一類彎曲空間超可積哈密頓系統(tǒng)的研究

閆夢(mèng)姣,黃晴

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

1 引言

根據(jù)劉維爾意義下完全可積性[1-2]的定義,一個(gè)自由度為n的哈密頓系統(tǒng)H若有包括在H內(nèi)的n個(gè)相互獨(dú)立且兩兩對(duì)合的守恒積分,那么系統(tǒng)H在劉維爾意義下就是完全可積的.此外,如果完全可積系統(tǒng)H還存在僅與H對(duì)合,未必與其他守恒積分對(duì)合且相互獨(dú)立的m個(gè)守恒積分,則稱系統(tǒng)H為超可積系統(tǒng).m的最大值為n?1,當(dāng)m=n?1時(shí),系統(tǒng)H是最大超可積系統(tǒng)[3].對(duì)兩個(gè)自由度的系統(tǒng)而言,最大超可積性與超可積性是等價(jià)的.有限維哈密頓系統(tǒng)的可積性和超可積性的相關(guān)研究已有很多成果,可參考綜述性文獻(xiàn)[4]及其中文獻(xiàn).這些成果大部分是基于常曲率空間或零曲率空間的,因?yàn)樽兦士臻g復(fù)雜多變,相關(guān)的分析和計(jì)算有很大難度.但變曲率空間卻是更常見的空間,因此對(duì)于變曲率空間中有限維哈密頓系統(tǒng)的研究有很重要的意義.

變曲率空間中有限維哈密頓系統(tǒng)的研究也有一些結(jié)果,文獻(xiàn)[5]分析了變曲率空間中一類二維哈密頓系統(tǒng)的超可積性.文獻(xiàn)[6]不僅利用二次守恒積分得到了非常曲率空間中的n維最大超可積系統(tǒng),還根據(jù)Bertrand理論得到了變曲率空間中一類新的超可積模型[7],隨后又通過St?ckel變換得到了非常曲率空間中的四種最大超可積經(jīng)典哈密頓系統(tǒng)[8].最近,文獻(xiàn)[9]利用微分Galois理論研究了彎曲空間中形如

的哈密頓系統(tǒng)的可積必要條件,其中a(r),b(r),c(r),d(r)都是關(guān)于r的任意亞純函數(shù),還將得到的結(jié)論應(yīng)用到三個(gè)具體的實(shí)例中來展示這些結(jié)論的簡(jiǎn)便實(shí)用性.

本文主要根據(jù)文獻(xiàn)[9]中的第一個(gè)實(shí)例展開研究,分析形如

的哈密頓系統(tǒng)的可積性和超可積性.主要的分析方法是利用動(dòng)能的Killing向量場(chǎng)構(gòu)造系統(tǒng)的二次守恒積分,得到可積系統(tǒng)和超可積系統(tǒng).最后,構(gòu)造各個(gè)超可積系統(tǒng)中守恒積分的Poisson代數(shù),并給出這些守恒積分之間的多項(xiàng)式代數(shù)關(guān)系.

2 哈密頓系統(tǒng) (1)的可積性

哈密頓系統(tǒng)(1)的動(dòng)能為:

其Killing向量場(chǎng)由與T正交且關(guān)于動(dòng)量pr和pφ線性的函數(shù)

張成,其中三個(gè)Killing向量滿足交換關(guān)系:

由此可知K1,K2,K3形成了一個(gè)SO(3)代數(shù),它的一個(gè)Casimir函數(shù)為:

這個(gè)代數(shù)還容許以下變換:

哈密頓系統(tǒng)二次守恒積分的一般形式為:

因?yàn)槠娲魏团即尾荒芡瑫r(shí)出現(xiàn)[10],只需考慮:

這里利用動(dòng)能T的Killing向量場(chǎng)(2)構(gòu)造守恒積分,僅考慮以下形式的二次守恒積分:

其中Ki,Kj為(2)中的Killing向量.若假設(shè)

是系統(tǒng)(1)的守恒積分.根據(jù)Poisson交換關(guān)系{H,F1}=0,可解得h,f1為:

其中A(φ),B(r)分別是關(guān)于r,φ的任意函數(shù).經(jīng)檢驗(yàn)H,F1相互泛函獨(dú)立,所以系統(tǒng)

是劉維爾完全可積的.

3 哈密頓系統(tǒng) (4)的超可積性

完全可積系統(tǒng)(4)如果還存在另一個(gè)守恒積分F2,且H,F1,F2相互獨(dú)立,則(4)是超可積的.本節(jié)通過引入新的二次守恒積分討論(4)的超可積性,以建立超可積系統(tǒng)和相應(yīng)的Poisson代數(shù).

3.1 超可積約束 F2=K1K3+f2(r,φ)

假設(shè)系統(tǒng)(4)容許如下形式的二次守恒積分:

根據(jù){H,F2}=0得到pr,pφ的系數(shù),并令這些系數(shù)等于零得到A,B,f2滿足:

易知,H,F1,F2相互獨(dú)立,可得到超可積的哈密頓系統(tǒng).由于F1和F2的交換子不能用H,F1,F2來表示,為構(gòu)造守恒積分的Poisson代數(shù),引入

因此H,F1,F2,F3構(gòu)成一個(gè)Poisson代數(shù).二維可積哈密頓系統(tǒng)最多有3個(gè)相互獨(dú)立的守恒積分,故H,F1,F2,F3應(yīng)是相互依賴的,這四個(gè)守恒積分所滿足的多項(xiàng)式代數(shù)關(guān)系為:

此外,對(duì)以上所得超可積系統(tǒng)實(shí)行變換(3),還能得到如下超可積系統(tǒng):

3.2 超可積約束 F2=K22+f2(r,φ)

假設(shè)系統(tǒng)(4)有如下形式的二次守恒積分:

由{H,F2}=0,得到A,B,f2所滿足的方程組,解得

為構(gòu)造封閉的Poisson代數(shù),引入如下函數(shù):

則H,F1,F2,F3滿足以下非零交換關(guān)系:

由此守恒積分H,F1,F2,F3構(gòu)成一個(gè)Poisson代數(shù),其中各積分滿足以下關(guān)系:

對(duì)該系統(tǒng)做變換(3)可得如下超可積系統(tǒng):

3.3 超可積約束 F2=K1K2+f2(r,φ)

如果系統(tǒng)(4)容許形如

的二次守恒積分,由{H,F2}=0解得

經(jīng)檢驗(yàn)H,F1,F2不滿足封閉的Poisson代數(shù)關(guān)系,令

H,F1,F2,F3構(gòu)成一個(gè)Poisson代數(shù)且滿足:

4 總結(jié)

本文利用動(dòng)能的Killing向量場(chǎng)構(gòu)造二次守恒積分,得到了一系列彎曲空間的2維超可積系統(tǒng),并對(duì)每個(gè)超可積系統(tǒng)給出了相應(yīng)的守恒積分構(gòu)成的Poisson代數(shù)以及Poisson代數(shù)中各守恒積分之間的代數(shù)關(guān)系.