董城昱，周禮勇

(1.南京大學(xué) 天文與空間科學(xué)學(xué)院，南京 210046；2.南京大學(xué) 現(xiàn)代天文與天體物理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210046)

1 引 言

海王星特洛伊(Trojan,TR)小天體是與海王星同享日心軌道的一群小天體。與太陽(yáng)系中的其他特洛伊天體類(lèi)似，海王星特洛伊處在海王星的拉格朗日穩(wěn)定區(qū)域，即在太陽(yáng)-海王星系統(tǒng)中處于海王星軌道前方(或后方)約60?的L4 (或L5)點(diǎn)。特洛伊天體群、海王星和太陽(yáng)大致構(gòu)成一個(gè)等邊三角形。海王星特洛伊與海王星有大致相同的軌道半長(zhǎng)徑和軌道周期，并且它們之間的平經(jīng)度之差始終在一個(gè)范圍內(nèi)秤動(dòng)，因此，我們也稱海王星特洛伊與海王星間存在1:1 的平運(yùn)動(dòng)軌道共振。截至2018年11月，人們已發(fā)現(xiàn)22 個(gè)海王星特洛伊，其中有19 個(gè)處在L4 點(diǎn)，3 個(gè)處在L5 點(diǎn)[1]。

在海王星軌道之外還存在著為數(shù)眾多的海王星外天體(trans-Neptunian object,TNO)，包括柯伊伯帶天體(Kuiper belt object,KBO)、散射盤(pán)天體(scattered disk object,SDO)和內(nèi)奧爾特云天體等。一直以來(lái)人們通過(guò)對(duì)它們進(jìn)行研究來(lái)揭示早期太陽(yáng)系的狀態(tài)和演化過(guò)程。TNO 中有一群小天體與海王星保持著2 :3 的平運(yùn)動(dòng)軌道共振，其軌道半長(zhǎng)徑約為39 AU。由于其軌道性質(zhì)與冥王星類(lèi)似，因此它們被稱為冥族小天體(plutino,PL)。冥族小天體是共振柯伊伯帶天體(resonant KBO)中最大的一類(lèi)，除了最大的冥王星以外，它還包括亡神星(Orcus)和伊克西翁(Ixion)等。

冥族小天體的軌道偏心率可達(dá)0.3，這意味著它們經(jīng)常穿越海王星的軌道，并與海王星特洛伊群發(fā)生交會(huì)。Almeida 等人[2]認(rèn)為，這兩群小天體之間可能存在的碰撞會(huì)對(duì)兩群小天體的表面顏色產(chǎn)生重要影響。同時(shí)，他們還認(rèn)為，冥族小天體引起的近密交會(huì)(close encounter,CE)或碰撞可能使得低軌道傾角處的海王星特洛伊減少或碎裂，因此，海王星特洛伊的尺寸普遍較小，且在高軌道傾角上分布較多。據(jù)估算，海王星特洛伊在高傾角軌道處的數(shù)目遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)低傾角軌道處的數(shù)目[3]，而這一軌道分布特征不是當(dāng)前太陽(yáng)系構(gòu)型的動(dòng)力學(xué)演化結(jié)果[4,5]，也不是目前被廣為認(rèn)可的行星遷移過(guò)程的結(jié)果[6]，因此，該現(xiàn)象一直令天文學(xué)家感到困惑。Almeida 等人[2]通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)值模擬來(lái)驗(yàn)證冥族小天體與海王星特洛伊之間的相互作用。他們對(duì)一些實(shí)際的冥族小天體和海王星特洛伊的軌道積分至109a，并以105a為時(shí)間間隔檢查這些軌道在海王星軌道面上的投影，發(fā)現(xiàn)兩者之間存在大量的重疊。當(dāng)冥族小天體軌道偏心率較大、軌道傾角較低、共振振幅較大時(shí)，兩群天體之間的軌道重疊就較大。通過(guò)數(shù)值方法，Almeida 等人[2]還對(duì)冥族小天體與海王星特洛伊之間的近密交會(huì)和碰撞的次數(shù)進(jìn)行了估算。盡管在模擬中很少直接檢測(cè)到交會(huì)或碰撞，他們?nèi)匀徽J(rèn)為在實(shí)際情況下交會(huì)和碰撞是十分頻繁的，并且其頻率應(yīng)比兩群小天體自身內(nèi)部的交會(huì)頻率要高。

因?yàn)橼ぷ逍√祗w和海王星特洛伊分別被與海王星的2 :3 和1 :1 平運(yùn)動(dòng)共振所束縛，Almeida 等人[2]所描述的近密交會(huì)甚至碰撞確實(shí)很可能在整個(gè)太陽(yáng)系年齡內(nèi)持續(xù)發(fā)生，且其動(dòng)力學(xué)效果有可能在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)累積，從而對(duì)兩群小天體產(chǎn)生重要影響，甚至決定它們當(dāng)前的軌道分布特征。然而，在小天體所處的廣闊空間內(nèi)，個(gè)別小天體之間的近密交會(huì)或碰撞仍然是極為罕見(jiàn)的事件，一般的數(shù)值模擬受制于計(jì)算能力，即使參與模擬的小天體數(shù)目非常大，仍然難以探測(cè)到足夠多的交會(huì)或碰撞事件。Almeida 等人[2]僅僅作了較粗糙的數(shù)值模擬，對(duì)近密交會(huì)或碰撞的效果也并未進(jìn)行具體分析，因此，未能徹底解決這一問(wèn)題。在本文中我們將使用更嚴(yán)格的數(shù)值模擬與計(jì)算，精確地檢測(cè)海王星特洛伊與冥族小天體之間的近密交會(huì)。在控制變量的前提下，我們通過(guò)改變兩群小天體的物理和軌道性質(zhì)，探究了影響兩群小天體之間近密交會(huì)的關(guān)鍵因素。在數(shù)值模擬結(jié)果的基礎(chǔ)上，我們建立了半解析方法，推算出了兩群小天體之間碰撞的頻率，從而解決了因?yàn)榕鲎渤叨冗^(guò)小而難以進(jìn)行數(shù)值檢測(cè)的問(wèn)題。此外，在冥族小天體現(xiàn)有觀測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，本文對(duì)其質(zhì)量分布進(jìn)行了估算，并將之應(yīng)用于實(shí)際情況下兩群小天體之間近密交會(huì)和碰撞次數(shù)的推算。

本文第2 章介紹我們所采用的模型和數(shù)值模擬方法；第3 章展示由數(shù)值模擬結(jié)果得到的近密交會(huì)次數(shù)與軌道根數(shù)之間的關(guān)系；第4 和第5 章建立分析方法，以計(jì)算兩群小天體之間近密交會(huì)和碰撞的次數(shù)；第6 章對(duì)實(shí)際情況進(jìn)行分析；第7 章進(jìn)行總結(jié)和討論。

2 模型和數(shù)值模擬方法

為了計(jì)算效率和控制變量的需要，我們?cè)跀?shù)值積分中每次只包括一個(gè)PL 和一個(gè)TR。4 個(gè)小天體被選作典型例子，它們的軌道根數(shù)信息見(jiàn)表1。每次只改變PL 或TR 的某一個(gè)軌道根數(shù)，然后大量取樣并作相應(yīng)數(shù)值積分，來(lái)顯示不同的軌道根數(shù)如何影響近密交會(huì)。

表1 幾個(gè)典型海王星特洛伊和冥族小天體的軌道根數(shù)(JD 2454200.50)[1]

我們?cè)谀Ｐ椭泻雎粤似渌笮行堑淖饔?，只包括太?yáng)、海王星和兩群發(fā)生近密交會(huì)的小天體PL 和TR。實(shí)際上，木星、土星和天王星對(duì)這兩群小天體的近密交會(huì)幾乎不會(huì)產(chǎn)生直接影響，而來(lái)自這些行星的間接作用或由它們引起的長(zhǎng)期效應(yīng)僅引起小天體軌道細(xì)微而緩慢的變化，并不足以影響兩群小天體因交會(huì)或碰撞所導(dǎo)致的在統(tǒng)計(jì)意義上的演化過(guò)程[7]。鑒于PL 的質(zhì)量與海王星相比非常小，該模型基本上是一個(gè)在第四體(PL)攝動(dòng)下的限制性三體(太陽(yáng)、海王星和TR)問(wèn)題模型。

我們用SyMBA 數(shù)值積分包[8]來(lái)處理以上問(wèn)題。為了能夠合理地處理CE 過(guò)程，并捕捉必要的信息，我們對(duì)相關(guān)程序做了一些必要的修改。我們把用于判斷兩個(gè)小天體是否發(fā)生CE 的距離閾值設(shè)定為兩個(gè)小天體中相對(duì)較大的那一個(gè)(一般情況下是PL)的希爾半徑(Hill radius)的3.5 倍。在每一個(gè)積分步長(zhǎng)中，我們都會(huì)計(jì)算當(dāng)前TR 的速度矢量。如果這個(gè)矢量指向以PL 為中心，以距離閾值為半徑的球面范圍，并且TR 與PL 的距離在數(shù)個(gè)步長(zhǎng)之內(nèi)，我們就開(kāi)始減小積分步長(zhǎng)。兩者距離越近，步長(zhǎng)會(huì)縮得越小，這樣就可避免因?yàn)榉e分步長(zhǎng)太大而錯(cuò)過(guò)部分近密交會(huì)的情況。通過(guò)上述策略，一般情況下積分步長(zhǎng)可以設(shè)得稍大一些。我們?cè)O(shè)積分步長(zhǎng)為0.1 a，這樣，交會(huì)小天體在一個(gè)積分步長(zhǎng)內(nèi)穿過(guò)的距離約為0.1 AU。所有的模擬都積分至109a，即太陽(yáng)系年齡的時(shí)間尺度。

3 數(shù)值結(jié)果

3.1 CE次數(shù)與PL質(zhì)量的關(guān)系

我們首先使用數(shù)值模擬方法來(lái)研究CE 次數(shù)與PL 質(zhì)量的關(guān)系。PL 的質(zhì)量顯然是影響CE 次數(shù)的決定性因素。我們以1999 CE119 和2004 UP10 這一對(duì)小天體為例，在所有初始軌道根數(shù)保持不變的情況下，將PL 質(zhì)量在10?3～1 倍冥王星質(zhì)量?jī)?nèi)取若干值，再對(duì)每一個(gè)值進(jìn)行數(shù)值積分，并記錄CE 發(fā)生的次數(shù)，結(jié)果如圖1所示。

圖1 CE 次數(shù)與PL 質(zhì)量的關(guān)系

由圖1可以看到，在雙對(duì)數(shù)圖上CE 次數(shù)NCE與νP成線性關(guān)系(νP=mP/mPluto，mP為PL 的質(zhì)量，mPluto為冥王星的質(zhì)量)，這意味著它們之間存在簡(jiǎn)單的冪律關(guān)系。通過(guò)線性擬合我們可以得到冪律的近似值：

3.2 CE次數(shù)與軌道傾角的關(guān)系

小天體的軌道傾角決定了兩個(gè)小天體軌道面的距離，它會(huì)影響小天體之間的交會(huì)或碰撞概率。我們隨機(jī)選定TR 2004 UP10，并在模擬數(shù)據(jù)中測(cè)量具有不同軌道傾角的PL 與它的CE 次數(shù)。保持其他軌道根數(shù)不變，只對(duì)1999 CE119 和2001 FU172 這兩個(gè)PL 的初始軌道傾角在0?～30?之間取值，并模擬它們的軌道演化，統(tǒng)計(jì)PL 與TR 之間CE 的數(shù)據(jù)。數(shù)值模擬中，小天體PL 質(zhì)量仍然采用冥王星質(zhì)量。

模擬的結(jié)果如圖2a)所示。由圖可見(jiàn)，當(dāng)PL 的軌道傾角IP增加時(shí)，CE 次數(shù)逐漸減少。但當(dāng)IP很小的時(shí)候，其趨勢(shì)則相反。峰值出現(xiàn)在PL 的軌道傾角與TR 的軌道傾角相同時(shí)。也就是說(shuō)，當(dāng)兩者的軌道傾角接近時(shí)，CE 的概率最大，這是因?yàn)榇藭r(shí)PL 與TR 的軌道面有最大機(jī)會(huì)相互接近。我們還可以看到，PL 軌道傾角變化引起的CE 次數(shù)發(fā)生的變化基本上在1 個(gè)量級(jí)以內(nèi)，與PL 質(zhì)量變化對(duì)其產(chǎn)生的影響相比其影響較小。

TR 的軌道傾角IT也會(huì)影響CE 次數(shù)，傾角越大，TR 與PL 交會(huì)的概率就越小。一般而言，只有相對(duì)軌道傾角才有實(shí)際的物理意義。在我們考慮的模型中，海王星的軌道面是基本固定的，而TR 和PL 相對(duì)于海王星軌道面的傾角都會(huì)影響它們軌道的特征，所以有必要單獨(dú)討論TR 軌道傾角對(duì)這兩群小天體之間的近密交會(huì)的影響。以1999 CE119 這個(gè)PL 和兩個(gè)TR (2004 UP10 和2006 RJ103)為例，保持TR 的其他軌道根數(shù)不變，僅改變它們的初始軌道傾角，來(lái)分析CE 的情況。最后結(jié)果如圖2b)所示。由圖2b)可以看出，TR 軌道傾角的變化對(duì)CE 次數(shù)的影響也基本在1 個(gè)量級(jí)以內(nèi)，并且與圖2a)一樣，當(dāng)兩者軌道傾角相近時(shí)，CE 的次數(shù)達(dá)到最大值。

圖2 CE 次數(shù)與軌道傾角的關(guān)系

3.3 CE次數(shù)與PL軌道偏心率的關(guān)系

軌道偏心率決定了軌道向內(nèi)外延展的程度，決定了兩群小天體軌道交叉重疊的程度，因而也會(huì)影響兩群小天體的交會(huì)概率。因?yàn)橹挥械推穆实腡R 軌道才是穩(wěn)定的[5]，所以在討論P(yáng)L 和TR 偏心率對(duì)兩者之間CE 次數(shù)的影響時(shí)，只需要討論P(yáng)L 的軌道偏心率即可。仍舊以上述兩對(duì)小天體為例，僅改變PL 的偏心率eP，保持所有其他軌道根數(shù)不變，計(jì)算CE次數(shù)。計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

圖3 CE 次數(shù)與PL 軌道偏心率的關(guān)系

由圖3可以看出，隨著eP的增加，CE 次數(shù)先增加，然后又緩慢減少，并在黃色區(qū)域附近達(dá)到最大值。黃色區(qū)域表示的是當(dāng)PL 的近日點(diǎn)處在TR 近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)之間時(shí)，PL偏心率的范圍eE～eX，顯然這種情況下發(fā)生CE 的概率最大。當(dāng)eP持續(xù)增大，PL 的近日點(diǎn)深入到TR 軌道內(nèi)部時(shí)，因?yàn)閮蓚€(gè)小天體軌道交叉的部分并沒(méi)有增加，所以CE 次數(shù)的變化不明顯。當(dāng)PL 近日點(diǎn)在TR 遠(yuǎn)日點(diǎn)之外時(shí)，理論上這兩個(gè)軌道應(yīng)該不會(huì)交叉，但實(shí)際上仍有一些CE 發(fā)生。這是因?yàn)槲覀冊(cè)诮y(tǒng)計(jì)中采用的是以一定時(shí)間間隔記錄的軌道根數(shù)平均值，以去除瞬時(shí)變化的影響，但在實(shí)際模擬中這些軌道根數(shù)會(huì)有起伏。

3.4 CE次數(shù)與共振振幅的關(guān)系

平運(yùn)動(dòng)共振的振幅反映了天體在共振中秤動(dòng)的情況。Almeida 等人[2]認(rèn)為，PL 與TR的共振振幅??對(duì)近密交會(huì)有重要作用，并且共振振幅越大，CE 的概率就越高。然而，在我們的模擬結(jié)果中，共振振幅對(duì)CE 的影響并不大。一般來(lái)說(shuō)，共振振幅越大，兩條軌道重疊的面積也越大。但實(shí)際上并不是重疊區(qū)域的面積，而是在重疊區(qū)域內(nèi)星子出現(xiàn)的頻率直接決定了CE 的概率。如果我們像Almeida 等人那樣處理，每隔一段時(shí)間記錄PL 的位置，并將其投影到TR 軌道平面上，那么，因?yàn)榭倳r(shí)間是固定的，總的投影點(diǎn)的數(shù)量也必然是固定的。由于增大重疊面積的同時(shí)會(huì)降低點(diǎn)的密度，而這里的密度實(shí)際上代表的就是PL 在某一區(qū)域出現(xiàn)的頻率，因此，即使軌道重疊面積因共振振幅的增加而增加，CE 概率也不一定會(huì)增加。

我們可以通過(guò)隨機(jī)改變PL 的?,ω和M的初始值，從而改變PL 的振幅來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證。我們把經(jīng)過(guò)演化后能夠穩(wěn)定存在于共振區(qū)內(nèi)的PL 所在的模擬結(jié)果挑選出來(lái)，即可得到CE的次數(shù)與PL 的共振振幅的關(guān)系。TR 的共振振幅對(duì)CE 的影響也可以通過(guò)類(lèi)似方法進(jìn)行驗(yàn)證。我們將結(jié)果一并總結(jié)在圖4中。

圖4 CE 次數(shù)與小天體共振振幅的關(guān)系

圖4a)中，每個(gè)模擬中PL 的共振振幅??P是不同的。數(shù)值模擬中初始的?P,ωP和MP隨機(jī)產(chǎn)生，其他根數(shù)保持不變。圖4a)中顯示的共振振幅是演化中的平均值，其中振幅接近180?的幾個(gè)點(diǎn)所代表的軌道穩(wěn)定性較差。圖4b)中，每個(gè)模擬中TR 的共振振幅??T是不同的，共振振幅小于80?和大于150?的兩群小天體分別對(duì)應(yīng)TR 的蝌蚪形和馬蹄形軌道?？梢郧宄乜吹?，隨著共振振幅的變化，CE 的次數(shù)并沒(méi)有明顯增加，甚至還有一定程度的減少。

4 CE次數(shù)的理論計(jì)算

計(jì)算兩群小天體之間CE 的次數(shù)問(wèn)題與計(jì)算CE 的概率問(wèn)題類(lèi)似，許多前人對(duì)后者進(jìn)行過(guò)探索[9,10]。本文將對(duì)CE 次數(shù)做一些理論分析，以便在數(shù)值結(jié)果的基礎(chǔ)上通過(guò)半解析的方法計(jì)算實(shí)際情況下的CE 次數(shù)。

4.1 CE次數(shù)與質(zhì)量的關(guān)系

小天體之間的相互引力會(huì)使兩者的軌道發(fā)生偏折，但本文討論的交會(huì)和碰撞次數(shù)是兩個(gè)小天體之間的距離小于給定閾值之后的必然結(jié)果，而進(jìn)入閾值距離之前小天體間的引力作用可以忽略，其引起的軌道偏折自然也可忽略。如果僅希望從統(tǒng)計(jì)意義上對(duì)交會(huì)或碰撞進(jìn)行半解析的研究，為簡(jiǎn)單計(jì)，可以直接從經(jīng)典的碰撞截面角度來(lái)看這個(gè)問(wèn)題，以避免引入復(fù)雜的修正系數(shù)來(lái)詳細(xì)刻畫(huà)軌道偏折。我們也將看到，這一簡(jiǎn)化所得到的結(jié)果與數(shù)值模擬的結(jié)果一致。

當(dāng)碰撞完全隨機(jī)時(shí)，在某個(gè)半徑R內(nèi)CE 發(fā)生的概率P應(yīng)與其碰撞截面成正比，即：

這里假設(shè)在半徑RU內(nèi)碰撞的概率為1。顯然RU表征的是兩個(gè)軌道在空間可能碰撞的區(qū)域的尺度，它應(yīng)與小天體的日心軌道特征有關(guān)。既然小天體質(zhì)量比太陽(yáng)質(zhì)量小很多，兩個(gè)小天體的質(zhì)量都并不足以對(duì)其軌道性質(zhì)產(chǎn)生本質(zhì)的影響，所以RU應(yīng)與小天體的質(zhì)量基本無(wú)關(guān)。假設(shè)在RU內(nèi)發(fā)生CE 的總次數(shù)是NU，那么兩個(gè)小天體發(fā)生CE 的總次數(shù)為：

其中，Rth為第2 章中設(shè)定的CE 閾值半徑(相對(duì)較大的小天體的希爾半徑的3.5 倍)。

假設(shè)兩個(gè)小天體演化的總時(shí)長(zhǎng)是ttot，而PL 的軌道周期是torb。由于它們分別處在2:3 和1:1 共振中，每隔兩個(gè)周期PL 就會(huì)遇見(jiàn)TR，也就是說(shuō)，PL 和TR 的軌道狀態(tài)的總周期是2 個(gè)PL 軌道周期。這樣，在ttot時(shí)間內(nèi)最多可能發(fā)生的CE 的次數(shù)NU為：

其中，aP是PL 的半長(zhǎng)徑，ttot以年為單位，aP以天文單位為單位。

把CE 的閾值半徑設(shè)為PL 希爾半徑的倍數(shù)，顯然是因?yàn)樗cPL 的質(zhì)量有關(guān)。由希爾半徑的公式，我們可以得到：

其中，M⊙是太陽(yáng)的質(zhì)量，κth是CE 的閾值半徑與希爾半徑之比。此處我們使用了簡(jiǎn)化的圓軌道希爾半徑。最后，我們可以將CE 次數(shù)寫(xiě)成PL 質(zhì)量的函數(shù)：

其中，

在這里，我們把PL 的質(zhì)量mP用冥王星質(zhì)量做了無(wú)量綱化處理。

容易看到，CE 次數(shù)與PL 的質(zhì)量成冪次關(guān)系，其冪律(2/3)與圖1得到的擬合結(jié)果(0.665 8)基本一致。式(7)中參數(shù)Ru表征各種軌道特征對(duì)CE 的影響，例如前面所討論的PL 和TR 的軌道傾角、偏心率和共振振幅等。這些軌道特征決定了PL 與TR 軌道在空間上交叉的概率。由各軌道根數(shù)直接推算參數(shù)Ru是比較復(fù)雜的，并且第3.2―3.4 節(jié)的數(shù)值結(jié)果已經(jīng)表明，軌道根數(shù)對(duì)CE 次數(shù)的影響較小，我們?cè)诖瞬粚?duì)Ru做細(xì)致的理論計(jì)算，而是從數(shù)值模擬的結(jié)果中推算Ru。所以有必要在此強(qiáng)調(diào)，以下估算CE 次數(shù)的公式實(shí)際上是半解析的。

4.2 一群PL的CE次數(shù)

如第4.1 節(jié)所述，CE 次數(shù)可寫(xiě)成PL 質(zhì)量的函數(shù)。該表達(dá)式也可以推廣到多個(gè)PL 的情形，適用于實(shí)際情況。

4.2.1 簡(jiǎn)單情形

首先討論最簡(jiǎn)單的情形，即所有的PL 質(zhì)量和軌道都是完全一樣的情形。這種情況下的CE 總次數(shù)容易得到。假設(shè)PL 總質(zhì)量是而PL 總個(gè)數(shù)為那么單個(gè)PL 的質(zhì)量為根據(jù)式(6)，總CE 次數(shù)應(yīng)為：

式(10)表明，在總質(zhì)量給定的情況下，單個(gè)PL 的質(zhì)量越小，PL 的總數(shù)越多，CE 次數(shù)就會(huì)越多。因?yàn)槲覀冊(cè)谂卸–E 的時(shí)候考慮的是希爾半徑，所以小質(zhì)量的PL 也會(huì)在CE 中影響TR 的軌道。然而，即使都在希爾半徑內(nèi)，小質(zhì)量的PL 與大質(zhì)量的PL 造成的影響顯然不一樣，所以更多的小質(zhì)量PL 導(dǎo)致更多的CE，并不一定意味著總的影響效果也會(huì)變大。

4.2.2 給定質(zhì)量分布

一般來(lái)說(shuō)，一群PL 遵從一個(gè)質(zhì)量分布。既然質(zhì)量是CE 次數(shù)的決定性因素，而軌道特征至多帶來(lái)量級(jí)之內(nèi)的影響，因此，我們?nèi)匀缓?jiǎn)單地假設(shè)所有的PL 都有完全相同的軌道性質(zhì)，這樣我們就可以繼續(xù)使用式(6)。

且其總質(zhì)量符合下式：

其中，νP,b是PL 質(zhì)量的下界，而積分的上界始終是1。也就是說(shuō)，我們始終以最大質(zhì)量的那個(gè)PL 作為參考。當(dāng)然，實(shí)際情況下，那個(gè)PL 就是冥王星。

這樣，質(zhì)量在(νP,νP+dνP)區(qū)間內(nèi)的PL 個(gè)數(shù)是：

假設(shè)此質(zhì)量區(qū)間內(nèi)PL 的質(zhì)量都為區(qū)間的下界，那么這個(gè)質(zhì)量區(qū)間內(nèi)PL 貢獻(xiàn)的CE 次數(shù)是：

所以總的CE 次數(shù)是：

其中，νP,0是積分下界。既然我們討論CE 次數(shù)，一個(gè)必須滿足的條件是PL 和TR 之間的距離不能太近。如果PL 的CE 閾值半徑小于TR 的物理半徑，那么這個(gè)時(shí)候應(yīng)該發(fā)生了碰撞，而不是近密交會(huì)。假設(shè)TR 的物理半徑是RT，那么應(yīng)該有：

根據(jù)式(5)可以得到：

這個(gè)下界是由物理?xiàng)l件所限，我們稱之為硬下界。

另一種情況下，我們考慮PL 的CE 閾值半徑不比TR 的CE 閾值半徑小，否則我們?cè)谟?jì)算CE 次數(shù)時(shí)首先考慮TR 對(duì)PL 的影響，而這很可能會(huì)改變PL 的軌道性質(zhì)。因此，我們有：

其中νT=mT/mPluto，mT為T(mén)R 的質(zhì)量。我們稱這個(gè)下界為軟下界。

最后，再考慮式(15)的近似問(wèn)題。我們是從最簡(jiǎn)單的碰撞截面角度推導(dǎo)出式(6)，進(jìn)而得到式(15)的。對(duì)CE 次數(shù)的理論計(jì)算必然要比實(shí)際情況少一些，因?yàn)樵趩渭兊呐鲎步孛嬷形覀儧](méi)有考慮兩個(gè)小天體之間的引力，而引力的聚焦修正通常會(huì)使兩個(gè)星子之間的距離更近。

另一方面，既然我們近似地認(rèn)為所有PL 的軌道性質(zhì)都相同，而實(shí)際應(yīng)用的時(shí)候我們又經(jīng)常取CE 條件最好的軌道作為例子(根據(jù)第3 章的數(shù)值模擬結(jié)果，就是軌道傾角較低，軌道偏心率適中的情形)，這樣，總的CE 次數(shù)會(huì)被高估。

綜合考慮上述兩種情況，我們相信，由式(15)給出的總CE 次數(shù)的計(jì)算結(jié)果與真實(shí)情況比較接近。

5 碰撞次數(shù)的理論計(jì)算

第4 章中我們對(duì)CE 次數(shù)所做的理論計(jì)算也可以運(yùn)用到對(duì)碰撞次數(shù)的計(jì)算上，只不過(guò)因?yàn)榕鲎驳臅r(shí)候兩個(gè)小天體距離較近，引力偏折較大，因此，用上述碰撞截面計(jì)算方法得出的碰撞次數(shù)的精度會(huì)差一些。但至少我們可以用這種方法得出估算值的下限。

5.1 單個(gè)PL的情形

估算碰撞次數(shù)的方法其實(shí)與第4.1 節(jié)中估算CE 次數(shù)的方法完全一致，只不過(guò)需要改動(dòng)閾值半徑的定義。對(duì)于碰撞而言，閾值半徑為兩個(gè)小天體的物理半徑之和，即：

其中，RP為PL 的物理半徑，RT為T(mén)R 的物理半徑。這樣，繼續(xù)應(yīng)用式(3)，就可以得到單個(gè)PL 引起的總碰撞次數(shù)：

以冥王星的密度作為標(biāo)準(zhǔn)，將PL 的物理半徑表示為其質(zhì)量的關(guān)系式，即：

其中，RPluto為冥王星的半徑。所以式(20)可表示為：

類(lèi)似于描述近密交會(huì)次數(shù)的式(6)，總的碰撞次數(shù)Nco與PL 質(zhì)量也大致成2/3 冪次關(guān)系，說(shuō)明當(dāng)PL 總質(zhì)量固定時(shí)，PL 的個(gè)數(shù)越多，總的碰撞次數(shù)也越多，符合一般認(rèn)知。

5.2 一群PL的情形

下面估算一群PL 所引起的碰撞次數(shù)。同樣，先按照式(11)和式(12)定義PL 的質(zhì)量分布函數(shù)f(νP)，然后根據(jù)式(13)，估算總的碰撞次數(shù)：

其中，νP,0是積分下界。

在碰撞問(wèn)題中，積分下界較難確定，因?yàn)榧词筆L 的質(zhì)量很小，它也可以與TR 發(fā)生碰撞，只不過(guò)碰撞所引起的效果不大。實(shí)際上，針對(duì)不同的實(shí)際問(wèn)題，此標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該隨時(shí)變化。

6 實(shí)際情況

我們利用本文所得到的半解析結(jié)果來(lái)計(jì)算實(shí)際發(fā)生在PL 與TR 之間的近密交會(huì)和碰撞次數(shù)。

6.1 PL的質(zhì)量分布

我們首先對(duì)PL 的質(zhì)量分布進(jìn)行計(jì)算。我們先從IAU 小行星中心[1]獲取所有已經(jīng)被證認(rèn)的101 個(gè)PL 的數(shù)據(jù)。實(shí)際上，僅有少數(shù)幾個(gè)PL 的質(zhì)量有較準(zhǔn)確的觀測(cè)數(shù)據(jù)，如冥王星以及Orcus,Ixion,2003 AZ84,2003 VS2 等。由于反照率未知，其質(zhì)量很難準(zhǔn)確給定，因此我們這里使用近似方法來(lái)估算PL 的質(zhì)量，即把PL 的行星絕對(duì)星等轉(zhuǎn)化為其物理半徑，然后再根據(jù)冥王星的平均密度計(jì)算其質(zhì)量。計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

圖5 由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的PL 的質(zhì)量分布

由圖5可知，由實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的PL 質(zhì)量分布的頻率大致與質(zhì)量成簡(jiǎn)單的冪律關(guān)系，即：

該式也可以寫(xiě)作：

其中，B0是歸一化系數(shù)。這方便了后面的相關(guān)計(jì)算。

6.2 近密交會(huì)次數(shù)

根據(jù)以上理論結(jié)果，我們可以對(duì)實(shí)際情況下TR 與PL 之間的CE 次數(shù)進(jìn)行計(jì)算。我們主要計(jì)算某一個(gè)TR 受到真實(shí)的PL 群CE 攝動(dòng)的次數(shù)。當(dāng)然，若要反過(guò)來(lái)估計(jì)TR 群對(duì)PL 的影響，也可以做同樣的推算。作為一個(gè)例子，我們推算一個(gè)半徑為100 km 的TR 所受到的PL 群的CE 攝動(dòng)次數(shù)。

假設(shè)除冥王星外所有PL 的總質(zhì)量不超過(guò)冥王星的質(zhì)量(這是一個(gè)合理的估計(jì))，這樣，PL 群的總質(zhì)量為另外，實(shí)際情況下PL 的最小物理半徑應(yīng)大于冥王星半徑的10?6，也就是說(shuō)，在1 m 量級(jí)左右。比這個(gè)尺寸小的PL 產(chǎn)生的攝動(dòng)效果太小，可以忽略。因此

由式(12)的總質(zhì)量關(guān)系式，以及式(25)的質(zhì)量分布函數(shù)，我們可以得到：

由于νP,b非常小，可忽略不計(jì)，因此，我們得到系數(shù)

這樣，根據(jù)式(15)，我們可以得到總的CE 次數(shù)：

其中，我們忽略了νP,0項(xiàng)。

由圖2和圖3可知，當(dāng)νP=1 時(shí)，最優(yōu)軌道條件下CE 次數(shù)在104左右。這樣，根據(jù)式(6)可以算得，在最優(yōu)軌道條件下χN=104。在此情況下，也就是說(shuō)，在1 Ga 內(nèi)，一個(gè)TR 受到總質(zhì)量為2 個(gè)冥王星質(zhì)量的PL 群的近密攝動(dòng)次數(shù)約為4×104。

我們可以進(jìn)一步討論各個(gè)質(zhì)量區(qū)間對(duì)總CE 次數(shù)的貢獻(xiàn)，以獲得一個(gè)基本的認(rèn)識(shí)。由式(14)可以得到，某一質(zhì)量區(qū)間[νP??νP,νP]貢獻(xiàn)的CE 次數(shù)是：

由此可得，半徑在100～1 000 km 量級(jí)的PL 對(duì)總CE 次數(shù)的貢獻(xiàn)約為3.6×104，而半徑小于100 km 的PL 對(duì)總CE 次數(shù)的貢獻(xiàn)為剩余的4×103。這說(shuō)明大質(zhì)量PL 貢獻(xiàn)的CE 次數(shù)占總CE 次數(shù)的90% 以上，在整個(gè)CE 的演化中起著決定性的作用。

6.3 碰撞次數(shù)

用類(lèi)似的方法也可以計(jì)算PL 與TR 的碰撞次數(shù)。由計(jì)算碰撞次數(shù)的式(20)可以看出，要計(jì)算Nco，首先要求出與軌道性質(zhì)有關(guān)的RU。仍然考慮軌道條件最優(yōu)的情況，也就是χN≈104，由式(7)可得，RU≈0.001 4 AU≈2×105km。對(duì)實(shí)際的PL 和TR 來(lái)說(shuō)，RU?RP+RT。由式(20)可知，單個(gè)PL 與TR 的碰撞很難發(fā)生。

對(duì)于某個(gè)TR 受到一群PL 碰撞的情況，不妨取TR 半徑為RT=100 km，并且PL 的總質(zhì)量仍然假設(shè)為冥王星質(zhì)量的2 倍，也就是由式(23)可得，單個(gè)TR 與質(zhì)量分布為f(νP)的一群PL 的總碰撞次數(shù)為：

經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算可得：

其中，τT=RT/RPluto?？紤]到νP,0?1，我們略去了一些常數(shù)項(xiàng)。另外，由總質(zhì)量的歸一化條件，我們?nèi)菀椎玫?/p>

現(xiàn)在需確定積分下界。既然考慮的是半徑為102km 量級(jí)的TR 的碰撞，我們不妨把碰撞的下界確定為質(zhì)量分布的下界，即νP,0≈νP,b≈10?18，也就是在1 m 量級(jí)左右。這樣，我們最終可以得到：

也就是說(shuō)，一個(gè)102km 量級(jí)的TR 在109a 內(nèi)與總質(zhì)量為2 倍冥王星質(zhì)量的PL 群發(fā)生約1 次碰撞。這是一個(gè)非常小的概率，在TR 的演化中基本上可以忽略不計(jì)。

通過(guò)進(jìn)一步計(jì)算我們還發(fā)現(xiàn)，這1 次碰撞是由半徑最小的那一部分PL，也就是半徑在1～10 m 量級(jí)的PL 引起的。這樣的碰撞顯然不會(huì)對(duì)TR 的演化帶來(lái)決定性影響。

實(shí)際上，在νP,0?1 的情況下，式(30)可寫(xiě)為：

式(33)給出了可能與半徑為τT的TR 在109a 內(nèi)發(fā)生至少1 次碰撞的PL 半徑的限制。

7 總結(jié)與討論

我們改進(jìn)了已有的數(shù)值模擬方法，使其能更加準(zhǔn)確而有效地捕捉冥族小天體與海王星特洛伊這兩群小天體之間的近密交會(huì)。在數(shù)值模擬的基礎(chǔ)上，我們?cè)敿?xì)研究了各軌道參數(shù)以及小天體的大小和質(zhì)量對(duì)近密交會(huì)頻率的影響。我們發(fā)現(xiàn)，小天體的質(zhì)量是影響CE 次數(shù)的決定性因素，兩者的量級(jí)呈線性變化。PL 和TR 的傾角是影響CE 次數(shù)的次要因素，影響范圍基本上是在1 個(gè)量級(jí)以內(nèi)。理論上，PL 的偏心率也是影響CE 的決定性因素。實(shí)際觀測(cè)到的PL 的偏心率大多滿足發(fā)生CE 的基本要求(即能使PL 的近日點(diǎn)穿過(guò)TR 軌道)。而只要保證CE 發(fā)生，其偏心率的具體大小對(duì)CE 次數(shù)的影響便有限，所以，總體上PL 的偏心率對(duì)CE 的影響是較小的。另外，只有那些偏心率很小的TR 才能維持其軌道穩(wěn)定性。實(shí)際上，并不存在大偏心率的TR，因此，本文未討論TR 的偏心率大小對(duì)CE 次數(shù)的影響。最后，PL 和TR 的共振振幅對(duì)CE 次數(shù)的影響被證明是非常小的，并且當(dāng)振幅增大時(shí)，這種影響還具有負(fù)效果，這與前人[2]的推測(cè)完全不同。

在經(jīng)典的碰撞截面的基礎(chǔ)上，我們提出了估算CE 次數(shù)的理論公式，并在忽略低質(zhì)量小天體之間微弱引力的前提下，把這一公式推廣到碰撞次數(shù)的估算上。當(dāng)合理忽略軌道參數(shù)的影響時(shí)，我們將該公式進(jìn)一步應(yīng)用到了一群小天體間的碰撞次數(shù)估算上。

最后，我們以現(xiàn)有的PL 觀測(cè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，推導(dǎo)了PL 群的質(zhì)量分布函數(shù)，并利用上述公式估算了實(shí)際情況下近密交會(huì)和碰撞次數(shù)。我們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)典型TR 在109a 內(nèi)與一群總質(zhì)量不超過(guò)2 倍冥王星質(zhì)量的PL 發(fā)生近密交會(huì)的次數(shù)在104量級(jí)，其中大部分交會(huì)是由半徑在102km 量級(jí)以上的PL 貢獻(xiàn)的。另一方面，我們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)典型TR 在相同時(shí)間尺度內(nèi)與同一群PL 發(fā)生約1 次碰撞，并且這1 次碰撞是由半徑10 m 量級(jí)以下的PL 引起的，所以碰撞在典型TR 的動(dòng)力學(xué)演化中所起的作用可以忽略不計(jì)。上述分析還說(shuō)明，碰撞過(guò)程基本上是由小尺度天體引起的，而近密交會(huì)則幾乎只與大質(zhì)量天體有關(guān)。

我們主要討論了PL 對(duì)TR 的作用。用同樣的方法也可以研究TR 對(duì)PL 的影響。只是由于目前TR 的觀測(cè)數(shù)據(jù)很少，很難對(duì)實(shí)際情況下TR 的質(zhì)量分布做出計(jì)算，所以暫時(shí)無(wú)法研究TR 群對(duì)PL 的動(dòng)力學(xué)影響。

另外應(yīng)該指出的是，我們的分析過(guò)程完全可以應(yīng)用到其他任意兩群小天體之間近密交會(huì)和碰撞頻率的估算上，只要這兩群小天體的軌道保持相對(duì)穩(wěn)定，比如小行星主帶中分別處于與木星發(fā)生3 :2 和1 :1 軌道共振處的希爾達(dá)群(Hilda group)和木星特洛伊，就是這樣的例子。