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      基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的磁共振指紋參數(shù)量化優(yōu)化算法*

      2019-10-30 08:21:52黃敏張璐堅周到陳軍波
      生物醫(yī)學(xué)工程研究 2019年3期
      關(guān)鍵詞:參數(shù)值磁化字典

      黃敏,張璐堅,周到,陳軍波

      (中南民族大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院,武漢 430074)

      1 引 言

      磁共振成像(MRI)技術(shù)已被廣泛應(yīng)用于臨床檢查,但MRI一次掃描只能得到T1、T2或質(zhì)子密度中的一種加權(quán)像,對醫(yī)生的經(jīng)驗要求較高。2013年,Griswold等人提出了“磁共振指紋”(magnetic resonance fingerprinting,MRF)成像方法[1],可通過一次掃描,得到多參數(shù)的定量圖像。

      經(jīng)典MRF成像框架需要建立一個包含被掃描部位所有組織的參數(shù)信息的字典,字典大小與參數(shù)匹配的準(zhǔn)確度和效率密切相關(guān)。該框架存在匹配時間過長,字典不具有通用性等缺陷。基于分組匹配方法[2]和奇異值分解(SVD)[3-4]后再匹配的方法可以加快匹配速度?;趬嚎s感知[5-6]的方法可加速匹配過程,提高準(zhǔn)確度,但對不同的采樣序列,當(dāng)改變TR和FA后,需重新生成字典,增加了額外的時間和空間成本。

      目前提出的基于無字典的MRF參數(shù)量化框架的方法中,有采用深度學(xué)習(xí)得到參數(shù)圖像,代替基于字典的匹配過程[7-8],但深度學(xué)習(xí)需要大量數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練支撐,可獲得的MRF采集數(shù)據(jù)和標(biāo)簽數(shù)據(jù)非常少。Zhang等人提出了使用卡爾曼濾波的方式對參數(shù)進(jìn)行量化,無需訓(xùn)練數(shù)據(jù),但量化時間較長[9-10]。為此,我們研究了基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的磁共振指紋參數(shù)量化方法,并對量化速度和精度進(jìn)行了優(yōu)化。

      2 參數(shù)量化方法

      MRF技術(shù)采用偽隨機(jī)變化的TR和FA組合(如1 000組)進(jìn)行掃描,獲得對量化參數(shù)敏感的獨特信號。為縮短掃描時間,在每組TR時間內(nèi),可采用單支螺旋軌跡采樣,得到K空間欠采樣數(shù)據(jù)。對采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行逆NUFFT得到空間域圖像,將空間域圖像各點對應(yīng)位置的多幀信號連接起來,即得到每個體素的“磁共振指紋”信號。在經(jīng)典MRF參數(shù)量化中,需要根據(jù)所有組織參數(shù)組合與序列參數(shù),通過Bloch方程建立字典庫。將指紋與字典信號進(jìn)行逐條匹配,通過匹配結(jié)果得到參數(shù)像。

      卡爾曼濾波(KF)可用于線性系統(tǒng)的信號跟蹤和觀測,是一種最優(yōu)估計方法[11]。而利用擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF),可實現(xiàn)對非線性系統(tǒng)(MRF屬于此類)的優(yōu)化估計問題。我們先建立磁共振指紋成像模型;對模型的MRF信號進(jìn)行EKF跟蹤觀測,使估計值趨近于真實值,實現(xiàn)對該信號的輸入?yún)?shù)進(jìn)行反推和估計。該方法簡稱為EKF-MRF方法。

      2.1 模型建立

      在MRF中,磁場不是絕對均勻的,存在偏振頻率df。若k時刻某組織的磁化矢量信號為Mk=[Mxk;Myk;Mzk], 待量化的參數(shù)組合為pk=[T1;T2;df],定義此時的聯(lián)合狀態(tài)向量為:

      Xk=[Mk;pk]=[Mxk;Myk;Mzk;T1;T2;df]

      (1)

      將MRF數(shù)據(jù)演變過程看作一個非線性系統(tǒng),系統(tǒng)動態(tài)方程可以表示為:

      Xk=f[k-1,Xk-1]+wk

      (2)

      Zk=h[k,Xk]+vk

      (3)

      其中Zk為觀測值,wk∈R6×1為過程噪聲(近似高斯白噪聲),其協(xié)方差為Qk。vk∈R2×1為觀測噪聲,其協(xié)方差為Rk。

      由MRF原理可知,f(*)為非線性變換,h(*)為線性變換。k時刻的測量值[Mxk;Myk]與系統(tǒng)變量之間是線性關(guān)系,觀測矩陣H表示為:

      (4)

      若采用bSSFP序列[1]進(jìn)行MRF數(shù)據(jù)采集,根據(jù)Bloch方程,k時刻的系統(tǒng)變量與k-1時刻的系統(tǒng)變量之間是一個復(fù)雜的非線性關(guān)系。

      已知k-1時刻的磁化矢量Mk-1,結(jié)合組織參數(shù)pk,要計算出下一時刻的磁化矢量Mk,需要經(jīng)過三步:

      (1)首先,經(jīng)過dt1時間的自由進(jìn)動后,磁化矢量可通過Bloch方程計算,即:

      (5)

      其中,ω為偏振角頻率,dt為當(dāng)前信號采集時刻到下次射頻施加之前的時間段dt1(bSSFP序列為0.5TR(k-1))。得到自由進(jìn)動狀態(tài)下磁化矢量:

      Mt+dt=g(Mt,dt)

      (6)

      可另寫為:

      M1,k=g(Mk-1,dt1)

      (7)

      (2)施加下一RF脈沖后(翻轉(zhuǎn)角為αk,相位為0和180°相互交替的φk),得到新的磁化矢量:

      (8)

      其中,

      (9)

      (3)再經(jīng)過dt2時間的自由進(jìn)動,按照式(2)計算新的磁化矢量Mk。其中,dt為下次射頻施加時刻到下次信號采集時刻的時間段dt2(bSSFP序列為0.5TR(k)),可表示為:

      Mk=g(M2,k,dt2)

      (10)

      由于每個體素的組織參數(shù)T1,T2和磁場不均度df是不變的。將磁化矢量與參數(shù)相結(jié)合,可得到k時刻的聯(lián)合狀態(tài)變量Xk。最終公式為:

      Xk=f(Xk-1)=

      (11)

      2.2 參數(shù)量化

      基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的MRF參數(shù)量化過程,主要是對五個關(guān)鍵方程進(jìn)行迭代計算:

      (12)

      (2)預(yù)測協(xié)方差矩陣Pk|k-1

      Pk|k-1=FkPk-1|k-1FkT+Q

      (13)

      (3)求解卡爾曼增益Kk

      Kk=Pk|k-1HT(HPk|k-1HT+R)

      (14)

      (4)狀態(tài)更新X(k|k)

      (15)

      (5)協(xié)方差更新Pk|k

      Pk|k=(I-KkH)Pk|k-1

      (16)

      其中,f(Xk-1)為EKF-MRF的非線性狀態(tài)方程。將k-1時刻狀態(tài)變量代入式(11),得到k時刻狀態(tài)的估計值。

      通過狀態(tài)方程的一階線性化得到轉(zhuǎn)移矩陣,由于狀態(tài)向量Xk含有[Mk;pk]兩部分,所以最終狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為:

      (17)

      隨機(jī)輸入待量化的三個參數(shù)T1,T2和df的初始值,通過擴(kuò)展卡爾曼濾波不斷跟蹤預(yù)測信號,對方差進(jìn)行估計,更新參數(shù)組合的值,最終使參數(shù)組合通過狀態(tài)方程后,得到的信號趨近于信號真實值。說明此時參數(shù)值已趨近于組織真實值,即得到了量化結(jié)果。

      2.3 EKF-MRF優(yōu)化

      為減少M(fèi)RF掃描時間,使用500組TR和FA的脈沖序列進(jìn)行數(shù)據(jù)采集,但經(jīng)過500次卡爾曼迭代后,未能得到收斂的參數(shù)值,需要對觀測值進(jìn)行數(shù)據(jù)復(fù)制。

      通過實驗發(fā)現(xiàn),過程噪聲Q和觀測噪聲R對實驗結(jié)果的準(zhǔn)確性影響較大,Q值直接迭代次數(shù)。在第一輪(500次)EKF迭代時,由于初始參數(shù)值是隨機(jī)的,計算的預(yù)測值偏離真實值較遠(yuǎn),我們選取較大的Q值,使卡爾曼運(yùn)算中更偏向測量值。在第一輪卡爾曼迭代過程中,各參數(shù)值向真實值迅速趨近,但不能精確收斂。當(dāng)參數(shù)值已經(jīng)趨近于真實值后(誤差變小),再將Q值逐步調(diào)小,使其收斂在一個固定值附近。

      實驗表明:當(dāng)R值過小,收斂后量化的T1,T2參數(shù)值會較真實值偏小;當(dāng)R值過大,各參數(shù)將不能準(zhǔn)確收斂。經(jīng)過大量試驗后,我們將卡爾曼濾波算法中的數(shù)據(jù)重復(fù)次數(shù)控制在四輪,即2 000個點處,可以得到逼近真實值的量化結(jié)果。

      相較于Zhang等人的方法[10],本研究還在狀態(tài)方程的一階線性化過程中做了優(yōu)化。前者在一階線性化過程中將狀態(tài)方程分成兩個非線性方程和一個線性方程,做了兩次一階線性化過程。我們基于EKF原理,將狀態(tài)方程作為一個整體僅做一次一階線性化,計算速度大大加快。

      3 實現(xiàn)與結(jié)果

      3.1 單組織參數(shù)量化結(jié)果

      翻轉(zhuǎn)角FA采用添加了柏林噪聲的偽隨機(jī)變化值,并加入隨機(jī)噪聲;TR取范圍為6.5~14 ms的隨機(jī)值,見圖1。模擬腦部組織參數(shù)值,在df為4 Hz,SNR為15 dB條件下,對EKF-MRF方法進(jìn)行實現(xiàn)和分析。

      圖1 翻轉(zhuǎn)角與重復(fù)時間Fig.1 Flip angle and repetition time

      選取T1=500 ms,T2=70 ms,df=6 Hz,分析觀測噪聲和測量噪聲對實驗結(jié)果的影響,見圖2。圖2(a)中,當(dāng)R值偏小時,df雖然能收斂,但收斂值偏小;(b)中,當(dāng)R值偏大時,df不能收斂;(c)中,當(dāng)Q值固定時,df在較大范圍內(nèi)震蕩,不能準(zhǔn)確的收斂;(d)為本研究的df結(jié)果,能較快并準(zhǔn)確的收斂。

      圖2 噪聲對結(jié)果的影響Fig.2 Influence of noise on results

      選取T1值最高的腦脊液(T1∶2 569 ms、T2∶329 ms),以及T1值與T2值差距最大的肌肉(T1∶350 ms、T2∶70 ms)進(jìn)行實驗,得到仿真的磁化矢量Mx和My,見圖3。

      腦脊液和肌肉的參數(shù)估計值收斂曲線見圖4。測量數(shù)據(jù)在重復(fù)1輪至1 000個點時,估計值已收斂到較小范圍;到1 500個點時,能得到穩(wěn)定收斂且誤差很小的參數(shù)值,證明優(yōu)化方法可得到逼近真實值的參數(shù)估計值。

      圖3兩種組織的磁化矢量

      Fig.3Magnetic vector of two tissues

      圖4參數(shù)估計曲線

      Fig.4Curves of parameter estimation

      3.2 二維模型結(jié)果

      在配置為Intel Core(TM) i5-8300H 2.30 GHz 的PC上,在Matlab R2017b環(huán)境下,對上述算法進(jìn)行實現(xiàn)。

      為了將EKF-MRF優(yōu)化法與Zhang等人的方法[10]進(jìn)行比較,使用相同的BrainWeb數(shù)據(jù)庫中人腦模型進(jìn)行仿真。BrainWeb的模型大小為217×181×181,將每層擴(kuò)充為256×256,在1T條件下,設(shè)置每層組織的T1、T2以及質(zhì)子密度值[4]。模擬信號采集的SNR為15 dB,df在范圍為0~12 Hz內(nèi)呈指數(shù)趨勢中心對稱變化,并對非感興趣區(qū)域添加掩膜。

      另外,為了與字典量化法比較,我們建立了字典。參數(shù)選擇:T1值范圍為100~5 000 ms(100~2 000 ms之間,以20 ms為間隔;2 000 ms以上,300 ms為間隔);T2范圍為20~3 000 ms(20~100 ms之間,以5 ms為間隔;100~200 ms之間,以10 ms為間隔;200 ms以上,200 ms為間隔);df范圍為-20~20 Hz(2 Hz為間隔);得到字典入口數(shù)為91 266個。由組織特性可知,無T1

      EKF-MRF及字典法的參數(shù)量化圖像見圖5,匹配誤差及量化時間見表1。準(zhǔn)確度采用參數(shù)量化結(jié)果與金標(biāo)準(zhǔn)之間的均方根誤差作為衡量標(biāo)準(zhǔn)。

      結(jié)果表明,EKF-MRF法在量化的準(zhǔn)確度和效率上均優(yōu)于字典直接匹配法。直接匹配法的最大缺陷是T2量化圖失真嚴(yán)重,df量化出現(xiàn)環(huán)狀偽影。EKF-MRF法T2量化精度明顯增強(qiáng),誤差明顯縮小,df量化無環(huán)狀偽影。

      表1 匹配誤差及量化時間Table1 Matching error and quantification time

      Zhang等人的方法[10],對BrainWeb數(shù)據(jù)進(jìn)行64×64點量化,用時42 min;可估算該方法量化256×256點的圖像需要640 min。本研究的優(yōu)化方法,參數(shù)量化256×256點僅需約38 min,時間縮短了1個數(shù)量級,效率明顯提高。提高的關(guān)鍵在于:對測試數(shù)據(jù)的重復(fù)次數(shù)僅需要4次即可達(dá)到迭代的精度要求;雅克比矩陣僅用直接一次性計算,大大節(jié)省了時間。

      為進(jìn)一步測試量化的準(zhǔn)確度,三個參數(shù)組合中保持兩個不變,觀測對剩余一個參數(shù)的量化影響。在T2=60 ms和df=6 Hz時,分析T1量化的準(zhǔn)確性;在T1=600 ms和df=6 Hz時,分析T2量化的準(zhǔn)確性;在T1=600 ms和T2=60 ms時,分析df量化的準(zhǔn)確性。結(jié)果見圖6,表明EKF-MRF在T1,T2,df具有很好的量化效果。字典直接匹配法T1參數(shù)估計較準(zhǔn)確,df估計誤差較大,T2誤差尤其大。

      圖5頭部模型的量化結(jié)果

      Fig.5Quatification results for brain model

      圖6 參數(shù)值變化對準(zhǔn)確度的影響Fig.6 Influence of parameter value change on accuracy

      4 結(jié)論

      基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的磁共振指紋參數(shù)量化優(yōu)化法,相較于字典量化法和Zhang等人的卡爾曼濾波法,在速度上有了很大提升,在T2參數(shù)量化的質(zhì)量上也有顯著改善。這種無字典的磁共振指紋參數(shù)量化方法,解決了不同部位、不同序列需要建立不同字典的問題。也使采樣序列的設(shè)計更加靈活,并且節(jié)省了儲存字典所需的空間。

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