reidel，1970：143-173.

[2]劉葉濤，從邏輯的觀點看道德悖論[J].河北大學(xué)學(xué)報（哲學(xué)社會科學(xué)版），2018 （11）：43-/19.

[3] THOMASON R H.Combinations of Tense and Modality[M]//Handbook of Philosophical Logie，VoI.VII，Netherlands： Kluwer Academie Publishers， 2002： 200 -234

[4]趙賢.多模態(tài)公理化系統(tǒng)的可分離性研究[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版），201-1（9）：19-23.

[5] EMERSON E A.Altcrnative Scmanties for Temporal Logics[Jl.Thcoretical Computer Scienee，1983（26）：121-130.

[6] HALPERN J Y，VARDI M Y.The Complexity of Reasoning about Knowlcdge and Time： Extended Abstract[M].J，/Proc. Annual ACM Symposium on Theory of Computing，1986 （18）： 304- 315.

[7]趙賢，張燕京.多模態(tài)邏輯的研究動因及意義[J].河北學(xué)刊，2015（4）：28-31.