多重共線性問題的嶺回歸實(shí)例

王飛　孫嘉聰　沈丹

【摘要】在多元線性回歸模型中，變量之間多重共線性的存在十分普遍，但其危害卻不容忽視，文章簡(jiǎn)述了回歸模型中多重共線性的一系列問題，并通過實(shí)例采用嶺回歸分析法對(duì)經(jīng)濟(jì)問題中的多重共線性問題進(jìn)行了分析.所以研究線性回歸中變量之間的多重共線性具有一定的實(shí)用價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】回歸模型;多重共線性;嶺回歸分析

一、多重共線性

（一）多重共線性的含義

由于模型設(shè)定和數(shù)據(jù)等各方面的問題，模型的解釋變量之間很可能存在某種程度的線性關(guān)系，這時(shí)稱多元線性回歸模型存在多重共線性問題.

數(shù)學(xué)描述：對(duì)于模型yi=β0+β1x1i+β2x2i+…+βpxpi+εi，i=1，2，…，n.（1-1）

其基本假設(shè)之一是解釋變量X1，X2，…，Xp是相互獨(dú)立的.如果某兩個(gè)或多個(gè)解釋變量之間出現(xiàn)了相關(guān)性，則稱為多重共線性（Multicollinearity）.

如果存在c1x1i+c2x2i+…+cpxpi=0，i=1，2，…，n.（1-2）

其中c不全為0，則稱X1，X2，…，Xp之間存在線性.如果式（1-2）近似地對(duì)所有數(shù)據(jù)成立，則稱X1，X2，…，Xp之間存在近似多重共線性.

（二）多重共線性形成的基本原因

完全多重共線性常因?yàn)樵谀Ｐ驮O(shè)定時(shí)把有嚴(yán)格聯(lián)系的變量引進(jìn)同一個(gè)模型，或者因?yàn)樘摂M變量設(shè)置不當(dāng)引起的.而近似多重共線性既與變量選擇有關(guān)，也與數(shù)據(jù)有關(guān)，雖然由于解釋變量的選擇不當(dāng)，把內(nèi)在相關(guān)性較強(qiáng)的變量引進(jìn)同一個(gè)模型，是導(dǎo)致近似多重共線性的重要原因，但近似多重共線性更經(jīng)常的原因是經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的共同趨勢(shì).

（三）多重共線性的危害

當(dāng)解釋變量系統(tǒng)中存在嚴(yán)重的多重共線性時(shí)，若仍用最小二乘法擬合回歸模型，則模型的精確性、可靠性都不能得到保證.

1.在解釋變量完全相關(guān)的情況下，最小二乘法的回歸系數(shù)完全無法估計(jì).最小二乘法下，回歸系數(shù)的估計(jì)量是β^=（X′X）-1，當(dāng)X中的量完全相關(guān)時(shí)，（X′X）是不可逆矩陣.因此，此公式無法求得回歸系數(shù)β，自然也得不到應(yīng)有的回歸模型.

2.若解釋變量間存在著不完全的共線性，回歸系數(shù)是可估計(jì)的，回歸系數(shù)的估計(jì)方差會(huì)隨著解釋變量之間的相關(guān)性的不斷增強(qiáng)而迅速擴(kuò)大.在高度相關(guān)條件下，回歸系數(shù)的方差很大，往往只更換樣本中的個(gè)別數(shù)據(jù)所得到的回歸系數(shù)的值就會(huì)有很大差異，這對(duì)于所得到的回歸方程的可靠性就很難判斷了.

3.存在嚴(yán)重的多重共線性時(shí)，回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)有一定的困難.在高度相關(guān)條件下，回歸系數(shù)的方差不斷增大，相應(yīng)的t檢驗(yàn)值減小，造成回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)不能通過.在應(yīng)用過程中，由于解釋變量之間的多重共線性，造成一些重要的解釋變量無法通過顯著性檢驗(yàn)，就可能把一些重要的解釋變量作為無足輕重的因素而舍棄，從而得出與客觀情況相悖的結(jié)論.

4.在解釋變量高度相關(guān)的條件下，用最小二乘法得到的回歸模型，其回歸系數(shù)的物理含義很難解釋.許多從專業(yè)知識(shí)上看似乎十分重要的變量，其回歸系數(shù)的取值變得微不足道，甚至還會(huì)出現(xiàn)回歸系數(shù)的符號(hào)與人們的實(shí)際概念完全相反的現(xiàn)象.

二、嶺回歸法

例：法國(guó)經(jīng)濟(jì)分析數(shù)據(jù)，考察進(jìn)口總額Y與三個(gè)解釋變量：國(guó)內(nèi)總產(chǎn)值X1，存儲(chǔ)量X2，總消費(fèi)量X3（單位均為十億法郎），現(xiàn)收集數(shù)據(jù)，具體值見表1.

對(duì)給定的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行中心化和標(biāo)準(zhǔn)化，得到如下數(shù)據(jù)：

可以通過計(jì)算得到它所有可能的最小二乘回歸.如下表2-2.

進(jìn)入回歸的變量

回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)

計(jì)算出其對(duì)應(yīng)的三個(gè)特征值：λ1=1.999，λ2=0.998，λ3=0.003，

則其條件數(shù)d=λ1λ3=1.9990.003=666.333，在100與1000之間，即存在中等程度的復(fù)共線性.

設(shè)“標(biāo)準(zhǔn)化”變量的回歸方程為：

Y^′=β^1X1′+β^2X2′+β^3X3′.（2-1）

應(yīng)用嶺估計(jì)的概念：β^（k）=（X′X+kI）-1X′Y并代入不同的k值，如下圖2-3.

圖2-3 外貿(mào)數(shù)據(jù)回歸的嶺跡圖

（其中實(shí)線：β^1（k），虛線：β^2（k），點(diǎn)劃線：β^3（k），橫軸：k取值，豎軸：β^（k））

由嶺跡圖2-3可以看出，嶺跡β^1（k）隨著k的增加而快速增加，k=0.04后就穩(wěn)定下來.總體來看，可以取k=0.04.

則對(duì)應(yīng)的嶺估計(jì)為：β^1（0.04）=0.420，β^2（0.04）=0213，β^3（0.04）=0.525代入“標(biāo)準(zhǔn)化”變量的回歸方程（2-1）：

Y^-YSY=β^1（0.04）X1-X1S1+β^2（0.04）X2-X2S2+β^3（004）X3-X3S3，

簡(jiǎn)化后得到嶺回歸方程：Y^=-8.5537+0.0635X1+05859X2+0.1156X3.

三、結(jié) 論

嶺回歸法解決多重共線性問題有其獨(dú)到之處，與其他方法不盡相同.但要想減少M(fèi)SE（β^），應(yīng)采取嶺回歸法，無論采取什么方法，都應(yīng)從實(shí)際情況出發(fā)，選擇對(duì)解決實(shí)際問題有利而簡(jiǎn)單的方法，不僅可以對(duì)分析各變量之間的作用和聯(lián)系帶來意想不到的幫助，而且可以達(dá)到事半功倍的效果.

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