喬云成

[摘 ?要] 初中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的挑戰(zhàn)，是將離散的知識(shí)集約化，以便學(xué)生更好地進(jìn)行思維加工. 這樣的要求決定了數(shù)學(xué)課堂需要一定程度上的集約化，建立集約化教學(xué)的思想，讓初中數(shù)學(xué)課堂得到優(yōu)化. 教師需要從理論上探究集約型課堂的價(jià)值，并在教學(xué)實(shí)踐中體現(xiàn)出這一價(jià)值，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)以及核心素養(yǎng)的提升.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);集約型數(shù)學(xué)課堂;農(nóng)村初中

初中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的挑戰(zhàn)之一，是數(shù)學(xué)知識(shí)的體系化，這對(duì)于學(xué)生尤其是農(nóng)村初中的學(xué)生而言，是一個(gè)不小的挑戰(zhàn). 因?yàn)檗r(nóng)村初中的學(xué)生雖然說在數(shù)學(xué)思維上與城市學(xué)生并無(wú)太大差異，但在學(xué)習(xí)環(huán)境以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的專注程度上還是存在一定差異的，如果忽視了這種差異，在課堂上只進(jìn)行粗放式的組織，那學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平不會(huì)提高. 基于這樣的思考，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中提出了集約化教學(xué)的思路，并努力去構(gòu)建集約型的數(shù)學(xué)課堂，取得了一些教學(xué)效果，比預(yù)計(jì)的也有新的突破. 本文試對(duì)筆者的實(shí)踐與思考進(jìn)行一個(gè)粗淺的總結(jié)，以請(qǐng)教于同行.

集約型數(shù)學(xué)課堂的價(jià)值探究

集約型數(shù)學(xué)課堂是相對(duì)于傳統(tǒng)的知識(shí)分散、思維散亂的課堂而言的，集約型數(shù)學(xué)課堂具有這樣的幾個(gè)基本特征：其一，集約型數(shù)學(xué)課堂強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系;其二，集約型數(shù)學(xué)課堂強(qiáng)調(diào)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維的連續(xù)性;其三，集約型數(shù)學(xué)課堂強(qiáng)調(diào)教師在課堂中對(duì)時(shí)機(jī)的把握與技巧點(diǎn)撥. 在這三個(gè)基本特征的基礎(chǔ)上進(jìn)行總結(jié)，可以發(fā)現(xiàn)集約型課堂最為強(qiáng)調(diào)的其實(shí)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維的緊湊、連貫，以求加工數(shù)學(xué)知識(shí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的準(zhǔn)確性、迅捷性與完整性. 基于對(duì)以上特征的總結(jié)，從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看，我們認(rèn)為集約型課堂的價(jià)值在于以下三點(diǎn)，現(xiàn)結(jié)合“整式的乘法與因式分解”的教學(xué)來說明.

1. 集約型課堂更有利于學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)形成組塊

上面已經(jīng)說過，初中數(shù)學(xué)知識(shí)其實(shí)一定程度上呈現(xiàn)出零散化的狀態(tài)，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候，如果教師不注意認(rèn)真設(shè)計(jì)，那他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解常常就是零散的，而根據(jù)學(xué)習(xí)心理學(xué)的規(guī)律，這是不利于學(xué)生記憶的. 如果記憶這個(gè)基本環(huán)節(jié)都出現(xiàn)困難，那學(xué)生的學(xué)習(xí)肯定會(huì)出問題. 此背景下，如果數(shù)學(xué)課堂變成集約型課堂，那學(xué)生就更容易將數(shù)學(xué)知識(shí)集約化，從而形成較大的知識(shí)組塊，以促進(jìn)學(xué)生更好地記憶并為數(shù)學(xué)知識(shí)的理解奠定基礎(chǔ).

“整式的乘法與因式分解”在人教版八年級(jí)上冊(cè)的教材中，雖然同屬一章且作為該章節(jié)的標(biāo)題，但在實(shí)際教學(xué)中，教師總是將“整式的乘法”與“因式分解”分開教學(xué)的（實(shí)際上教材設(shè)計(jì)也是分成兩節(jié)的），這很容易讓學(xué)生認(rèn)為這兩個(gè)知識(shí)是分開的、零散的. 在實(shí)際教學(xué)中，如果進(jìn)行集約化處理，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到整式的乘法與因式分解其實(shí)是一體兩面，這樣這兩個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)就表現(xiàn)出一定的集約特征，學(xué)生更容易將它們共同進(jìn)行思維加工，以形成于同一個(gè)知識(shí)組塊之內(nèi).

2. 集約型課堂更有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維一體化

數(shù)學(xué)知識(shí)的集約是為了學(xué)生思維的集約，數(shù)學(xué)思維的集約意味著數(shù)學(xué)思維加工內(nèi)容的高效. 如果在教學(xué)中學(xué)生的思維具有明顯的一體化的特征，即表現(xiàn)為前后思維連貫、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、判斷準(zhǔn)確、結(jié)果有效，那這樣的思維就更有利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 顯然，集約型課堂更能夠?qū)崿F(xiàn)這一點(diǎn).

在“整式的乘法與因式分解”這一內(nèi)容的教學(xué)中，筆者特別跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)兩者之間的關(guān)系，也著力引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系，于是學(xué)生在理解這兩個(gè)知識(shí)的時(shí)候更容易有意識(shí)地去尋找它們的聯(lián)系. 而相應(yīng)的學(xué)生前面所學(xué)的整式的乘法知識(shí)，就可以成為后面因式分解的基礎(chǔ)，這樣學(xué)生就可以以一種思維方式去加工前后兩個(gè)不同但又有聯(lián)系的知識(shí).

3. 集約型課堂更有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建過程

數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要目的，就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這就要求學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建過程要有清晰的認(rèn)識(shí)，而這恰恰是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn). 好多學(xué)生已經(jīng)形成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是解數(shù)學(xué)題的認(rèn)識(shí)，這顯然是不對(duì)的，而要矯正這一認(rèn)識(shí)，集約型課堂可以利用其對(duì)學(xué)生思維的重視來進(jìn)行. 當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到因式分解的方法之一，就是建立在整式的乘法基礎(chǔ)上進(jìn)行的逆運(yùn)算時(shí)，這種認(rèn)識(shí)就超越了純粹的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是為了解題的認(rèn)知.

構(gòu)建集約型數(shù)學(xué)課堂的策略

構(gòu)建集約型數(shù)學(xué)課堂，是一個(gè)系統(tǒng)工作，除了教師基本的教學(xué)設(shè)計(jì)以及課堂上相應(yīng)的實(shí)踐之外，貫穿其中的另一條主線，應(yīng)當(dāng)是教學(xué)策略的運(yùn)用. 筆者在實(shí)踐中進(jìn)行了分析與總結(jié)，形成了以下三個(gè)策略，感覺是行之有效的. 這三個(gè)策略中，既有對(duì)集約型課堂的認(rèn)知，也有涉及具體操作方面的內(nèi)容，雖然不足以概括集約型數(shù)學(xué)課堂的全部要素，但總體能夠?qū)?gòu)建集約型課堂起到支撐作用. 闡述如下.

策略一：將數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系顯性化，為學(xué)生理解、建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系提供基礎(chǔ).

由于農(nóng)村學(xué)生的思維方式相對(duì)沒有那么深刻，不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系不太容易被發(fā)現(xiàn)，因此這個(gè)時(shí)候就需要教師有意識(shí)地將不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系顯性化，這樣他們可以在思考的過程中少走彎路，思維能力也就更加容易得到培養(yǎng).

例如在整式的乘法、乘法公式學(xué)完之后學(xué)因式分解，教師可以跟學(xué)生明確因式分解就是將一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式相乘的過程. 而對(duì)照整式的相乘可以發(fā)現(xiàn)，后者是將幾個(gè)整式的乘積化為一個(gè)多項(xiàng)式的形式，這樣兩者之間就存在著明顯的互逆關(guān)系. 更重要的是，教師要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，這個(gè)互逆，不僅是數(shù)學(xué)運(yùn)算過程的互逆，也是數(shù)學(xué)思維的互逆，而一旦用同樣的思維方式將兩個(gè)不同的知識(shí)聯(lián)系在一起，那學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候就少了許多困難. 著名教育家奧蘇伯爾就特別強(qiáng)調(diào)“學(xué)生已經(jīng)知道了什么”對(duì)新知識(shí)學(xué)習(xí)的作用，本著集約化的教學(xué)思想，讓學(xué)生“已經(jīng)知道的知識(shí)”為學(xué)生學(xué)習(xí)“尚不知道的知識(shí)”發(fā)揮促進(jìn)作用，就是思維集約的體現(xiàn).

策略二：瞄準(zhǔn)學(xué)生的思維，尋找不同知識(shí)構(gòu)建時(shí)的共同點(diǎn)，為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)提供動(dòng)力.

對(duì)不同的學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行分析以發(fā)現(xiàn)兩者的共同點(diǎn)，這原本就不是農(nóng)村學(xué)生的強(qiáng)項(xiàng)，但如上所說，讓學(xué)生在教師對(duì)不同數(shù)學(xué)知識(shí)的共同點(diǎn)進(jìn)行“明示”的情況下去自主探究，則可以收到較好的教學(xué)效果. 這里，學(xué)生主要需要運(yùn)用的，就是自身的思維. 分析一般的教學(xué)順序可以發(fā)現(xiàn)，在因式分解的教學(xué)中，首先學(xué)習(xí)的往往是“提公因式法”，這是有其原因的，因?yàn)樘峁蚴阶詈?jiǎn)單，是將一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式相乘的形式，學(xué)生只要通過分析與綜合，通?？梢园l(fā)現(xiàn)pa+pb+pc中共同存在的因式p，因而可以將其提取出來，就得到p與a+b+c相乘的形式. 這種由學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主發(fā)現(xiàn)并能夠體會(huì)到成功樂趣的學(xué)習(xí)過程，可以讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的自我構(gòu)建，其效果要比教師的講授好很多. 尤其是對(duì)于農(nóng)村初中的學(xué)生而言，這樣的成就感更容易成為他們下一步學(xué)習(xí)的動(dòng)力.

策略三：強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用，讓學(xué)生在應(yīng)用中增強(qiáng)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.

數(shù)學(xué)應(yīng)用歷來受到教師的重視，課程改革之后，數(shù)學(xué)應(yīng)用的范圍得到了很大的拓展，數(shù)學(xué)聯(lián)系生活、社會(huì)的情形越來越多，這就意味著在建構(gòu)集約課堂的時(shí)候，一些生活或社會(huì)元素可以進(jìn)入課堂. 比如說因式分解雖然是一個(gè)純邏輯推理的過程，但仍然可以為其尋找到一些生活素材，比如有這樣的一個(gè)問題：

如圖1，在半徑為R的圓形鋼板上，裁去半徑為r的四個(gè)小圓，計(jì)算當(dāng)R=7.8 cm，r=1.1 cm時(shí)剩余部分的面積（π取3.14）.

這樣的題材取材于生活，但同時(shí)又考查了學(xué)生的因式分解能力，因此可以說是寓數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活問題的解決當(dāng)中，于是學(xué)生就將生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)知識(shí)、邏輯推理等綜合運(yùn)用到了此問題解決的過程中，這就是集約性的表現(xiàn)，這樣的課堂就是集約型課堂.

構(gòu)建集約型數(shù)學(xué)課堂的反思

對(duì)于農(nóng)村初中的數(shù)學(xué)教學(xué)而言，集約型課堂的構(gòu)建有不少挑戰(zhàn)，其中既有教師教學(xué)理念上的，也有影響教學(xué)的客觀因素上的. 但總體而言，針對(duì)農(nóng)村初中學(xué)生的特點(diǎn)，讓學(xué)生在集約型課堂上有效建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)、生成數(shù)學(xué)問題解決的能力，進(jìn)而形成較好的學(xué)科核心素養(yǎng)，仍然應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)教師的追求.

從這一認(rèn)識(shí)出發(fā)，筆者以為對(duì)于數(shù)學(xué)教師自身而言，最重要的應(yīng)當(dāng)是做到兩點(diǎn)：一是研究學(xué)生，主要是指研究學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維特點(diǎn)，然后去思考數(shù)學(xué)課堂如何集約化. 二是研究數(shù)學(xué)，主要是研究數(shù)學(xué)知識(shí)之間應(yīng)當(dāng)如何集約. 需要指出的是，有時(shí)候教材上的設(shè)計(jì)沒有明顯的集約特征，這個(gè)時(shí)候就需要教師拓展對(duì)教材的認(rèn)識(shí)，既要從自身教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，也要借鑒他人的設(shè)計(jì)成果，尤其是要通過對(duì)數(shù)學(xué)史的研究，以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)集約的更佳途徑.

實(shí)踐表明，只要做到如上兩點(diǎn)，那集約型數(shù)學(xué)課堂的構(gòu)建是可以打開局面的，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力也是可以得到培養(yǎng)的. 這對(duì)于數(shù)學(xué)教師自身的成長(zhǎng)及學(xué)生的成長(zhǎng)來說，都是益事！