對(duì)高中數(shù)學(xué)函數(shù)奇偶性的多重分析

盧沛奇

重慶市求精中學(xué)校 重慶 400000

高中數(shù)學(xué)課程中函數(shù)的奇偶性是非常重要的章節(jié)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)于函數(shù)的奇偶性掌握的要求也越來越高，在高考有關(guān)求參數(shù)極值，函數(shù)單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等問題中，函數(shù)的奇偶性能對(duì)問題的解法提供一個(gè)不錯(cuò)的思路與優(yōu)化。因此，更深入地研究函數(shù)奇偶性，能讓我們更好地掌握函數(shù)的特征，從而能更好地理解與應(yīng)用[1]。

1 函數(shù)奇偶性的概念

1.1 函數(shù)奇偶性的定義

奇偶函數(shù)的定義：一般地，設(shè)一個(gè)函數(shù)y=f（x）的定義域是為B，如果對(duì)于任取的x∈B，都有f（-x）=f（x）則函數(shù)y=（x）是偶函數(shù)；若對(duì)于任取的x∈B，都有f（x）=-f（x），則函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)。

1.2 奇偶性的函數(shù)特征

對(duì)于奇函數(shù)而言，根據(jù)定義可知若定義域內(nèi)存在一點(diǎn)（x0,y0），則很方便得到與其對(duì)應(yīng)的-x0點(diǎn)坐標(biāo)為（-x0,-y0）；同理對(duì)于偶函數(shù)而言，若定義域內(nèi)存在一點(diǎn)（x0,y0），則其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

（-x0,y0）。另一方面奇偶性在函數(shù)的圖像上也有著非常鮮明的特征：偶函數(shù)在圖像上關(guān)于y軸對(duì)稱，而奇函數(shù)圖像則關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱。

2 函數(shù)奇偶性的重要性

高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的奇偶性性質(zhì)是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它在我們學(xué)習(xí)的代數(shù)、三角以及高等數(shù)學(xué)中都有著非常廣泛的應(yīng)用，近幾年的中學(xué)各類考試中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)關(guān)于函數(shù)奇偶性的一些題型，一般出現(xiàn)在填空、選擇、判斷、證明、求值等題型中。在函數(shù)學(xué)習(xí)過程中利用奇偶性，一方面可以更為準(zhǔn)確的做出函數(shù)圖像，從而更好的了解函數(shù)特征，另一方面，函數(shù)的奇偶性還有助于判斷函數(shù)的單調(diào)性，在求取復(fù)雜參數(shù)的參數(shù)取值或者范圍等問題中都能起到一定的作用，簡化計(jì)算過程等[2]。

3 函數(shù)奇偶性需要注意的問題

3.1 函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是判斷函數(shù)奇偶性的必要條件

因此在判斷函數(shù)奇偶性的問題中，應(yīng)當(dāng)首先觀察函數(shù)的定義域，在解決一些復(fù)雜函數(shù)的問題中，可以幫助我們節(jié)省不少的時(shí)間。然而，不少高中生經(jīng)常在判斷函數(shù)奇偶性的問題中，過分注重于函數(shù)表達(dá)式，急于利用f（-x）與f（x）的關(guān)系來解決問題，常常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，例如對(duì)于y=x2（x＜0）很多同學(xué)一定會(huì)不假思索的說這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，但實(shí)際上，僅僅從定義域上就可以很容易判斷出這是一個(gè)非奇非偶函數(shù)。

3.2 眾所周知，偶函數(shù)的圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱的，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的

如果是把這兩句話倒過來，得出：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)圖像一定對(duì)應(yīng)一個(gè)奇函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)圖像一點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)偶函數(shù)。則這種說法是錯(cuò)誤的，例如，我們以原點(diǎn)為中心的橢圓它的圖像既關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于y軸對(duì)稱，但是就不是一個(gè)函數(shù)，更不要談他的奇偶性了。

3.3 利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系，對(duì)于解決函數(shù)問題有很大的幫助

奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的整個(gè)區(qū)間上，單調(diào)性是一致的，而偶函數(shù)則是相反的。例題：若給出一個(gè)函數(shù)f（x）的定義域在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間（-∞,0]上是減函數(shù)，且f（2）=0，求使得f（x）＜0的x的取值范圍。分析：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是偶函數(shù)，且f（2）=0，所以f（-2）=f（2）=0，又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（-∞,0]上是減函數(shù)，所以函數(shù)在[-2,0]內(nèi)的函數(shù)值是小于0的。利用偶函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)區(qū)間[0,+∞]上是增函數(shù)，因此函數(shù)在[0,2]內(nèi)的函數(shù)值是大于0的，最后得出使得f（x）＜0的x的取值范圍為-2＜x＜2。

3.4 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)的函數(shù)是存在的且有無數(shù)個(gè)

如果存在一個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的，則它的函數(shù)關(guān)系式是要滿足f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）的，然后我們可以得出f（x）=-f（x），解得f（x）=0。因此只要函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f（x）=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，例如x∈R、x∈[-5,5]等等。

3.5 復(fù)合函數(shù)的奇偶性

我們假設(shè)y=f是g=Q（x）和y=f（g）復(fù)合函數(shù)，假定其定義域是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間。則得出：（1）若g=Q（x）是偶函數(shù)的，又y=（g）是偶函數(shù)的，結(jié)果y=f（g）是偶函數(shù)；（2）若g=Q（x）是奇函數(shù)的，又y=f（g）是奇函數(shù)的，結(jié)果y=f是奇函數(shù)；（3）倘使g=Q（x）是奇函數(shù)的，又y=f（g）是偶函數(shù)的,則y=f（g）是偶函數(shù)，總結(jié)起來可以得到復(fù)合函數(shù)中存在偶函數(shù)，則函數(shù)為偶函數(shù)，否則為奇函數(shù)。利用這個(gè)性質(zhì)對(duì)幫助學(xué)生快速解決有關(guān)復(fù)合函數(shù)奇偶性的問題，可以起到事半功倍的效果[3]。

4 結(jié)語

從高中數(shù)學(xué)的函數(shù)知識(shí)構(gòu)架來談，我們都知道，函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)定義的延展，也是后面研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等很多內(nèi)容的基礎(chǔ)。對(duì)于研究函數(shù)的奇偶性的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“從特殊到一般”、“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和教學(xué)素養(yǎng)都具有非常重要的意義。通過對(duì)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，能夠進(jìn)一步明確函數(shù)的奇偶性在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。奇偶性的研究和掌握為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。