姚建法 陳建偉

邏輯推理是把一個或幾個具有邏輯結(jié)構(gòu)的已知判斷素材作為推理對象，運(yùn)用與思維形式有關(guān)的邏輯方法，遵守嚴(yán)格的推理規(guī)則，理智地作出恰當(dāng)?shù)呐袛嗷蜻M(jìn)行合乎邏輯的推定，從而得到一個未知結(jié)論。它主要包括演繹推理（從一般到特殊）、歸納推理（從特殊到一般）和類比推理（從特殊到特殊，或從一般到一般），三者辯證統(tǒng)一。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有著豐富的邏輯推理素材。然而由于本體性知識的缺失，教師對數(shù)學(xué)邏輯推理的內(nèi)涵把握不清，教學(xué)拿捏不準(zhǔn)，出現(xiàn)學(xué)生立場“不學(xué)生”、規(guī)范表達(dá)“不規(guī)范”、過程實(shí)施“不過程”等推理假象或問題現(xiàn)象。教師須從理性層面展開監(jiān)控，嘗試剖析，形成對策，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力。

一、學(xué)生立場“不學(xué)生”現(xiàn)象——數(shù)學(xué)邏輯推理需要思維更清晰

邏輯推理能力是思維的能力，是推理主體敏銳地對推理對象展開邏輯思維分析，迅速把握問題核心，用邏輯的語言作出合理正確推斷的技能與水平。一定程度上，小學(xué)數(shù)學(xué)邏輯推理由推理對象、推理邏輯和推理結(jié)論組成。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教學(xué)中要把學(xué)生放在“正中央”。學(xué)生對推理對象首先要有清晰的認(rèn)知與理解，因?yàn)椤敖虒W(xué)是在經(jīng)驗(yàn)中，由于經(jīng)驗(yàn)和為著經(jīng)驗(yàn)的一種發(fā)展過程，顯然對‘兒童已有經(jīng)驗(yàn)的不定讀解存在影響兒童經(jīng)驗(yàn)成長的可能”[1]。

【案例1】一年級上冊第五單元“認(rèn)數(shù)（一）——‘=‘>‘<”。

師（出示四個蘋果實(shí)物）：小朋友們，數(shù)一數(shù)，這里有幾個蘋果？

生：4個。（師板貼4個蘋果圖，并寫“4”。）

師：（出示四個桔子實(shí)物）：再數(shù)一數(shù)，這里有幾個桔子？

生：4個。（師板貼4個桔子圖，并寫“4”。）

師：蘋果有4個，桔子有4個，那么這兩個4一樣大嗎？（師在兩個4之間畫一個“○”）

生：不一樣大，蘋果大。

……

作為數(shù)關(guān)系教學(xué)的“種子課”，教師用水果代替教材例題中的動物，更生活化地抽象出“兩個4”，試圖引導(dǎo)學(xué)生得出“兩個‘4一樣大”，即“4=4”，并將水果獎勵給學(xué)生，結(jié)果事與愿違。事實(shí)上，對于直接感知的推理對象，小學(xué)低年級學(xué)生更多停留在簡單的演繹思維，其理解的“大”是生活的、是形體空間的“大”，而教師的“大”是數(shù)學(xué)的，是作為“高度抽象的數(shù)”的大小關(guān)系，這就形成學(xué)生立場的游離，造成認(rèn)知困難、理解誤區(qū)與思維錯位。

史寧中教授指出：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)是在認(rèn)識數(shù)的同時(shí)，認(rèn)識數(shù)量及數(shù)量之間的關(guān)系，進(jìn)一步抽象為數(shù)及數(shù)之間的關(guān)系。數(shù)量之間最基本的關(guān)系是多與少，與此對應(yīng)，數(shù)之間最基本的關(guān)系是大與小?！彼?，基于學(xué)生立場，一方面要創(chuàng)設(shè)學(xué)生從生活事件分離出數(shù)學(xué)現(xiàn)象，并抽象成數(shù)學(xué)符號的境場，另一方面教師語言也需“數(shù)學(xué)專業(yè)化”。比如該例題教學(xué)可分為三個層次清晰的數(shù)學(xué)邏輯推理過程：第一層，情境圖中數(shù)出4只兔子與4只猴子，初步感知數(shù)量同樣多;第二層，一一對應(yīng)板貼動物頭像，體悟“同樣多”便“相等”;第三層，問“多”不問“大”，先抽象出數(shù)量之間的多少關(guān)系，再用數(shù)學(xué)符號抽象出數(shù)之間的大小關(guān)系“4=4”。整個過程應(yīng)用推理“三段論”模型可以進(jìn)行如下轉(zhuǎn)譯：“因?yàn)閿?shù)量同樣多即大小相等（大前提），兔子和猴子的數(shù)量都是4只（小前提），所以4=4（結(jié)論）”。過程清晰了，數(shù)學(xué)推理的邏輯思維也就清晰了。

二、規(guī)范表達(dá)“不規(guī)范”現(xiàn)象——數(shù)學(xué)邏輯推理需要思維更全面

小學(xué)數(shù)學(xué)邏輯推理是基于一個或幾個已知的具備邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)前提，通過科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯思維形式，得到未知的數(shù)學(xué)結(jié)論，它是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象“數(shù)學(xué)化”的思維過程與行為方式，在不同的年齡階段表現(xiàn)出不同的發(fā)展層次。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不僅要清晰地用數(shù)學(xué)思維去觀察、解讀現(xiàn)實(shí)世界和數(shù)學(xué)現(xiàn)象，還須用嚴(yán)謹(jǐn)而全面的數(shù)學(xué)語言規(guī)范表達(dá)邏輯推理的思維展開過程。

【案例2】一年級上冊第八單元“加法和減法——認(rèn)識減法”“想想做做”。

師：請大家獨(dú)立觀察，完成第1、2題，并想一想有什么發(fā)現(xiàn)？

第一層：交流算式與結(jié)果。

第二層：交流發(fā)現(xiàn)。

生：走掉的越多，剩下的越少。

生：劃掉的圈越多，剩下的圈越少。

師：是的，大家觀察得真仔細(xì)！

在這個案例中，“走掉的”“劃掉的”都是通過動作表征或圖像表征得到的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，進(jìn)一步抽象才是“減掉的數(shù)”（后續(xù)學(xué)習(xí)稱為“減數(shù)”）。學(xué)生的歸納表達(dá)是基于自身學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)或生活經(jīng)歷的感性認(rèn)知，所表征的方式與結(jié)論是原生態(tài)下的樸素語言，教師要及時(shí)提煉成數(shù)學(xué)語言。值得注意的是，“原來的數(shù)（即“被減數(shù)”）相同”常被學(xué)生甚至教師忽略，數(shù)學(xué)邏輯推理因?yàn)槿笔А跋嗤边@個基本要素而邏輯不嚴(yán)謹(jǐn)、表達(dá)不規(guī)范。這一點(diǎn)，在三、四年級學(xué)習(xí)了乘除法之后表現(xiàn)得尤為明顯。

表達(dá)需要有始有終、有根有據(jù)、有條有理，教師要有意引導(dǎo)學(xué)生從“不變與變”的視角進(jìn)行有序觀察，并歸納表達(dá)，并要求學(xué)生再舉一些算例，甚至還可以追問有沒有反例，理性地得出“因?yàn)樵瓉淼臄?shù)不變，所以減掉的數(shù)越多，剩下的數(shù)越少”。“不變+變+結(jié)論”的邏輯推理范句，既為今后運(yùn)算規(guī)律的規(guī)范表達(dá)提供模型，又滲透了不完全歸納推理的邏輯思維，彰顯數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，以及數(shù)學(xué)思維的全面性。

值得注意的是，在規(guī)范表達(dá)的過程中涉及的一些數(shù)學(xué)用語，需要關(guān)注不同年齡階段學(xué)生的心理水平和學(xué)習(xí)經(jīng)歷，體現(xiàn)階段性，逐步發(fā)展、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。比如上面案例在后續(xù)學(xué)習(xí)中將進(jìn)一步抽象為“被減數(shù)相同，減數(shù)越大（小）差越?。ù螅！?/p>

三、過程實(shí)證“不過程”現(xiàn)象——數(shù)學(xué)邏輯推理需要思維更合理

數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)，數(shù)學(xué)結(jié)論的得出，僅憑感覺是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，過程實(shí)證的缺失現(xiàn)象較為普遍?；跀?shù)學(xué)思維活動，數(shù)學(xué)思維方法可以分為理論科學(xué)（演繹證明、系統(tǒng)化等）和經(jīng)驗(yàn)科學(xué)（觀察、歸納、類比、猜想等）兩類[2]?？梢?，“由A（模型）則B（原型）”的類比和不完全歸納，都是基于經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)思維方法，得到的結(jié)論是否正確還須進(jìn)行實(shí)證研究，用“數(shù)學(xué)事實(shí)”說話，要么證實(shí)，要么證偽。

【案例3】五年級上冊第五單元“小數(shù)乘法和除法——小數(shù)混合運(yùn)算”。

師（出示例題）：你會算嗎？獨(dú)立試一試，完成后小組交流。

集體分享：你是怎么想的？有什么發(fā)現(xiàn)？

小結(jié)1：運(yùn)算順序與整數(shù)相同。

小結(jié)2：小數(shù)也有乘法分配律，也有運(yùn)算律。

師：是不是所有運(yùn)算律都適用小數(shù)呢？（出示例題中的三個算式）

學(xué)生計(jì)算、觀察每組兩式的關(guān)系。

交流小結(jié)后繼續(xù)自由舉例，驗(yàn)證各種運(yùn)算律。

交流并追問：有沒有反例？

得出結(jié)論：整數(shù)加法、乘法的運(yùn)算律，對小數(shù)加法、乘法同樣適用。

學(xué)生回顧推理過程，交流體會。

本案例中，學(xué)生由整數(shù)混合運(yùn)算順序和運(yùn)算律作為模型，類比得到小數(shù)混合運(yùn)算順序和運(yùn)算律的原型，直覺上順理成章，許多師生便會因此“省略”論證過程，直奔結(jié)論。事實(shí)上，一方面“類比推理的規(guī)則在所有的邏輯推理中是最不嚴(yán)格、最不確定的?！惐仍跀?shù)學(xué)思維中的主要作用表現(xiàn)為發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、建立模擬”[2]，其結(jié)論有時(shí)正確，有時(shí)不正確;另一方面，不完全歸納作為數(shù)學(xué)實(shí)證方法，例子的不可窮舉性勢必導(dǎo)致推理結(jié)論的或然性。教師有意識地組織學(xué)生充分經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題（類比）→提出猜想→“實(shí)證研究”（不完全歸納）→得出結(jié)論”的數(shù)學(xué)推理全過程，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維不但合情，還更深刻、更合理，彰顯了數(shù)學(xué)理性。

數(shù)學(xué)邏輯推理的培養(yǎng)需要教師站在兒童立場，對理論進(jìn)行實(shí)踐性解讀，并在實(shí)踐中開展理論性反思，師生多元互動，有計(jì)劃、系統(tǒng)地經(jīng)歷邏輯推理的數(shù)學(xué)化過程，積累數(shù)學(xué)邏輯推理的思維經(jīng)驗(yàn)，提升思維品質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

[1] 瞿衛(wèi)華.“前經(jīng)驗(yàn)課程”：兒童已有經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)價(jià)值建構(gòu)[J].江蘇教育研究，2015（Z5）.

[2] 張乃達(dá).數(shù)學(xué)思維教育學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，1990.

[責(zé)任編輯：陳國慶]