崔靜靜 趙思林

摘?要：2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)理科Ⅲ卷第21題立意高、背景深、思維活、思路廣、解法多，本文從試題的立意、背景、解法等方面進(jìn)行分析與探究.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);試題立意;解法探究

1?試題呈現(xiàn)

題目?（2019年全國(guó)Ⅲ卷理科第21題）已知曲線C：y=x22，點(diǎn)D為直線y=-12上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B.

（1）證明：直線AB過定點(diǎn);

（2）若以E（0，52）為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.

2?試題的立意

試題延續(xù)了全國(guó)卷最常考的風(fēng)格，考查了圓與圓錐曲線的位置關(guān)系，同時(shí)也涉及到中點(diǎn)弦、圓和拋物線弦相切等相關(guān)知識(shí)點(diǎn).本題與2015年高考數(shù)學(xué)四川理科卷的第10題頗為相似，都是利用中點(diǎn)的性質(zhì)得到直線的斜率，即為切點(diǎn)橫坐標(biāo)，由定點(diǎn)和切點(diǎn)連線的斜率和垂直，從而求得切點(diǎn)坐標(biāo).

該題將直線方程、拋物線、圓、切線、導(dǎo)數(shù)、向量等知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了知識(shí)的基礎(chǔ)性與綜合性，充分考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與核心素養(yǎng).題目緊扣考綱，相比以往的圓錐曲線試題有所創(chuàng)新，讓學(xué)生產(chǎn)生似曾相識(shí)又陌生的感覺.從閱卷情況來看，此題入手容易，得1—4分的比比皆是，但得高分難、得滿分很少.因此，試題具有較高的信度和效度、合適的難度和較好的區(qū)分度，這有利于區(qū)分考生不同思維層次的水平，有利于高校選拔人才.本題將知識(shí)、方法、思想、核心素養(yǎng)融為一體，是一道著眼于考查核心素養(yǎng)并且極富思維價(jià)值的好題[1].

3?試題的背景

背景1?以拋物線的阿基米德三角形為背景，動(dòng)點(diǎn)D在拋物線的準(zhǔn)線上，則切點(diǎn)弦過定點(diǎn)（拋物線的焦點(diǎn)）.該性質(zhì)的逆命題也成立，且切點(diǎn)弦AB的斜率為點(diǎn)D的橫坐標(biāo).

背景2?圓錐曲線的極點(diǎn)和極線.

4?解法探究

41?第（1）問解析

解法1?設(shè)點(diǎn)D（t，-12），A（x1，y1）.

又因?yàn)榍€C：y=x22，則y′=x.

則切線DA的斜率為x1，故y1+12x1-t=x1.

整理得2tx1-2y1+1=0.

同理2tx2-2y2+1=0.

故直線AB的表達(dá)式為2tx-2y+1=0.

所以直線AB過定點(diǎn)（0，12）.

解法2?設(shè)點(diǎn)D（t，-12），A（x1 ，x21 2），B（x2 ，x22 2）.

又因?yàn)榍€C：y=x22，則y′=x.

則直線AB的方程為y=x1+x22x-x1x22.

易得，點(diǎn)A處的切線方程為y = x1 x-x21 2.①

將點(diǎn)D坐標(biāo)代入①式，得

-12 = tx1 -x21 2，即t = x21 -12x1 .

同理t = x22 -12x2 .

故x21 -12x1 ?= x22 -12x2 ，化簡(jiǎn)得x1x2=-1.

故直線AB的方程為y=x1+x22x+12，過點(diǎn)（0，12）.

點(diǎn)評(píng)?該解法1與解法2相似.避免了設(shè)直線AB的方程，通過分析得到DA，DB的斜率分別為x1，x2，再代入化簡(jiǎn)，便可輕松獲解.

解法3?設(shè)點(diǎn)D（t，-12），A（x1，y1）.

又因?yàn)榍€C：y=x22，則y′=x.

設(shè)直線AB的表達(dá)式y(tǒng)=kx+b，A（x1 ，x21 2），B（x2 ，x22 2）.

聯(lián)立y=x22，y=kx+b. 消去y可得x2-2kx-2b=0.

因此，x1+x2=2k，x1x2=-2b.

易得點(diǎn)A處的切線方程為y = x1 x-x21 2.②

同理，點(diǎn)B處的切線方程為y = x2 x-x22 2.③

聯(lián)立②③式，解得D（x1+x22，x1x22）.

又點(diǎn)D在直線y=-12上，則x1x22=-12.

所以b=-x1x22=12.

故直線AB過定點(diǎn)（0，12）.

點(diǎn)評(píng)?聯(lián)立直線與拋物線方程，借助一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解得縱截距b值.

解法4?設(shè)點(diǎn)D（t，-12），則過點(diǎn)D的切線方程為y+12=k（x-t）.

聯(lián)立y=x22，y+12=k（x-t）.

消去y可得x2-2kx+2kt+1=0.④

由題意可知Δ=4k2-4（2kt+1）=0.⑤

所以④的兩根x1=x2=k.

又因?yàn)榍€C：y=x22，則y′=x.

設(shè)直線DA，DB斜率分別為k1，k2，且A（x1 ，x21 2），B（x2，x22 2）.則k1，k2是方程⑤的兩根，則k1+k2=2t，k1k2=-1.

所以直線AB的方程為y=k1+k22x-k1k22.

故直線AB過定點(diǎn)（0，12）.

點(diǎn)評(píng)?解法3與解法4有異曲同工之處，據(jù)悉，該思想方法是大多數(shù)學(xué)生在考場(chǎng)上選擇的方法.此法思維切入點(diǎn)低，但運(yùn)算量稍大，充分體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)應(yīng)試中“運(yùn)算能力是萬能之本”.

解法5?由對(duì)稱性可知直線AB所過定點(diǎn)必在y軸上.

當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，-12）時(shí)，該點(diǎn)到拋物線的兩切點(diǎn)為A（1，12），B（-1，12），直線AB與y軸交于點(diǎn)M（0，12）.

設(shè)過點(diǎn)M（0，12）的直線AB的方程為y=kx+12，A（x1 ，x21 2），B（x2 ，x22 2）.

聯(lián)立y=x22，y=kx+12. 消去y可得x2-2kx-1=0.

從而，x1+x2=2k，x1x2=-1.

又曲線C：y=x22，則y′=x.

點(diǎn)A處的切線方程為y = x1 x-x21 2，同理點(diǎn)B處的切線方程為y = x2 x-x22 2.

所以D（x1+x22，x1x22），即D（k，-12）.

則D（k，-12）是直線y=-12上的動(dòng)點(diǎn)，所以直線AB過定點(diǎn)（0，12）.

點(diǎn)評(píng)?該方法體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.

解法6?設(shè)點(diǎn)D（t，-12），則直線AB是點(diǎn)D的極線.

從而，直線AB的方程為y-122=tx2.

化簡(jiǎn)得y=tx+12，所以直線AB過定點(diǎn)（0，12）.

解法7?焦點(diǎn)F（0，12）和準(zhǔn)線y=-12是拋物線的極點(diǎn)和極線.

由配極原則，點(diǎn)F的極線過點(diǎn)D，則點(diǎn)D的極線過點(diǎn)F，即直線AB過定點(diǎn)（0，12）.

點(diǎn)評(píng)?如果考生在考場(chǎng)上能夠想到極點(diǎn)和極線的基本定理，便可“秒殺”此題.一般來說，“想得多，就算得少”，相反“想得少，就算得多”，面對(duì)像高考這樣短時(shí)間內(nèi)選拔人才的方式，應(yīng)重視“多想少算”的教育理念.

解法8?由題意有y1-12x1=t=y2-12x2，即kAF=kBF，即A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線.

化簡(jiǎn)上式得x1y2-x2y1x1-x2=12.

直線AB的方程為y-y1x-x1=y2-y1x2-x1.

故當(dāng)x=0時(shí)，y=12.

即直線AB過定點(diǎn)（0，12）.

點(diǎn)評(píng)?第（1）問只要把握住切點(diǎn)弦的方程和曲線在某點(diǎn)的切線方程是一致的，問題就能迎刃而解.

42?第（2）問解析

解法1?設(shè)直線AB的方程為y=tx+12.

聯(lián)立y=x22，y=tx+12. 消去y可得x2-2tx-1=0.

則有x1+x2=2t，y1+y2=t（x1+x2）+1=2t2+1.

設(shè)點(diǎn)M為A，B的中點(diǎn)，則M（t，t2+12）.

由于EM⊥AB，而EM=（t，t2-2），AB與向量（1，k）平行，所以t+（t2-2）t=0，解得t=0或t=±1.

當(dāng)t=0時(shí)，圓的方程為x2+（y-52）2=4;

當(dāng)t=±1時(shí)，圓的方程為x2+（y-52）2=2.

當(dāng)t=0時(shí)，S=3;當(dāng)t=±1時(shí)，S=4 2.

因此，四邊形ADBE的面積為3或4 2.

解法2?設(shè)直線AB的方程為y=tx+12.

由t = y2 -y1 x2 -x1 ?= x22 2-x21 2x2 -x1 ?= x1 ?+ x2 2，

化簡(jiǎn)得y1+y22=t（x1+x22）+12=t2+12.

故中點(diǎn)為M（t，t2+12）.下同解法1.

點(diǎn)評(píng)?利用中點(diǎn)結(jié)論可得AB斜率即為切點(diǎn)橫坐標(biāo)，由定點(diǎn)和切點(diǎn)連線的斜率和垂直，可求得切點(diǎn)坐標(biāo).這種“設(shè)而不求”法通常用于對(duì)稱性問題 [2].相較解法1，解法2運(yùn)算用時(shí)少，效率高，不易出錯(cuò).

解法3?由題意有AE=BE.化簡(jiǎn)該表達(dá)式，可得R2=2或R2=4.其余同上.

點(diǎn)評(píng)?第（2）問實(shí)際上考查了圓和圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及中點(diǎn)弦，圓和拋物線的弦相切，在近幾年的全國(guó)卷中多次出現(xiàn)，應(yīng)引起重視.

5?結(jié)束語

本題解法較多，有的方法雖然也能解決問題，但運(yùn)算量偏大，過程較繁瑣.只要靈活地選擇數(shù)學(xué)方法，便能出奇制勝，達(dá)到多想少算的效果.教師還應(yīng)把握好因材施教的教學(xué)原則，對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，應(yīng)要求其掌握極點(diǎn)、極線基本定理，阿基米德三角形性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn).

參考文獻(xiàn)：

[1]崔靜靜，趙思林.一個(gè)數(shù)學(xué)探究性問題的多角度研究——2016年高考數(shù)學(xué)四川卷理科第15題評(píng)析與引申[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2017（06）： 47-50.

[2]王后雄，馬春華等.高中數(shù)學(xué)教材完全解讀，選修2-1[M].北京：中國(guó)青年出版社，2015.