王翠香

[摘要]線性代數(shù)是理工科院校一門重要的公共基礎課，其知識體系采用的是公理化結構，概念抽象、題目靈活多變。作者從本課程的特點出發(fā)，結合教學實踐總結了在教學過程中一些常見的問題以及解決方法。

[關鍵詞]線性代數(shù);教學;矩陣

[中圖分類號]G642[文獻標識碼]A[文章編號]2095-3437（2019）11-0091-03

線性代數(shù)是大學數(shù)學中一門重要的公共基礎課，由于該課程的課時少，教材內容比較抽象且應用實例偏少，造成學生常常感到學習線性代數(shù)掌握得不牢固，在后續(xù)的專業(yè)課學習中不能學以致用。對于這個普遍存在的問題，解決的關鍵是要讓學生能由淺人深、扎扎實實地掌握線性代數(shù)的基本理論和基本方法。近十年來筆者連續(xù)承擔我校本科生線性代數(shù)的教學工作，深感這門課在培養(yǎng)學生基本能力方面大有可為，尤其在學生的自學能力，分析、綜合、概括能力的培養(yǎng)與訓練方面有許多工作可以做。

線性代數(shù)除具有高等數(shù)學的共性之外，其“個性”非常鮮明，數(shù)學中有幾對矛盾在這門學科中表現(xiàn)得尤為突出：

1.具體與抽象。線性代數(shù)運用所謂公理化的方法研究，即把數(shù)學對象歸類，從不同質的具體事物或過程中抽取共同的量的關系，作為最基本的公理、性質，再采用統(tǒng)一的觀點與方法，進行演繹和推理等等，揭示和研究其性質。例如向量空間這個概念，就是從大量實例中抽象出來的。可以說抽象程度越高，則概括程度越強，適用范圍就越廣，但也就越不易理解和掌握，必須從具體實例中去把握它，并且飛躍到理性認識水平。

2.特殊與一般。我們認識事物總是由認識個別和特殊的事物，逐步擴大到認識一般的事物，線性代數(shù)也不例外。對于解析幾何中二次曲線、二次曲面的標準形的研究問題，抽象到n維空間就是線性代數(shù)的二次型理論，二、三階行列式是n階行列式的特殊情況。

3.計算與論證。線性代數(shù)的計算主要集中在行列式求值、矩陣的初等變換，法則雖然只有幾條，其方法好壞卻具有很強的技巧性;而線性代數(shù)的論證要用的比較抽象的概念，如線性相關、線性無關，盡管定義并不復雜，但初學者仍覺難于掌握和運用。

由于線性代數(shù)所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，以及從具體概念抽象出來的公理化體系，所以該課程的定義、定理特別多，邏輯推理證明貫徹始終，而且靈活多變，學生學習起來有一定難度。在學習過程中學生對基本原理、基本方法的掌握常出現(xiàn)在以下幾個方面的問題：

首先，對課程的基本概念掌握不確切，理解不深入。與高等數(shù)學側重于計算不同，公理化的體系結構使線性代數(shù)的定義比較多，學生如果不及時梳理、記憶，會導致概念混淆、結論不清，這是在教學過程中經常出現(xiàn)的情況;另外有些情況下即使記住了結論，但不能深刻理解其意義，仍然會出現(xiàn)不少錯誤概念。例如矩陣A是非零的，即A≠0，與方陣的行列式lAI≠O分不清，矩陣的初等變換與行列式的某些性質分不清等。

其次，學生容易受已有知識負遷移的影響，出現(xiàn)不少想當然的結論。例如實數(shù)的運算滿足交換律：對于實數(shù)a、b，有ab= ba成立;滿足消去律，即若數(shù)a≠0，且a6=ac，則有b=c。而在矩陣運算中，一般情況下矩陣的交換律和消去律不成立。又如，若A、B為可逆方陣，誤認為（A+B）-1=A-1+ B-1，lA+ BI=IAI+IBI成立。

最后，邏輯思維混亂，正命題、逆命題、否命題、逆否命題分不清。如相似方陣有相同的特征值作為定理已證明過是正確的，但逆命題一般不成立，有些學生搞不清，常誤認為。

針對以上情況，為了幫助學生較好地掌握線性代數(shù)課程的基本內容，就要啟發(fā)學生積極思考，想辦法調動起學生學習的積極性、主動性，先啟發(fā)他們會發(fā)現(xiàn)問題，再引導他們學會分析問題、解決問題。為此教師必須課上課下精心安排，充分利用每一個教學環(huán)節(jié)。

成功的線性代數(shù)教學，不單純是貫徹教學大綱中規(guī)定的教學要求，更重要的是通過基本知識、理論、方法的傳授，提高學生的基本能力，如學會讀書、學會思考，學會分析問題、解決問題?？傊柧殹⑻岣邔W生的邏輯思維、邏輯推理能力。在教學實踐中，我們注意做了以下方面的工作。

一、在課堂中貫徹啟發(fā)式教學

講數(shù)學課不易做到語言生動、引人人勝，但可以以思路清晰、語言簡練、不斷提出問題，用不斷解決問題而吸引學生注意力，調動學生積極思考。重要的概念一定要講準確、講透徹。如講“矩陣的秩”這個概念時，先給出“不為零的子式的最高階數(shù)”的定義，而后又提出：“矩陣A中至少有一個r階子式不為零，而所有的r+l階子式全為零，稱矩陣A的秩為r”這個定義，兩者是否一致？為什么？教師主動提出問題讓學生考慮，促使學生加深理解概念，后面又陸續(xù)介紹矩陣的行秩、列秩，這幾種定義刻畫的是同一概念，目的是為后面論證與矩陣秩有關的命題時運用。向量組的極大無關組、實對稱陣的分類定義也有類似情況。

對于容易混淆誤解的概念，可以及時提示或者布置一些思考題，讓學生思考、辨析。如布置思考題：“兩個矩陣等價”與“兩個向量組等價”是否是一回事？有何區(qū)別？有何聯(lián)系？讓學生課下思考討論，并利用答疑時間，指定犯有此錯誤的同學前來質疑，幫助學生搞清概念。

線性相關與線性無關是線性代數(shù)中最重要、也是最抽象的概念之一。在講解這兩個概念時，可以借助于兩個向量共線與不共線、三個向量共面與不共面的幾何意義來引入，便于學生理解概念的本質意義。在講解“線性組合”、“線性相關”的定義時，對存在的“任意常數(shù)”有不同要求，及時提醒學生注意，并在后面的授課中，不斷地提醒學生。

求矩陣的特征值與特征向量是線性代數(shù)一類常見的題目類型，因為該過程有固定的程序步驟，單從計算的角度來看難度不大，大多數(shù)學生易于掌握。在教學過程中教師要提示學生不要僅限于求出結果，還要分析結果中蘊含的相對應的線性變換的幾何意義，通過這樣的學習可以使學生對概念的理解提高一個層次，掌握特征值與特征向量的精髓所在。

二、善于提出問題，及時歸納總結

線性代數(shù)的授課時數(shù)有限，不可能什么問題都指望在課堂上搞得一清二楚。為了擴大課堂教學的效果，適時的布置一些課后思考題也是很有必要的。除了教材中已有的一些思考題外，還可以收集編寫部分思考題結合教學使用。如在講解向量組的線性相關性內容時，有一系列的定義及定理要在6學時內全部介紹完，有不少學生感到應接不暇。出現(xiàn)這種情況就要采取一些措施：一是要向學生說明這部分內容是難點，讓學生精力集中聽講;二是強調每次課后都要及時認真復習，并從第二次課開始布置思考題：到目前為止判斷向量組的線性相關性有哪些方法？隨著內容的講解辦法逐漸增多，如果學時允許教師可以給出一個示范小結，幫助學生將所學知識條理化便于記憶、應用，另一方面起示范作用。并鼓勵學生自己小結成文，教師可幫助其修改完善。

線性代數(shù)的第一章是行列式，關于行列式的性質一般教科書都會列出十幾個，這些性質中最基本的性質其實只有4個，即（1）行列式與它的轉置行列式相等;（2）互換行列式的兩行（列），行列式變號;（3）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式;（4）若行列式的某一行（列）的元素都是兩個數(shù)之和，則行列式可拆成兩個行列式之和。

還有一條是行列式計算中經常用到的性質，即（5）把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對應的元素上去，行列式的值不變。

所以關于行列式的性質只要掌握以上5條性質并結合起來運用即可。

在線性代數(shù)講到后面幾章時，新概念、新理論增多，這時要引導學生注意新舊知識的聯(lián)系，對比、歸納、小結，以“舊”促“新”，加深對新知識的理解與對舊知識的記憶。如在講完“方陣的行列式與其特征值的關系”的定理后，可以布置思考題：“方陣可逆的充要條件有哪些？”，引導學生總結出以下8個矩陣可逆的等價命題：

（1）矩陣A可逆;

（2）lAl≠0;

（3）A是滿秩矩陣;

（4）A是非奇異矩陣;

（5）A是非退化矩陣;

（6）A=P1P2，…PL其中Pi（1≤i≤L）為初等矩陣;

（7）A—E，其中E為單位矩陣;

（8）A的特征值均不為零。

以上幾個命題從不同的角度刻畫了矩陣的可逆性，可以幫助學生系統(tǒng)地掌握所學知識。

又如在講完相似方陣有相同的特征值時強調，逆命題不一定成立，同時提出第一個問題“若同階方陣A、B不但有相同的特征值，而且特征值全是單根時，問A與B是否相似？”，以及第二個問題“A與B皆為n階實對稱陣，它們又有相同的特征值，問A與B是否相似？”

在講完線性變換概念后，可提出思考題：前面幾章介紹的初等變換，相似變換，合同變換是否是線性變換？等等。

三、精選習題，合理安排習題課

為了使學生鞏固所學的知識，包括基本概念、基本計算、基本證法，提高學生的解題能力，除教材中配置的習題外，還需要適當增加一些配套的習題。習題的選擇要略高于教材題目的典型例子，分析解題的思路方法，啟發(fā)學生針對題目類型，在學會常用解法的基礎上做到舉一反三。

如在學完方陣的特征值、特征向量之后，布置習題：求方陣A=的特征值和特征向量，使學生又有機會重溫了n階行列式的計算。在學完矩陣相似概念后，布置以下習題：求一切只與自己相似的方陣。通過做這個題，可以使同學又復習了一種基本證法：在已知條件中出現(xiàn)“一切……如何，如何”，這“一切”就取“特殊”的這樣一種基本技巧。

又如在學完相似概念后，可布置習題：（1）證明正定矩陣為正交陣的充要條件是它必是單位陣;（2）如果A、B是同階正定陣，證明乘積AB仍是正定陣的充要條件是AB= BA。其中第（1）題是基本證明題，不用特殊的技巧，但它用到了線性代數(shù)的第三、四、五章有關概念及重要結論;第（2）題屬于靈活運用正定陣的性質的習題，有一定難度，可作為選作題或習題課的例題。此題除介紹證法外，可與兩個實對稱陣相乘仍為實對稱陣的充要條件也是乘積可交換這一命題前后呼應。

習題課的內容一般根據(jù)學生對某一段內容掌握情況而靈活安排，可以講評作業(yè)中出現(xiàn)的問題，尤其是出示本班學生作業(yè)中的典型錯誤來教育學生自己的方法效果更好;或者通過舉例，及時總結解題的思路，幫助學生掌握某一類證明題的基本方法;再者可以安排做一些綜合練習。為了訓練學生的發(fā)散思維，課上選出一題，讓學生提出各種解法，或用盡可能多的方法解某題，期中測驗的試卷分析，也是一種生動的正反面教材。

還需要注意的是，批改作業(yè)要認真仔細，發(fā)現(xiàn)學生出現(xiàn)錯誤的地方都要明確標出，必要時加一些批注，指出其解題中產生錯誤的原因，或提出有關問題讓學生思考。有時雖然做法沒錯，但方法不好也要給予指出。

四、加強線性代數(shù)應用舉例

在理論上線性代數(shù)具有較高的概括性與抽象性，它的內容、觀點和方法應用也非常廣泛。

以矩陣為例，它不僅是高等數(shù)學各分支不可缺少的工具，矩陣方法在實際問題中也是非常有力的武器。從線性變換的角度，微分算子、積分算子都是一種線性變換，利用線性變換的有關運算，常微分方程組就變?yōu)榱司仃嚪匠?有些偏微分方程組可用差分法變成線性方程組用矩陣求解;在電路設計與分析中和研究力學體系微小振動時，矩陣都是不可或缺的工具;在規(guī)劃論、對策論、排隊論、和數(shù)理統(tǒng)計等運籌學科和隨機類學科中，矩陣的應用更為普遍;在其他邊緣學科，如控制理論、信息論以及經濟社會學科中，矩陣也不乏其應用。

二次型理論源于解析幾何中二次曲線、二次曲面化標準形的問題，也有很廣泛的應用。例如正定二次型用于定義多元統(tǒng)計分析中的多元正態(tài)分布，正定二次型的定理可給出熱力學中系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定條件，半正定二次型與概率論的協(xié)方差矩陣對應等等。

在線性代數(shù)的教學中引入其在不同領域應用的實例教學，不僅會調動學生的學習積極性，同時教會學生懂得應用、善于應用，與學好線性代數(shù)理論是相互促進的。

五、結束語

在理工科大學數(shù)學的公共基礎課中，線性代數(shù)的內容抽象、課時最少，要在有限的學時內，讓學生充分掌握課程的內容，尤其是現(xiàn)代數(shù)學中矩陣這個重要工具，需要教師從本課程的特點出發(fā)，在教學中不限于傳授知識，更重要的是培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，為學生繼續(xù)學習后繼課程打下堅實的基礎。

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[責任編輯：林志恒]